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7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积,第一章7简单几何体的面积和体积,学习目标1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.掌握求几何体体积的基本技巧.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一柱、锥、台体的体积公式,Sh,(S上S下)h,Sh,知识点二柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系,思考辨析判断正误1.锥体的体积等于底面面积与高之积.()2.台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(),题型探究,例1如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)证明：PQ平面DCQ；,类型一多面体的体积,证明,证明由题知四边形PDAQ为直角梯形.因为QA平面ABCD，QA平面PDAQ，所以平面PDAQ平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，可得PQDC.则PQQD.又DCQDD，DC，QD平面DCQ，所以PQ平面DCQ.,(2)求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值.,解答,解设ABa.由题设知AQ为棱锥QABCD的高，,由(1)知PQ为棱锥PDCQ的高.,故棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值为1.,反思与感悟求几何体体积的四种常用方法(1)公式法：规则几何体直接代入公式求解.(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等.(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.,跟踪训练1如图，在三棱柱中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为的两部分，那么_.,解析,答案,75,解析设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则VV1V2Sh.因为E，F分别为AB，AC的中点，,类型二旋转体的体积,例2体积为52cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，求截得这个圆台的圆锥的体积.,解答,解由底面面积之比为19知，体积之比为127.截得的小圆锥与圆台体积比为126，小圆锥的体积为2cm3，故原来圆锥的体积为54cm3.,反思与感悟要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答.(1)求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解.(2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键.,跟踪训练2设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为_.,21,答案,解析,解析设上，下底面半径，母线长分别为r，R，l.作A1DAB于点D，则A1D3，A1AB60，又BA1A90，BA1D60，,21.圆台的体积为21.,类型三几何体体积的求法,命题角度1等体积法例3如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1D1EF的体积.,解答,解,又三棱锥FA1D1E的高为CDa，,反思与感悟(1)三棱锥的每一个面都可当作底面来处理.(2)利用等体积法可求点到面的距离.,跟踪训练3如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在三棱锥A1ABD中，求A到平面A1BD的距离d.,解答,解在三棱锥A1ABD中，AA1是三棱锥A1ABD的高，,命题角度2割补法例4如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EFAB，EF2，EF与平面AC的距离为3，求该多面体的体积.,解答,解如图，连接EB，EC，AC.四棱锥EABCD的体积VEABCD42316.因为AB2EF，EFAB，所以SEAB2SBEF.所以该多面体的体积VVEABCDVFEBC16420.,反思与感悟通过“割补法”解决空间几何体的体积问题，需要思路灵活，有充分的空间想象力，什么时候“割”，什么时候“补”，“割”时割成几个图形，割成什么图形，“补”时补上什么图形，都需要灵活的选择.,跟踪训练4如图所示，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积.,解答,解用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图所示，则圆柱的体积为22520，故所求几何体的体积为10.,达标检测,1.已知高为3的棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1ABC的体积为,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,解析设圆锥的底面半径为r，母线长为l，解得r4.,1,2,3,4,5,2,3,3.棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是A.186B.62C.24D.18,4,5,1,答案,解析,4.已知某圆台的上、下底面面积分别是，4，侧面积是6，则这个圆台的体积是_.,解析设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上r2，S下R24.r1，R2，S侧(rR)l6.l2，,答案,解析,2,3,4,5,1,5.如图是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降_cm.,2,3,4,5,1,0.6,答案,解析,2,3,4,5,1,解析将铅锤取出后，水面下降部分实际是圆锥的体积.设水面下降的高度为xcm，则得x0.6cm.,1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为2.在三棱锥ABCD中，若求点A到平面BCD的距离h，可以先求VABCD，h.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V一般用换顶点法求解，即VABCDVBACDVCABDVDABC，求解的原则是V易求，且BCD的面积易求.3.求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.,规律与方法,
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