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,第一章 常用逻辑用语,3 全称量词与存在量词,1.理解全称量词、存在量词,能够用符号表示全称命题、特称命题,并会判断其真假. 2.对含有量词的命题进行否定,应首先判断此命题是全称命题还是特称命题,也就是要找出语句中的全称量词或存在量词. 3.明确全称命题、特称命题、含有一个量词的命题的否定形式的真假的判断方法,通过生活和数学中的丰富实例,了解数学知识的全面性和对称性.,学习目标,美国作家马克吐温除了以伟大的作家而闻名,更以他的直言不讳出名.一次,马克吐温在记者面前说:“有些国会议员是傻瓜!”记者把他说的话,只字未改地登在报纸上.这令国会议员们气愤不已,威胁马克吐温收回那些话,否则要给他好看.这股威胁的力量太强,马克吐温也不得不让步.几天之后,报纸刊登了马克吐温的道歉文:“本人在几天前曾说:有些国会议员是傻瓜!此言经报道后,受到国会议员的强烈抗议.本人经过仔细思考,发现本人的言论的确有误.于是,本人今天在此声明,修正日前所说的话为:有些国会议员不是傻瓜!”,创设情境：,1.命题中加入了不同的量词,所表达的意思完全不同,前面马克吐温所说的这句话“有些国会议员是傻瓜”与“所有国会议员是傻瓜”表达的内容不尽相同,而马克吐温道歉说的 “有些国会议员不是傻瓜” 并不是对“有些国会议员是傻瓜”的否定,那么“有些国会议员是傻瓜”的否定是 “ ”;“有些国会议员不是傻瓜” 的否定是 “ ”.,所有国会议员都不是傻瓜,所有国会议员都是傻瓜,知识梳理,2、全称量词与存在量词 (1)短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词.常见的全称量词还有“对一切”“对每一个”“任给”等. 含有全称量词的命题叫作全称命题.通常将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、r(x)表示,变量x的取值范围用M表示.全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”,记为 . (2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词.常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.含有存在量词的命题叫作特称命题.通常将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、r(x)表示,变量x的取值范围用M表示.特称命题“,任意xM,p(x),存在xM,p(x),存在M中的一个x,使p(x)成立”,记为 .,存在xM,p(x),3、 (1)如何对含有一个量词的全称命题进行否定? (2)如何对含有一个量词的特称命题进行否定? (1)全称命题p:对任意的xM,p(x)成立的否定是 . (2)特称命题p:存在xM,使p(x)成立的否定是 . 4、全称命题的否定是 命题;特称命题的否定是 命题. 全称命题、特称命题的否定是否定 ,而否命题是既否定 又否定 .,对任意的xM,p(x)不成立,存在xM,使p(x)不成立,结论,全称,特称,结论,条件,下列命题中,不是全称命题的是() A.任何一个实数乘以0都等于0 B.自然数都是正整数 C.每一个向量都有大小 D.一定存在没有最大值的二次函数 【解析】D选项是特称命题.,1,D,预习检测,2,B,命题“所有实数的平方都是正数”的否定为 . 【解析】全称命题的否定是特称命题,所以“所有实数的平方都是正数”的否定是“至少有一个实数的平方不是正数”.,至少有一个实数的平方不是正数,4,3,一、判断命题是全称命题还是特称命题 下列命题哪些是全称命题?哪些是特称命题? (1)对任意的nZ,2n是偶数; (2)如果两个数的和为负数,那么这两个数中至少有一个是负数; (3)矩形是平行四边形; (4)存在一个实数x,使x2+x+1=0. 【答案】(1)(3)是全称命题,(2)(4)是特称命题.,典例剖析,7,二、含有一个量词的命题的否定及其真假判断 写出下列命题的否定并判断其真假: (1)p:不论m取何实数,方程x2+mx-1=0必有实数根; (2)p:有的三角形的三条边相等; (3)p:菱形的对角线互相垂直; (4)p:存在xN,x2-2x+10. 解：(1)存在一个实数m,使方程x2+mx-1=0没有实数根.因为该方程的判别式=m2+40恒成立,假命题. (2)所有的三角形的三条边不全相等.假命题. (3)有的菱形对角线不垂直.假命题. (4)任意xN,x2-2x+10. 显然当x=1时,x2-2x+10不成立,假命题.,三、全称命题与特称命题的应用 是否存在整数m,使得命题“对任意xR,m2-mx2+x+1”是真命题?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.,1.下列命题哪些是全称命题?哪些是特称命题? (1)p:所有能被3整除的整数都是奇数; (2)p:存在xR,x2+2x+30; (3)p:每一个四边形的四个顶点共圆; (4)p:有的三角形是等边三角形; (5)p:对任意xZ,x2的个位数字不等于3; (6)p:有一个素数含有三个正因子. 【答案】(1)(3)(5)是全称命题,(2)(4)(6)是特称命题.,变式训练：,2.试写出下列命题的否定,并判断其真假: (1)命题p:所有的菱形都是正方形. (2)命题q:对任何实数x,总有x2-2x+10成立. (3)命题r:至少有一个实数x,使x2-2=0成立. (4)命题s:存在xR,使x2+2x+20成立.,3.命题“ax2-2ax-30不成立”是真命题,则实数a的取值范围是 .,-3,0,1.下列语句不是全称命题的是( ) A.模相等的向量是相等向量 B.共线向量所在直线共线 C.在平面向量中,有些向量是共线向量 D.每一个向量都有大小 【解析】根据全称命题的定义以及所含的量词可知,A、B、D为全称命题,C为特称命题.,C,课堂巩固,2.命题“存在xZ,x2-2x=0”的否定是( ) A.任意xZ,x2-2x=0B.存在xZ,x2-2x0 C.任意xZ,x2-2x0D.存在xZ,x2-2x0 【解析】特称命题的否定是全称命题,所以命题“存在xZ,x2-2x=0”的否定是“任意xZ,x2-2x0”,选C.,C,3.命题“任意xR,存在mZ,m2-mx2+x+1”是命题. (填“真”或“假”),真,4.写出下列命题的否定,并判断真假: (1)一切分数都是有理数; (2)有些三角形是锐角三角形; (3)对任意的xR,有2x+40成立; (4)存在xR,使x2+x=x+2成立. 解：(1)存在一个分数不是有理数,假命题; (2)所有的三角形都不是锐角三角形,假命题; (3)存在xR,使2x+40成立,真命题; (4)对任意的xR,有x2+xx+2成立,假命题.,思维导图,
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