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6.2垂直关系的性质,第一章6垂直关系,学习目标1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理.2.能运用性质定理解决一些简单问题.3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一直线与平面垂直的性质定理,思考在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆.一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？答案平行.,梳理性质定理,平行,知识点二平面与平面垂直的性质,思考黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？答案容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直.,梳理性质定理,垂直,一个平面内,交线,a,al,思考辨析判断正误1.若平面平面，任取直线l，则必有l.()2.已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.(),题型探究,例1如图所示，在正方体A1B1C1D1ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.求证：EFBD1.,类型一线面垂直的性质及应用,证明,证明如图，连接AB1，B1C，BD，B1D1.DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC.又ACBD，DD1BDD，AC平面BDD1B1，又BD1平面BDD1B1，ACBD1.同理BD1B1C，BD1平面AB1C.EFA1D，且A1DB1C，,EFB1C.又EFAC，ACB1CC，EF平面AB1C，EFBD1.,反思与感悟证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线.(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.,跟踪训练1如图，l，PA，PB，垂足分别为A，B，a，aAB.求证：al.,证明,证明PA，l，PAl.同理PBl.PAPBP，l平面PAB.又PA，a，PAa.aAB，PAABA，a平面PAB.al.,类型二面面垂直的性质及应用,例2如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC.求证：BCAB.,证明,证明如图，在平面PAB内，作ADPB于点D.平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBCPB，AD平面PAB.AD平面PBC.又BC平面PBC，ADBC.又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，,又PAADA，PA，AD平面PAB，BC平面PAB.又AB平面PAB，BCAB.,反思感悟证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.,跟踪训练2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为边AD的中点.求证：(1)BG平面PAD；,证明,证明四边形ABCD是菱形且DAB60，ABD是正三角形，又G为AD的中点，BGAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BG平面ABCD，BG平面PAD.,(2)ADPB.,证明,证明由(1)可知BGAD，由题意知PAD为正三角形，G是AD的中点，PGAD.又BGPGG，AD平面PBG，又PB平面PBG，ADPB.,类型三垂直关系的综合应用,命题角度1线线、线面、面面垂直的转化例3如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA底面ABCD；,证明,证明PAAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA平面ABCD.,(2)BE平面PAD；,证明ABCD，ABAD，CD2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BEAD.又AD平面PAD，BE平面PAD，BE平面PAD.,证明,(3)平面BEF平面PCD.,证明,证明在平行四边形ABED中，ABAD，四边形ABED为矩形，BECD.PA平面ABCD，PAAB，又ABAD，PAADA，AB平面PAD，CD平面PAD，,CDPD.又E，F分别为CD和PC的中点，EFPD，CDEF.EFBEE，EF，BE平面BEF，CD平面BEF.又CD平面PCD，平面BEF平面PCD.,反思与感悟在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫.应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题.,跟踪训练3如图，在四面体ABCD中，平面ABC平面BCD，ABAC，DCBC.求证：平面ABD平面ACD.,证明,证明平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，在平面ABC内，作AEBC于点E，如图，则AE平面BCD.又CD平面BCD，AECD.又BCCD，AEBCE，AE，BC平面ABC，CD平面ABC，又AB平面ABC，,ABCD.又ABAC，ACCDC，AC，CD平面ACD.AB平面ACD.又AB平面ABD，平面ABD平面ACD.,命题角度2垂直中的探索性问题例4已知在三棱锥ABCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E，F分别是AC，AD上的动点，且(01).(1)求证：不论为何值，总有平面BEF平面ABC；,证明,证明BCD90，BCCD.AB平面BCD，ABCD.又ABBCB，CD平面ABC.，EFCD，,EF平面ABC.又EF平面BEF，平面BEF平面ABC.故不论为何值，总有平面BEF平面ABC.,(2)当为何值时，平面BEF平面ACD?,解答,解由(1)得EF平面ABC，BE平面ABC，EFBE.要使平面BEF平面ACD，只需BEAC.BCD90，BCCD1，又AB平面BCD，ADB60，,反思与感悟解决开放性问题一般先从结论入手，分析得到该结论所需的条件或与其等价的条件，此类型题考查空间想象能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.,跟踪训练4如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知DCDD12AD2AB，ADDC，ABDC.(1)求证：D1CAC1；,证明,证明在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，连接C1D，DCDD1，四边形DCC1D1是正方形，DC1D1C.又ADDC，ADDD1，DCDD1D，AD平面DCC1D1，ADD1C.AD，DC1平面ADC1，且ADDC1D，D1C平面ADC1.AC1平面ADC1，D1CAC1.,(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E平面A1BD，并说明理由.,解答,解连接AD1，AE，设AD1A1DM，BDAEN，连接MN，平面AD1E平面A1BDMN，需使MND1E.又M是AD1的中点，N是AE的中点，又易知ABNEDN，ABDE，即E是DC的中点.综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E平面A1BD.,达标检测,答案,1.给出下列说法：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行；一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直.其中正确说法的个数是A.0B.1C.2D.3,1,2,3,4,5,2.平面平面，直线a，则A.aB.aC.a与相交D.以上都有可能,1,2,3,4,5,答案,解析因为a平面，平面平面，所以直线a与垂直、相交、平行都有可能.,解析,2,3,3.已知直线l平面，直线m平面.有下面四个说法：lm；lm；lm；lm.其中正确的两个说法是A.B.C.D.,4,5,1,答案,解析l，m，lm，故正确；lm，l，m，又m，故正确.,解析,4.如图，在三棱锥PABC中，侧面PAC底面ABC，且PAC90，PA1，AB2，则PB_.,答案,2,3,4,5,1,解析侧面PAC底面ABC，交线为AC，PAC90(即PAAC)，PA平面ABC，PAAB，,解析,5.如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC底面ABCD，求证：平面SCD平面SBC.,证明,2,3,4,5,1,证明因为底面ABCD是矩形，所以BCCD.又平面SDC平面ABCD，平面SDC平面ABCDCD，BC平面ABCD，所以BC平面SCD.又因为BC平面SBC，所以平面SCD平面SBC.,1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.2.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：,规律与方法,
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