线性代数第二章知识要点.ppt

知 识 要 点,一、内容提要 1. 矩阵的概念 (1) 矩阵的定义 定义 1 由 mn 个数 aij ( i = 1, , m; j = 1, , n)排成 m 行 n 列的数表,叫做 m 行 n 列矩阵, 简称 mn 矩阵. 这 mn 个 数叫做矩阵的元素, aij 叫做矩阵 A 的第 i 行第 j 列 元素. 元素是实数的矩阵叫做实矩阵,元素是复数 的矩阵叫做复矩阵, (1)式也简记为 A = (aij)mn 或 A = (aij) , mn 矩阵 A 也记作 Amn .,(2) 方阵、列矩阵、行矩阵 对 (1) 式, 当 m = n 时, A 称为 n 阶方阵. 当 m = 1 时, A 称为行矩阵. 当 n = 1 时, A 称为列矩阵.,(3) 同型矩阵和相等矩阵 两个矩阵的行数相等、列数也相等时, 就称 它们是同型矩阵.如果 A = (aij) 与 B = (bij) 是同型 矩阵, 并且它们的对应元素相等,即 aij = bij (i = 1, , m; j = 1, , n), 那么就称 A 与 B 相等, 记作 A=B.,(4) 零矩阵、单位矩阵 元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作 O. 主对角线上的元素都是 1 , 其他元素都是 0 的 n 阶方阵, 叫做 n 阶单位矩阵, 简记作 E 或 I.,2. 矩阵的运算 (1) 矩阵运算的定义 设 A = (aij)sn , B = (bij)tm 为两个矩阵, 当 s = t, n = m 时,它们为同型矩阵, 其加法运算定义为 A + B = (aij + bij), A + B 称为 A 与 B 的和.,当 n = t 时可以作乘法: AB = (cij)sm , 其中,( i = 1,2, , s ; j = 1, 2, , m),AB 称为 A 与 B 的积. 设 k 为实数, 定义 kA = (kaij), 则称 kA 为 A 与数 k 的乘积.,(2) 矩阵的运算性质 (i) 矩阵的加法满足 交换律: A + B = B + A, 结合律: (A + B) + C = A + (B +C). (ii) 矩阵的乘法满足结合律 (AB)C = A(BC).,(iii) 矩阵的乘法和加法满足分配律 A(B + C) = AB + AC， (B + C)A = BA + CA. (iv) 数乘矩阵满足 ( k + l)A = kA +lA， k(A + B) = kA + kB， k(lA) = (kl)A， k(AB) = (kA)B = A(kB).,(3) 方阵的幂 设 A 是 n 阶方阵, 定义 A1 = A, A2 = AA, , Ak+1 = Ak A, 其中 k 为正整数. (4) 方阵的行列式 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式, 叫做 方阵 A 的行列式, 记作 |A| 或 detA.,3. 一些特殊的矩阵 (1) 设 A 为 mn 矩阵,把它的行换成同序号 的列得到的新矩阵,叫做 A 的转置矩阵, 记作 A或 AT . 矩阵的转置也是一种运算,若运算可行,则有 (AT)T = A , (A + B)T = AT + BT , (A)T = AT , (AB)T = BTAT .,(2) 设 A 为 n 阶方阵,若满足 AT = A , 则称 A 为对称矩阵; 若满足 AT = - A , 则称 A 为反对称 矩阵. (3) 设 A 为 n 阶方阵,若满足 A2 = A, 则称 A 为幂等矩阵; 若满足 A2 = E, 则称 A 为对合矩阵; 若满足 AAT = ATA = E, 则称 A为正交矩阵.,(4) 行列式 |A| 的各元素的代数余子式 Aij 所 构成的方阵,叫做方阵 A 的伴随矩阵. 伴随矩阵具有重要性质: AA = AA =|A|E.,(5) 主对角线以下(上)元素全为零的方阵称 为上(下)三角形矩阵. (6) 除了主对角线以外, 其他元素全为零的 方阵称为对角矩阵.,4. 逆阵的概念 (1) 设 A 为 n 阶方阵,如果存在矩阵 B , 使 AB = BA = E, 则称矩阵 A 是可逆的(或非奇异的、 非退化的、满秩的），且矩阵 B 称为 A 的逆矩阵. 若有逆矩阵,则 A 的逆矩阵是唯一的,记作 A-1 . (2) 相关定理及性质 (i) 方阵 A 可逆的充要条件是 |A| 0 . (ii) 若矩阵 A 可逆, 则 A-1 = A/ |A|.,(iii) (A-1)-1 = A， (A)-1 = 1/ A-1 ( 0 )， (AT)-1 = (A-1)T . (iv) 若同阶方阵 A 与 B 都可逆, 那么 AB 也 可逆, 且 (AB)-1 = B-1A-1 . 5. 矩阵的分块运算 矩阵的分块主要目的在于简化运算及便于论 证, 其运算法则同普通矩阵类似.,二、基本要求与重点、难点,熟练地掌握矩阵的加法、数乘及乘法运算以 及运算律，正确掌握可逆矩阵的定义，会判别一 个矩阵是否为可逆矩阵并能准确地求出一个矩阵 的逆矩阵，包括利用矩阵的分块进行运算和求逆. 重点 ）矩阵的运算及其性质； ）逆矩阵的概念及其求法. 难点 逆矩阵的求法及其相关概念.,基本要求,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,