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2.3函数的奇偶性与周期性,知识梳理,双击自测,1.函数的奇偶性,f(-x)=f(x),y轴,f(-x)=-f(x),原点,知识梳理,双击自测,2.函数的周期性 (1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件:T0; 对定义域内的任意x都成立. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个,那么这个就叫做它的最小正周期.如果T是函数f(x)的周期,则也是它的周期. 3.函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数f(x)为奇函数,且在区间a,b上为增(减)函数,则f(x)在区间-b,-a上为 . (2)若函数f(x)为偶函数,且在区间a,b上为增(减)函数,则f(x)在区间-b,-a上为 .,f(x+T)=f(x),nT(nZ,n0),增(减)函数,减(增)函数,最小的正数,最小正数,知识梳理,双击自测,4.函数的对称性与周期性的关系 (1)如果函数f(x)(xD)在定义域内有两条对称轴x=a,x=b(ab),则函数f(x)是周期函数,且周期T=2(b-a)(不一定是最小正周期,下同). (2)如果函数f(x)(xD)在定义域内有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(ab),那么函数f(x)是周期函数,且周期. (3)如果函数f(x),xD在定义域内有一条对称轴x=a和一个对称中心B(b,0)(ab),那么函数f(x)是周期函数,且周期.,T=2(b-a),T=4|b-a|,知识梳理,双击自测,1.下列函数中周期为且为偶函数的是(),答案,解析,知识梳理,双击自测,2.已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数,那么a+b的值是(),答案,解析,知识梳理,双击自测,3.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+4)=f(x),则f(8)的值为() A.-1B.0C.1D.2,答案,解析,知识梳理,双击自测,答案,解析,知识梳理,双击自测,5.(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x(1+x),则当x0时,f(x)=.,答案,解析,知识梳理,双击自测,自测点评 1.判断函数的奇偶性应先考察函数的定义域是否关于原点对称,如果不对称,则该函数为非奇非偶函数. 2.若函数f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则有f(0)=0. 3.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,而偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 4.利用函数的周期性可以把未知函数值转化到已知函数值求解.,考点一,考点二,考点三,函数的奇偶性的判断(考点难度) 【例1】 (1)(2017北京高考)已知函数f(x)=3x- ,则f(x)() A.是奇函数,且在R上是增函数 B.是偶函数,且在R上是增函数 C.是奇函数,且在R上是减函数 D.是偶函数,且在R上是减函数,答案,解析,考点一,考点二,考点三,(2)满足下列条件的函数中,f(x)为偶函数的是(),答案,解析,考点一,考点二,考点三,方法总结判断函数奇偶性常用方法及思路: 1.定义法:,2.图象法:,考点一,考点二,考点三,3.性质法:(1)“奇+奇”是奇,“奇-奇”是奇,“奇奇”是偶,“奇奇”是偶; (2)“偶+偶”是偶,“偶-偶”是偶,“偶偶”是偶,“偶偶”是偶; (3)“奇偶”是奇,“奇偶”是奇. 提醒 (1)分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内x取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依据x的范围相应地化简解析式,判断f(x)与f(-x)的关系,得出结论,也可以利用图象作判断. (2)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的. (3)性质法在选择题和填空题中可直接运用,但在解答题中应给出性质推导的过程.,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且xR时,均有f(3+x)=f(2-x),2f(x)8,则满足条件的f(x)可以是(),答案,解析,考点一,考点二,考点三,(2)记maxx,y= 若f(x),g(x)均是定义在实数集R上的函数,定义函数h(x)=maxf(x),g(x),则下列命题正确的是() A.若f(x),g(x)都是单调函数,则h(x)也是单调函数 B.若f(x),g(x)都是奇函数,则h(x)也是奇函数 C.若f(x),g(x)都是偶函数,则h(x)也是偶函数 D.若f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则h(x)既不是奇函数,也不是偶函数,答案,解析,考点一,考点二,考点三,函数奇偶性的应用(考点难度) 【例2】 (1)已知tR,函数f(x)= 为奇函数,则t=,g(f(-2)=.,答案,解析,考点一,考点二,考点三,(2)(2018江西南昌高三第二轮复习测试)已知函数f(x)=2g(x)-x2为奇函数,若g(-1)=-1,则f(1)的值为.,答案,解析,考点一,考点二,考点三,a=f(1),b=f(2),c=f(3),则() A.abcB.bca C.cbaD.cab,答案,解析,考点一,考点二,考点三,方法总结1.已知函数的奇偶性求函数的解析式,往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程,从而可得f(x)的解析式. 2.已知含有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数,常常采用待定系数法:利用f(x)=f(-x)产生关于字母参数的恒等式,由系数的对等性可得知字母参数的值. 3.奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 4.若f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.这一结论在解决问题中十分便捷;若f(x)是偶函数,利用f(x)=f(-x)=f(|x|)可以把参变量变成非负数,从而利用单调性解题.,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)设定义在区间(-b,b)上的函数f(x)=lg 是奇函数(a,bR,a-2),则ab的取值范围是(),答案,解析,考点一,考点二,考点三,(2)(2018天津南开中学高三模拟)设函数f(x)是定义在R上的以5为周期的奇函数,若f(2)1,f(3)= ,则a的取值范围是.,答案,解析,考点一,考点二,考点三,(3)设函数f(x)在1,+)上为增函数,f(3)=0,且g(x)=f(x+1)为偶函数,则不等式g(2-2x)0的解集为.,答案,解析,考点一,考点二,考点三,函数的周期性及其应用(考点难度) 【例3】 (1)若函数y=f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,则f(2 017)=() A.-2 017B.0C.1D.2 017,答案,解析,考点一,考点二,考点三,(2)已知f(x)为定义在R上的偶函数,当x0时,有f(x+1)=-f(x),且当x0,1)时,f(x)=log2(x+1),给出下列命题:f(2 014)+f(-2 015)=0;函数f(x)在定义域上是周期为2的函数;直线y=x与函数f(x)的图象有2个交点;函数f(x)的值域为(-1,1).其中正确的是() A.B.C.D.,答案,解析,考点一,考点二,考点三,方法总结1.抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出,常见的有以下几种情形: (1)若函数满足f(x+T)=f(x),由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期; (2)若函数满足f(x+a)=-f(x),则f(x+2a)=f(x+a)+a=-f(x+a)=f(x),所以2a是函数的一个周期;,所以2a是函数的一个周期; (4)若函数满足f(x+a)=- ,同理可得2a是函数的一个周期. 2.函数周期性的重要应用 利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析:式等问题转化为已知区间上的相应问题,进而求解.,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)(2017山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x-3,0时,f(x)=6-x,则f(919)=.,答案,解析,考点一,考点二,考点三,(2)(2018江西新余第四中学高三适应性考试)已知偶函数f(x)满足f(4+x)=f(4-x),且f(0)=0,当x(0,4时,f(x)= ,若关于x的不等式f2(x)+af(x)0在-200,200上有且只有200个整数解,则实数a的取值范围为 (),D,f(x)是偶函数,f(x+4)=f(4-x)=f(x-4),f(x)的周期为8,又不等式f2(x)+af(x)0在-200,200上有且只有200个整数解,不等式在(0,200)内有100个整数解,考点一,考点二,考点三,f(x)在(0,200)内有25个周期, f(x)在一个周期(0,8)内有4个整数解, 若a0,由f2(x)+af(x)0,可得f(x)0或f(x)0在一个周期(0,8)内有7个整数解,不符合题意; 若a0,可得f(x)-a, 显然f(x)-a在(0,8)上有4个整数解, f(x)在(0,8)上关于直线x=4对称, f(x)在(0,4)上有2个整数解,考点一,考点二,考点三,(3)已知定义在R上的函数f(x)满足条件:对任意的xR,都有f(x+4)=f(x);对任意的x1,x20,2且x1x2,都有f(x1)f(x2);函数f(x+2)的图象关于y轴对称.则下列结论正确的是() A.f(7)f(6.5)f(4.5) B.f(7)f(4.5)f(6.5) C.f(4.5)f(6.5)f(7) D.f(4.5)f(7)f(6.5),答案,解析,思想方法方程思想在函数奇偶性中的应用 方程思想是一种重要的数学思想.已知函数的奇偶性求参数值问题就可以利用函数的奇偶性的定义:f(-x)=f(x)或f(-x)f(x)=0构造方程,使问题得以解决.特别是一些选择题、填空题,可以直接利用特殊值建立方程快速求解.,【典例】 若函数f(x)= 为奇函数,则实数a的值为(),答案:A,解析:方法一:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).,方法二:根据奇函数取特殊值求解.,方法三:根据f(x)形式特点分析, 因为f(x)的分子是奇函数,所以要使f(x)为奇函数,则它的分母必为偶函数,所以1-2a=0.,方法四:根据奇函数的特点及定义域求解,答题指导本题一题多解,无论哪一种方法,关键是利用函数的奇偶性得到参数的方程,从而求出方程的解即参数的值.,答案,解析,高分策略1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题:(1)“定义域关于原点对称”是“函数f(x)为奇函数或偶函数”的必要不充分条件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2.奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价 形式:f(-x)=f(x)f(-x)f(x)=0 =1(f(x)0). 3.根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(kZ且k0)也是函数的周期.,
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