一元线性回归模型及其假设条件

4.2一元线性回归模型及其假设条件1理论模型y=a+bx+X是解释变量，又称为自变量，它是确定性变量，是可以控制的。是已知的Y是被解释变量，又称因变量，它是一个随机性变量。是已知的。A,b是待定的参数。是未知的。2实际中应用的模型y=abxa,b，x是已知的，y是未知的。回归预测方程：y=abxa,b称为回归系数。若已知自变量x的值，则通过预测方程可以预测出因变量y的值，并给出预测值的置信区间。3假设条件，满足条件：(1)E(，)=0；2)D(,)=G2；3)Cov(,)=O,iMj;Cov(,)=0。iijij条件(1)表示平均干扰为0；条件(2)表示随机干扰项等方差；条件(3)表示随机干扰项不存在序列相关；条件(4)表示干扰项与解释变量无关。在假定条件(4)成立的情况下，随机变量yN(a+bx,02)。一般情况下，N(0,02)。4需要得到的结果a，b，64.3模型参数的估计1估计原理回归系数的精确求估方法有最小二乘法、最大似然法等多种，我们这里介绍最小二乘法。估计误差或残差：e=y一y，y=abx，y=ye=abxe(5.3一1)误iiiiiiii差e的大小，是衡量a、b好坏的重要标志，换句话讲，模型拟合是否成功，就看残差是i否达到要求。可以看出，同一组数据，对于不同的a、b有不同的e，所以，我们的问题i是如何选取a、b使所有的e都尽可能地小，通常用总误差来衡量。i衡量总误差的准则有：最大绝对误差最小、绝对误差的总和最小、误差的平方和最小等。我们的准则取：误差的平方和最小。最小二乘法：令q=e2=工3厂y/=工一a-bx(5.32)使Q达到iiiiii=1i=1i=1最小以估计出a、b的方法称为最小二乘法。理论推导：微积分极值理论的拉格朗日极值法。2估计结果JExy上xMyb=-i=1_=1-nHx2-ii=1EnyEna=i-bnn62=2n一2=1-=、n-Ex.-f丿x=y-bx（2是总离差平方和中由回归直线方程中x的变化所引起，它的大小反映1/i=1了自变量X的重要程度，称为回归平方和。用U表示。（回归变差）。第三、工”-yz2反映了不能由回归直线解释的部分，是由其他未能控制的随机干扰因i=1素引起的。称为残差平方和。用Q表示。（剩余变差）2. 可决系数R2Sm=U+Q,1=（U/S总）+（Q/S总）；R2=U/S总=1Q/S总表示由解释变量x的变化而引起因变量y的变差占总离差的百分比。称为可决系数。3相关系数在一元线性回归中，相关系数是可决系数的平方根。相关系数：是描述变量x与y之间的线性关系密切程度的一个数量指标。计算公式为r-xb-丿iii1i1r0.5为低度相关；0.5Wr0.8为显著相结论：第一、当r=0时，变量x与y无任何线性关系，表现为(,YI)的散布是完全没有规则的。第二、当r2=1时，所有的样本点都落在回归直线上，称变量x与y完全相关。r=1是完全正相关，r=-1是完全负相关。第三、一般情况是，ovir丨0称为正相关，r0称为负相关。|厂|0.3,视为无相关；0.3W关；r三0.8为咼度相关。二、回归方程的检验1相关系数检验法建立回归方程前要考察r的大小，以确定回归方程有无使用价值。相关系数r计算后，要进行统计检验，判别是否具有统计意义。检验方法是：根据置信度、自由度(样本数据个数1)和自变量与因变量的总个数查相关系数表，确定临界值，若计算所得到的相关系数r小于临界值，则无统计意义。反之，则有统计意义，是有效的。2. F检验法解释F检验法的含义。回归方程显著性检验的含义：即检验：ya+bx对实际的y和x的拟合是否有统计意义。所用统计量为F=U/Q/(n-2)。检验步骤是第一步计算统计量F的值；第二步根据给出的置信度a得到临界值Fa(1,n-2)；第三步将统计量值F与临界值Fa进行比较，若统计量值F大于Fa则认为回归方程显著，线性假设成立，有统计意义，否则回归方程没有统计意义。实际应用中，统计软件给出了F值。3. T检验解释T检验法的含义。P129T检验法关于b=0的假设检验，有专门的t检验。在一元线性回归模型中，F检验与t检验等同。4.6预测区间1. 点预测设预测点为x,y则预测值为:I00丿ya+bx002. 预测置信区间yt(n-2)S0a20S1n+金-x)i3. 控制区间已知y，求X的变动范围，称为对X的控制，我们在这里不在讲述。0004.8元线性回归模型的应用第一步，绘制散点图（计算机演示）第二步，设立一元线性回归方程第三步，计算回归系数第四步，检验线性关系的显著性（包括相关系数检验、F检验、t检验）第五步，预测（要求给出点预测和预测区间）