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第二章逻辑代数和逻辑函数,2.1基本逻辑运算2.2逻辑函数的变换和化简2.3逻辑函数的卡诺图化简法,本章要求：掌握逻辑代数的基本公式、运算定律、规则。熟悉逻辑函数的表示方法以及逻辑函数的公式法化简。掌握卡诺图及用卡诺图化简逻辑函数的方法。,2.1基本逻辑运算,数字电路研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，逻辑关系一般用逻辑函数来描述，所以数字电路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑代数（布尔代数）。,在逻辑代数中，逻辑函数是由逻辑变量和基本的逻辑运算符构成的表达式，其变量只能取两个值（二值变量），即0和1，中间值没有意义。,0和1表示两个对立的逻辑状态。,例如：电位的低高（0表示低电位，1表示高电位）、开关的开合等。,A为原变量，为反变量,1.基本运算公式(0-1律，还原律)与（乘）或（加）非,2.基本运算定律,结合律,交换律,分配律,普通代数不适用!,证明:,右边=(A+B)(A+C),=AA+AB+AC+BC;分配律,=A+A(B+C)+BC;结合律,AA=A,=A(1+B+C)+BC;结合律,=A1+BC;1+B+C=1,=A+BC;A1=1,=左边,吸收律:吸收多余（冗余）项，多余（冗余）因子被取消、去掉被消化了。),（1）原变量的吸收：,证明：,A+AB=A(1+B)=A1=A,长中含短，留下短。,（2）反变量的吸收：,证明：,长中含反，去掉反。,想一想：?,（3）混合变量的吸收：,证明：,正负相对，余全完。,反演律（德摩根(DeMorgan)定理）,可以用列真值表的方法证明：,3.基本运算规则,（1）运算顺序：先括号再乘法后加法。,（2）代入规则：在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。,例：已知,则得到,（3）反演规则：将函数式F中所有的,变量与常数均取反,（求反运算）,互补运算,2.不是一个变量上的反号不动。,注意:,用处：实现互补运算（求反运算）。,新表达式：F,显然：,1.变换时，原函数运算的先后顺序不变,例1：,与或式,注意括号,注意括号,例2：,与或式,反号不动,反号不动,（4）对偶规则：,若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。,对偶式：对于任何一个逻辑式Y，若将其中的“”换成“+”，“+”换成“”，0换成1，1换成0，则得到一个新的逻辑式Y，则Y叫做Y的对偶式,2.2逻辑函数的变换和化简,四种表示方法,逻辑代数式(逻辑表示式,逻辑函数式),逻辑电路图:,卡诺图,真值表：将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的表格。,2.2.1逻辑函数表示方法：四种，并可相互转换,1、从真值表写出逻辑函数式,不同表示方法之间的相互转换：,一般方法：（1）找出真值表中是逻辑函数为1的那些输入变量取值的组合；（2）每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，其中取值为1的写入原变量，取值为0的写入反变量；（3）将这些乘积项相加，即得输出的逻辑函数式。,例如：由左图所示三变量逻辑函数的真值表，可写出其逻辑函数式：,验证：将八种输入状态代入该表示式，均满足真值表中所列出的对应的输出状态。,方法：一般按二进制的顺序，输出与输入状态一一对应，列出所有可能的状态。,例如：,2、从逻辑函数式写出真值表,3、从逻辑函数式画出逻辑图,方法：图形符号代替式中的运算符号即可,例：已知逻辑函数为,画出对应的逻辑图,逻辑代数式是把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式。也称为逻辑函数式，通常采用“与或”的形式。,例：,一个逻辑函数可以表示为不同的表达式。对应的逻辑图也不同。实际应用中，电路越简单，可靠性越高，成本越低，故常需对函数式进行变换和化简。,2.2.2逻辑函数的变换和化简,与-或式：由几个乘积项相加组成的逻辑式。,化简的目的：得到逻辑函数的最简形式。,最简与-或式：逻辑式中包含的乘积项已经最少，而且每个乘积项里的因子最少。,通常先化简成最简与-或式，再转换成其他形式,2.2.2逻辑函数的变换和化简（公式法）,反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式消去函数式中多余的乘积项和多余的因子，以得到函数式的最简形式。,例1：,(1)吸收法:利用,例2：,(2)并项法:,例3：,化简,（3）配项法,化简,（4）加项法,例5：,再看一例题,例5：,化简,吸收,吸收,吸收,吸收,利用公式法进行化简的问题：复杂技巧性强是否最简尚不得而知,2.3逻辑函数的卡诺图化简法,2.3.1.最小项和最大项,一、最小项,1、定义：在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这几个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。即输入变量的每一种组合，它构成逻辑函数的基本单元。2、特点：,（1）n变量的最小项应为2n个；（2）在输入变量的任何取值下必有一个最小项而且仅有一个最小项的值为1;（3）全体最小项之和为1;（4）任意两个最小项的乘积为0;（5）相邻性：若两个最小项只有一个因子不同则这两个最小项具有相邻性。（6）具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子;,以三变量的逻辑函数为例分析最小项表示及特点,变量赋值为1时用该变量表示；赋0时用该变量的反来表示。,可见输入变量的八种状态分别唯一地对应着八个最小项。,当输入变量的赋值使某一个最小项等于1时，其他的最小项均等于0。,之所以称之为最小项，是因为该项已包含了所有的输入变量，不可能再分解。,例如：对于三变量的逻辑函数，如果某一项的变量数少于3个，则该项可继续分解；若变量数等于3个，则该项不能继续分解。,相邻最小项的合并：若两个最小项逻辑相邻则可以消去一对互反的因子合并成一项。,逻辑相邻的项可以合并，消去一个因子,二、最大项,1、定义：在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之和，而且这几个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则称M为该组变量的最大项。2、特点：（1）n变量的最大项应为2n个。（2）输入变量的每一组取值都使一个且仅有对应的最大项的值等于0。,（3）全体最大项之积为0；（4）任意两个最大项的和为1；（5）相邻性：若两个最大项只有一个因子不同则这两个最大项具有相邻性。（6）具有相邻性的两个最大项之积可以合并成一项并消去一对因子;,三、最大项和最小项之间的关系,例如,2.3.2逻辑函数的两种标准形式,可以把任何一个逻辑函数一般表达式化为最小项之和的标准形式,利用,1.最小项之和形式标准的与或表达式,例如给定逻辑函数,则可化为,例：将逻辑函数,展开为最小项之和的形式,2.最大项之积形式,任何一个逻辑函数都可以化成最大项之积的标准形式,若给定,则,例：将逻辑函数,展开成最大项之积的形式,解：已求得,2.3.3卡诺图,卡诺图：将n个输入变量的全部最小项用小方块阵列图表示，并且将逻辑相邻的最小项放在相邻的几何位置上，所得到的阵列图就是n变量的卡诺图。,表示最小项的卡诺图,两变量卡诺图,四变量卡诺图,三变量卡诺图,说明：一格一个最小项相邻两格为逻辑相邻项,有时为了方便，用二进制对应的十进制表示单元格的编号。单元格的值用函数式表示。,F(A,B,C)=(1,2,4,7),1,2,4,7单元取1，其它取0,四变量卡诺图单元格的编号:,从真值表到卡诺图：对应填写,2.3.4逻辑函数的卡诺图表示,输入变量,例1：二输入变量卡诺图,输入变量,例2：三输入变量卡诺图,注意：00与10逻辑相邻。,例3：四输入变量卡诺图,2.3.4逻辑函数的卡诺图表示,把逻辑函数化为最小项之和的形式；在卡诺图上与这些最小项对应的位置添1；在其余的位置上添入0；,任何一个逻辑函数都等于它的卡诺图中添入1的那些最小项之和。,从函数式到卡诺图：,例：用卡诺图表示逻辑函数,解：先将逻辑函数化为最小项之和形式,已知函数的卡诺图，写出该其逻辑式,2.3.5逻辑函数的卡诺图化简,1.合并最小项的规则：,个最小项相邻并排成一个矩形组，,如果由,则它们可以合并为一项，并消去n对互反因子。,n=1，合并一对因子,n=2，合并两对因子,合并两个相邻最小项,合并四个相临最小项,B,合并八个相临最小项,2.卡诺图化简的步骤,将函数化为最小项之和的形式；画出表示该逻辑函数的卡诺图；找出可以合并的最小项；选取化简后的乘积项；,合并圈的选取：圈儿宁大勿小；圈数宁少勿多；圈圈含新,例1：化简,F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15),解：,例2：化简,例3：化简,解：,例4：化简逻辑函数,解：由Y画出卡诺图，得出,想一想：能否圈0？,3.具有无关项的逻辑函数及其化简,举例说明：三个逻辑变量A、B、C分别表示一台电动机的正转、反转和停止的命令。A=1表示正转，B=1表示反转，C=1表示停止可能取值只有001，010，100当中的某一种；而000，011，101，110，111中的任何一种都不可能出现，可表示为：,（1）约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项,约束项：这些恒等于0的最小项。由于函数对输入变量取值所加的限制而产生的，根本不会出现，故写进函数式中不会改变函数值。,或,任意项：在输入变量的某些取值下函数值是1是0皆可，并不影响电路的功能,在这些变量取值组合下，其值等于1的那些最小项。,无关项：约束项和任意项的统称,常用d表示。约束项和任意项即可以写入函数式，也可从函数式中删掉，不影响函数值。,（2）具有无关项的逻辑函数及其化简,在真值表和卡诺图中用（或）表示无关项。合并最小项时，无关项即可作为0（圈0）又可作为1（圈1），以期得到最大的圈。,解：,例6：利用卡诺图化简逻辑函数,解：由F画出卡诺图，得出,我们来分析一个实际问题：某水库设有三个水位检测点，装有A、B、C三个干湿传感器，当传感器被水浸泡时输出1，否则（不浸水时）输出0。该水库有大小两个闸门GL、GS。A为警戒水位点，B比警戒水位A高1米，C比警戒水位高2米。防汛部规定当水位低于警戒水位A时，关闸蓄水。当水位超过A时，开小闸门GS放水，当水位超过B时，开启大闸门GL（关闭小闸门）泄洪；当水位超过C时，大小闸门LS同时开启泄洪。如果用1表示闸门关闭，闸门与水库水位之间的逻辑关系真值表如下：,无关项在逻辑函数化简中的应用,说明：水位低于警戒线，关闸蓄水水位超警戒线A，只开小闸门放水水位超警戒线B，只开大闸门泄洪水位超警戒线C，大小闸门同时泄洪,还能再化简吗？,从前面讲过的内容来看,这两个逻辑函数已经不能再化简了，但从现实角度看应该有更简化的结果GL=B，因为只要水位超过B（B1），大闸门就要开启，与是否超过C无关（因为C1时，B也等于1，同样,说明前面讲过的内容还有欠缺的地方。,我们观察上面的真值表发现，A、B、C三个代表水位的逻辑变量，可能的取值只有000、100、110和111四种。其余四种取值001、010、011和101永远不可能出现。因为没有物理意义。如果001，C1，AB0这是不可能的。即：,所以：,2.5逻辑函数门电路的实现,方法：1.化简函数式，得最简形式2.根据提供的器件类型不同，将函数变换为不同形式，如只提供与非门，则根据反演定理将函数变换为与非与非形式。例：,可用三个与门，一个三输入的或门实现；也可用四个与非门实现,与或逻辑电路,与非逻辑电路,
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