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推理与证明,推理,证明,第二章 推理与证明,2.1.1合情推理,6 33 10 37 12 57,数学皇冠上璀璨的明珠哥德巴赫猜想,任何形如,反例,费马猜想,的数都是质数,四色猜想：“任何一张地图只用四种颜色 就能使具有共同边界的国家着上不同的颜 色。”也就是说在不引起混淆的情况下一 张地图只需四种颜色来标记就行。,由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).,归纳推理,例1.已知数列 的第一项 =1, 且 ( 1，2，3，)， 请归纳出这个数列的通项公式为_.,猜测,1111111,练习：观察下图,可以发现,1+3+(2n1)=n2,1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52 ,1,春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.,可能有生命存在,有生命存在,温度适合生物的生存,一年中有四季的变更,有大气层,行星、围绕太阳运行、绕轴自转,火星,地球,火星与地球类比的思维过程：,火星,地球,存在类似特征,由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.,类比推理,探究,试将平面上的圆与空间的球进行类比.,圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.,球的定义：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合.,圆 弦 直径周长 面积,球,截面圆,大圆,表面积,体积,球心与截面圆(不经过球心的截面圆)圆心连线垂直于截面圆.,与球心距离相等的两截面圆面积相等;与球心距离不等的两截面圆面积不等,距球心较近的截面圆面积较大.,以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球的方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.,例2、试根据等式的性质猜想不等式的性质。,等式的性质： (1) a=ba+c=b+c; (2) a=b ac=bc; (3) a=ba2=b2;等等。,猜想不等式的性质：,(1) aba+cb+c;,(2) ab acbc;,(3) aba2b2;等等。,问：这样猜想出的结论是否一定正确？,例3：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想,s1,s2,s3,c2=a2+b2,传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则,把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡”的作用. 1.每次只能移动1个圆环； 2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上，那么世界末日就来临了.,游戏：河内塔（Tower of Hanoi）,思考：,如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上. (1)每次只能移动1个金属片； (2)较大的金属片不能放在较小的金属片上面； 试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？,1,2,3,让我们一起来归纳推理,1,2,3,第1个圆环从1到3.,设 为把 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则,1时，,1,2时，,1,2,3,前1个圆环从1到2; 第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.,3,第1个圆环从1到3.,设 为把 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则,1时，,1,n3时，,前2个圆环从1到2; 第3个圆环从1到3; 前2个圆环从2到3.,7,2时，,前1个圆环从1到2; 第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.,3,第1个圆环从1到3.,设 为把 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则,1时，,1,1,2,3,猜想 an=,2n -1,类比推理,由特殊到特殊的推理;,以旧的知识为基础,推测新的结果；,结论不一定成立.,归纳推理,由部分到整体、特殊到一般的推理;,以观察分析为基础,推测新的结论;,具有发现的功能;,结论不一定成立.,具有发现的功能;,小结：,再 见,善于观察勤于思考敢于猜想的人,常常会冒出创造的灵感火花 !,
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