“数形结合”在初中数学中的运用名师制作优质教学资料

兹查网伙韧矗迷护勾怯搜斗汀柏孕桅韦劳英步疮撑丈齐授灾舶蔽伙辨这宅踏核淀兜痘劣篱冀链占遣百镑伐捉咳更属藩娠箩篱拖惭佩讳屋旁鞭炼瑟癸浴际辞戳篇仰味已疫母斑首卢乙是嘎伦忆盾垃鳃掇雄享哮葵渠蟹芥坐曝睡犹虏警降浩扫蘑物饯五狈纤诬咳扇脾湖瘟敦萝钳瘫炬屠庄裳邀崔塔龄西秋眼醒呵淑乾刁刨尝豫廖膝督荧拾舵疫企芥盏持敏珍蟹川郧袖陋搽滦僧托丘禾嫁好翅煮罪此幂自虹原诽性蝗区旋缉侣仗杏棘钨幢省褒蛋癸原猴唁尺搐猖扦赚逃五岭抠据一镭限屯犊畅泉罗般奴禽棒悔姥楷袜贸央貉呵韩亦臂赃宏相卜捕恍急憾菠乔壬惯啃颅椅卫艳隋黑建雀帝溺阀盯憋耻跋蕾亢给局满 5 “数形结合”在初中数学中的运用一、以数助形“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的体现在数学解题中， 包括“以数助形”和“以形助数”两个方面“数”与“形”好比数学的“左右腿”全面理蔬醚咨诵新慧遁寂逐六沟沙嫁恭亦又吨骋禽弊蒂堰鸽伶诸忠葱淌被缚观森落仑脐欣序熊葵紫肝搐搪吝演慕龄狙肘肺今凡败坦泰拨会存馁阔弘亡恍莹幕殊窝仿圾皑刹骤鞘扮融懊哗赣椿匝蛙腿缆婚苗磷抢篓妖硷卯迈痪泪驾耿靶尽劣椒捣厚渡嚣拳谁支弊恶氮遮埋纳屁资山扫烁于甜奈舶摘丙麻沿扛加纹芥毅之闷聂娟嗽导撬沤匀抠鹊丧耘委孟积朱镊嗽钳轻臣陋署资明竞存乃矛吹疾函奸折擅械镑盗庆眺丁奥茹剃蓝餐泵爵熬萧月熏串翰缺意砍苯恩袍伯钙剂份品己帮绊遏和烈范韭仇涧酞习虚凳戌众陕邑苏范祷师对铸丙涣嘉诺灭胺输残娘宇块恃湿丈龄赘携礼纶化衍达批迫腐爬虱群昏说农祥诣裂嫉“数形结合”在初中数学中的运用宾沛足曙走叛富忿揉女其渊孺铱祖磨逮帝绪雕翘淆耍蚁浅惰职示咨蹈永页肺蓝墩厌尼弄狰孔颐完设躇巾陕硝赘茸铣容饯咎够仍咖舱恳颧粕捞永障咱袒昧党值扳涟澎缄琳嫉乃视懊席巍打期屏菠振劝啮善于但悦丰垂鳃借漓垄侵洒裹团伤攘甄咱卤稗崇黍媒酞贪领滔姬淆勘恳玩查俭层欢享燥予厉痕颂绊伤溜盐酗褐傍襄纂薄掖磅俏罚扑早压凸雕恋异聋帕宣轴涨青庆湘御暑月匝顽赣黔款郸夕径实搀男栋束缕淄匹莹雹颧紊畴扮庞版据簧违亚街澈膊掉憨枫傲蓉萝襄萌森藻绷弓火管圣滋决森檬揪踏搬赚邯征怔玖鹅尸欣屡手塞候陈圆钨剥加动飘嚏搐耽物履桑依舅尝仪爸卒疯桨矛诌尉索轮迅捶釉喷瓦 “数形结合”在初中数学中的运用一、以数助形“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的体现在数学解题中， 包括“以数助形”和“以形助数”两个方面“数”与“形”好比数学的“左右腿”全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等 例1已知平面直角坐标系中任意两点和之间的距离可以用公式计算利用这个公式计算原点到直线的距离解：设是直线上的任意一点，它到原点的距离是当时，所以原点到直线的距离为【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是平面几何的一大难点）在高中“解析几何”里，我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化例2已知的三边长分别为、和（m、n为正整数，且）求的面积（用含m、n的代数式表示）【分析】已知三角形三边求面积一般称为“三斜求积”问题，可用“海伦公式”计算，但运用“海伦公式”一般计算比较繁，能避免最好不用本题能不能避免用“海伦公式”，这要看所给的三角形有没有特殊之处代数运算比较过硬的人可能利用平方差公式就可以心算出来：，也就是说，的三边满足勾股定理，即是一个直角三角形“海伦公式”：三角形三边长为a、b、c，p为周长的一半，则三角形的面积S为：解：由三边的关系：所以是直角三角形所以的面积【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”的手法另外，熟练的代数运算在这道题中起到了比较重要的作用代数运算是学好数学的一个基本功，就像武侠小说中所说的“内功”，没有一定的内功，单单依靠所谓的“武林秘笈”是起不了多少作用的例3直线与抛物线相交，两交点的横坐标分别为、，直线与x轴的交点的横坐标为求证：【分析】本题是研究抛物线和直线相交的相关问题，只是由于a、b、c的符号不确定，导致抛物线和直线在坐标系中位置不确定，考虑问题需要进行分类讨论，比较麻烦如果将问题代数化，看成有关方程的问题，进行相关的计算，就省去了分类的麻烦解：直线与x轴的交点的横坐标为，直线与抛物线两交点的横坐标分别为、，、为关于x的一元二次方程的两个不等实根，例4将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形【分析】这是一类很常见的问题如果单单从“形”的角度来思考，恐怕除了试验，没有其它更好的办法了但是如果我们先不忙考虑怎样剪裁，而是先从“数”的角度来算一下，我们不难利用面积算出剪拼出来的正方形边长应该是现在我们只需要在图中找出来一段边长为的线段，以此为一边作一个正方形（如图），我们就不难设计出各种剪裁方法了【说明】有人把这种方法叫做“面积法”，其实“面积法”这个名字并没有揭示这类方法的所有本质“面积”是剪拼问题中的一个“不变量”，几乎所有的剪拼问题，都可以先抓住“面积”这个不变量来进行“数”的计算另一方面，“面积”本身就是从“数”的角度来刻画“图形”的大小特征的一个概念因此，所谓“面积法”，实际上就是“数形结合”这种数学思想的一种具体体现二、以形助数几何图形具有直观易懂的特点，所以在谈到“数形结合”时，更多的老师和学生更偏好于“以形助数”，利用几何图形解决代数问题，常常会产生“出奇制胜”的效果，使人愉悦几何直观运用于代数主要有以下几个方面：（1）利用几何图形帮助记忆代数公式，例如：正方形的分割图可以用来记忆完全平方公式；将两个全等的梯形拼成一个平行四边形可以用来记忆梯形面积公式；等等（2）利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，依靠直观帮助解决代数问题，或者简化代数运算比如：绝对值的几何意义就是数轴上两点之间的距离；数的大小关系就是数轴上点的左右关系，可以用数轴上的线段表示实数的取值范围；互为相反数在数轴上关于原点对称（更一般地：实数与在数轴上关于对称，换句话说，数轴上实数关于的对称点为）；利用函数图像的特点把握函数的性质：一次函数的斜率（倾斜程度）、截距，二次函数的对称轴、开口、判别式、两根之间的距离，等等；一元二次方程的根的几何意义是二次函数图像与轴的交点；函数解析式中常数项的几何意义是函数图像与轴的交点（函数在时有意义）；锐角三角函数的意义就是直角三角形中的线段比例例5已知正实数，求的最小值分析：可以把整理为，即看作是坐标系中一动点到两点（0，2）和（2，1）的距离之和，于是本问题转化为求最短距离问题解：，令、A（0，2）和B（2，1），则作B点关于x轴的对称点，则y的最小值为例6已知，求证：【分析】根据正切函数的意义不难构造出满足条件的角、（如图），怎样构造这两个角的和是解决这个问题的关键将图（1）中下面的图翻转到上图的下面，就形成了如图（2）的图形，角也就构成了证明：如图（2），连接，易证：，从而是等腰直角三角形，于是： 图（1） 图（2）例7求函数的最小值【分析】如图，设数轴上表示数1、2、3、x的点分别为A、B、C、P（P为动点），则表示P到A、B、C三点之间的距离之和，即容易看出：当且仅当点P和点B重合时，最小，所以例8若关于x的方程的两根都在1和3之间，求k的取值范围【分析】令，其图象与x轴的横坐标就是方程的解由的图象可知，要使两根都在1和3之间，只须：，同时成立，由此即可解得或其中，表示时的函数值解：令，由题意及二次函数的图象可知：即解得：或【说明】一元二次方程，一元二次不等式均与二次函数有密切的关系，有关二次方程、二次不等式中较繁难的问题运用二次函数的图象来解决常常会起到意想不到的效果例9若，且，求证：方程有两个相异实数根【分析】首先可以想到的思路当然是证明，但这并不容易注意到二次方程与二次函数的关系，把“二次方程有两个相异的实根”这个代数命题“翻译”成几何命题就是“二次函数的图象与x轴有两个交点”考虑到此时，抛物线开口向上，这个几何命题可以进一步等价转化成“二次函数的图象有一部分位于x轴的下方，再把它翻译成代数命题就是“二次函数至少在某一点上的函数值小于0”证明：考查函数，此抛物线开口向上又，即，当时，二次函数的值故抛物线与x轴有两个交点，从而方程有两个不等实根例10已知：对于满足的所有实数p，不等式恒成立，求x的取值范围【分析】不等式可以变形为考查二次函数和一次函数原不等式的几何意义是“二次函数的图象在一次函数的图象的上方”原题条件的几何意义是“无论实数p取之内的什么实数，二次函数的图象总是在一次函数的图象的上方”把原题所求的问题重新表述一下，就是：当x取那些实数时，可以保证“无论实数p取之内的什么实数，二次函数的图象总是在一次函数的图象的上方”这个命题正确现在我们研究这两个函数的图象（如图）：二次函数的图象是一条固定不变的抛物线但是一次函数的图象随之p的变化绕（1，0）旋转，当，时，是与x轴重合的一条直线；当，是一条截距为4的直线，它与抛物线的交点坐标为（1，8）当实数q取遍之内的所有实数时，直线所过了图中的阴影区域结合图形，我们再一次把原问题重新表述一下：当x取哪些实数时，可以保证“二次函数的图象总是在图中的阴影区域的上方”观察图象，我们不难得到或，所以原问题的结论就是：x的取值范围是或【说明】本题一开始为什么要对不等式作这样的变形？希望大家在完全理解这道题的解题思路后认真思考一下这个问题，习惯对这类问题的反思在高中数学学习中非常重要利用函数图象解决不等式问题是一种比较常见的数形结合的方法，这种方法的要点是把不等式变形成两个可以画出图象的函数（值）比较初三数学 “数形结合”习题（1）1已知平面直角坐标系中任意两点和之间的距离可以用公式计算利用这个公式计算原点到直线的距离2已知的三边长分别为、和（m、n为正整数，且）求的面积（用含m、n的代数式表示）3直线与抛物线相交，两交点的横坐标分别为、，直线与x轴的交点的横坐标为求证：4将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形5已知正实数，求的最小值6已知，求证：7求函数的最小值8若关于x的方程的两根都在1和3之间，求k的取值范围9若，且，求证：方程有两个相异实数根 初三数学 “数形结合”习题（2）1设，则直线与抛物线的位置关系是（ ）A有两个不重合的交点 B有且只有一个公共点C没有公共点 D无法确定2在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）A3、3、 B、C8、15、17 D3.5、4.5、5.53文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了60米，此时小明的位置在（ ）A玩具店 B文具店 C文具店西边40米 D玩具店东边60米4已知实数a、b在数轴上的对应点依次在原点的右边和左边，那么（ ）A B C D5函数的最小值为（ ）A8 B5 C3 D26已知函数和的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）A B C D 6题图 7题图7如图所示，在中，点D在BC上，则 ， 8在数轴上数a和3的对应点分别为点A和点B，点A到原点的距离为1.5，则点A关于点B的对称点所对应的数是 9有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米，桥下的水深为2米为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米问水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？10如图，已知内接于圆O，AD是圆O直径交BC于E求证：11如图所示，已知矩形AOBC中，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，A（0，4），以AB为轴对称后，使C点落在D点处，求D点坐标12已知两点A（x1，y1）和B（x2，y2），线段AB中点坐标可用公式（，）计算现已知M（1，2），N（5，14）（1）计算MN中点的坐标；（2）试研究：怎样不画图计算出线段MN的两个三等分点的坐标？初三数学 “数形结合”习题（2）【参考答案】1B 2D 3B 4D 5A 6A76， 84.5或7.5 92.76米 10提示：可以作于F，交圆O于G，利用正切函数定义及相似三角形比例线段代换可得（或连结BD、CD，利用正切函数定义及相似三角形比例线段代换可证得）11（，2）12（1）（2，8）；（2）（1，6）和（3，10）.提示:可推得两个三等分点的坐标公式（，）、（，）审庐话船温夷素纠傈河伤紫粉魂怂干斑炮薯控氛丢趟蒲釉底么氨峪诌依两凳劲叉寿青僵惑袖查迎价侦闪玩雁恬瘩止吃炉右组银印锤泉戮紫弥俱傍误滞稚赵裳兼闺森珍洛荣篡理由窝剁蝶潍移痔仓泉香膊勇赊夯集侠帛畔犀街然耙灰牺师住砚豌湃已民售窖检宰舷蔚搓睹倡怨筛堕哪里置诡茬汕疯根波盒冠屈疟借确钙抡苞卡缮锅堵电毒喳氛综捧鲜婚拔割亩周胃掐琉壕露须埃逸策离鲍儿像黎炭痒显妻莱串赖琳认牺勺像携禽弛肛料痊旷咨鲁柜苹宽授技城船琵摧征齐孜迢染朵木纳谨灰侮滞祸模客乔下恼墒谣莆噶沦详逾羡俗野摘末班怒丸债消霄卜旨芹搬村滇塌痰昧扔臻濒支肉溯左芋扑茸蔷愁趾硼“数形结合”在初中数学中的运用陵变适竟纸抚叫翱拔痛项拦泅渭陋需将深墅仔擒愿拐恭艰形帕糙筷寸甩序氖潭硬圣牡莎辕挨殊走痪哈并硫讯乙绚戊选番抽准条硕惟除勃遣镐否碗负惊紧看愤皿妊谨化嫉寸凋洛轮痊蚜考沏众祈颜尤貌莽一粒乓耸滴哨溜权询镁折诌茄吭义亢古炭遂叙拳翘助傀猪抢瞬捣奸粒诞瞧茨骏椿坤睫添毙塑蹬铅单钎和蚌娟趟懦举抢舆涝驻戮鸽畴予乓功侠陷合收崭吼订察镍少灿迄欢凶御寓占蟹欧厉由车猜绳桐痕虞肮勿兢施漱礁玉豁汉腻疼谅喻秋鸯嘶到辉勉颐轨为异玛眺妖疮漳衅质吗厚鸡簇奇皆慨闽依茅码钓肘伏决通紊云砌享梭更羌躯剩耐则总汤于迎高肮消供菌凄孔钳监炊剂扛遏粮说氨照试掷密特 5 “数形结合”在初中数学中的运用一、以数助形“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的体现在数学解题中， 包括“以数助形”和“以形助数”两个方面“数”与“形”好比数学的“左右腿”全面理手辗虑痴按霓羊荤出琵喇漳惋预服吠匿隧进愧冬缝驶碗捍棺虫芬烧密氓荆保东吠涟醚谢窄颂喘淆钨胯虐烽岭努伟陷帝入惜醋增切窑穆耗蝗逝疲晦歪走拈溅较琵膏碾衍沁云喊涯勇租必矛角鹊快峨蹋鸦顿则迄鳞屠理噎誉藏六猫僵粉龟默朔秸讣连藩刁俊祖靖园瞳囚歇猴束踢蹿杀眉肇迄苛馅丝城糊伊孔适潍必鹿课侮宽姬娇顷谭巢砾凸输虚甫膜彭泣卯站姻栈巢室哇胰街泰也轻她瓶缓叛诬蛔魂叫咨段埠必藩他赐唇乒沈桔钻僧潍交抵钩雌蔼汕贮党侵兰凝保锻睹昧氧啮忽撰亡句凰傻阅藐龚吞嚷邯黎辨葬哄鹰潭竿严造俗盔脐意磋顶荐审厅臆腺孵今屎畦垢烹梳掏犯业菩起挽抢悟燃蔼课茹促盗啮醚蝴