模糊数学原理及其应用

绪言任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程，一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。模糊数学自1965年L.A.Zadeh教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的一席之地。经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这些学科固有的局限性。这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用精确方法描述和处理。而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。清晰事物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。模糊事物无法获得必要的精确数据，不能按精确方法建立数学模型。实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这对于处理清晰事物是适用的。但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。如判断企业经济效益的好坏时，用“年利税在100万元以上者为经济效益好的企业”表达，否则，便是经济效益不好的企业。根据常识，显而易见：“比经济效益好的企业年利税少1元的企业，仍是经济效益好的企业”，而不应被划为经济效益不好的企业。这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最后就会得到，“年利税为0者仍为经济效益好的企业”的悖论。类似的悖论有许多，历史上最著名的有“罗素悖论”。它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。客观实际中存在众多的模糊性事物和现象，促使人们寻求建立一种适于描述模糊事物和现象的逻辑模式。模糊集合理论便是在这种形势下应运而生的。模糊方法的逻辑基础是连续值逻辑，它是建立在0，1上的。如若我们把年利税在100万元以上者的属于“经济效益好”的企业的隶属度规定为1，那末，相比之下，年利税少1元的企业，属于“经济效益好”的企业的隶属度就应相应减少一点，比如为0.99999，依此类推，企业的年利税每减少1元，它属于“经济效益好”的企业的隶属度就要相应减少一点。这样下去，当企业的年利税为0时，它属于“经济效益好”的企业的隶属度也就为0了，显然，模糊方法的这种处理方式，是符合于人们的认识过程的，连续值逻辑是二值逻辑的合理推广。现代科学发展的总趋势是，从以分析为主对确定性现象的研究，进到以综合为主对不确定性现象的研究。各门科学在充分研究本领域中那些非此即彼的典型现象之后，正在扩大视域，转而研究那些亦此亦彼的非典型现象。自然科学不同学科之间，社会科学不同学科之间，自然科学和社会科学之间，相互渗透的趋势日益加强，原来截然分明的学科界限一个个被打破，边缘科学大量涌现出来。随着科学技术的综合化、整体化，边界不分明的对象，亦即模糊性对象，以多种多样的形式普遍地、经常地出现在科学的前沿。模糊集合理论自诞生以来，获得了长足的发展，每年全世界发表的研究论文的数量，以指数级速度增长。研究范围从开始时的模糊集合，发展为模糊数、模糊代数、模糊测度、模糊积分、模糊规划、模糊图论、模糊拓扑等众多的分枝。和模糊集合理论的发展速度相比，模糊技术的应用虽稍迟一步，但也取得了令人可喜的进展。自1980年第一例应用模糊技术的产品问世以来，有关这方面的研究报告已逾7000多篇，制造出近千种模糊产品，如计算机、电饭煲、摄像机、微波炉、洗衣机、空调器等。如日本松下公司研制的智能化家用空调器，可根据内置的传感器提供的室内空气温度数据，在室温高或低于25C时，会自动地“稍稍”调节空调器的阀门，进行4608种不同状态设定选择，从而获得最佳开启状态和尽可能少的消耗。而这种“稍稍”的程度，只有通过有经验的人的感觉来决定。模糊技术方法不是对精确的摒弃，而是对精确更圆满的刻画。它通过模糊控制规划，利用人类常识和智慧，理解词语的模糊内涵和外延，将各方面专家的思维互相补充。虽然，目前要使模糊技术接近于人的思维，尚难以做到，但正如日本夏普公司电子专家日吉考庄所说：一个普遍应用模糊技术的时代，不久就会到来。我国自70年代开始模糊数学研究以来，成就突出，已形成了2000至3000人的世界最庞大的研究队伍，并在高速模糊推理研究等领域，居世界领先地位。但同时在其它方面，也存在着一些差距，尤其突出的是实验室里的成果，还有许多未转化成经济效益。需要在政府和工业界的支持和参与下，成立专门的开发实体，制定规划，并积极开展国际交流，为我国21世纪的技术发展和科学腾飞奠定基础。第二章模式识别2-1模式识别及识别的直接方法在日常生活中生活中，经常需要进行各种判断、预测。如图象文字识别、故障（疾病）的诊断、矿藏情况的判断等，其特点就是在已知各种标准类型前提下，判断识别对象属于哪个类型的问题。这样的问题就是模式识别。一、模糊模式识别的一般步骤模式识别的问题，在模糊数学形成之前就已经存在，传统的作法主要用统计方法或语言的方法进行识别。但在多数情况下，标准类型常可用模糊集表示，用模糊数学的方法进行识别是更为合理可行的，以模糊数学为基础的模式识别方法称为模糊模式识别。模式识别主要包括三个步骤：第一步：提取特征，首先需要从识别对象中提取与识别有关的特征，并度量这些特征，设x,x分别为每个特征的度量值，于是每个识别对1n象x就对应一个向量（x,x，x），这一步是识别的关键，特征提取不合理,12n会影响识别效果。第二步：建立标准类型的隶属函数，标准类型通常是论域U，x,x）的模糊集,x是识别对象的第i个特征。1ni第三步：建立识别判决准则，确定某些归属原则，以判定识别对象属于哪一个标准类型。常用的判决准则有最大隶属度原则（直接法）和择近原则（间接法）两种。二、最大的隶属度原则若标准类型是一些表示模糊概念的模糊集，待识别对象是论域中的某一元素（个体）时，往往由于识别对象不绝对地属于某类标准类型，因而隶属度不为1，这类问题人们常常是采用称为“最大隶属度原则”的方法加以识别，这种方法（以及下面的“阈值原则”）是处理个体识别问题的，称为直接法。最大隶属度原则：设A,AAeF（U）是n个标准类型，xgU,若12n0A（x）-maxA（x）11kni0k01则认为x相对隶属于A所代表的类型。0i例1通货膨胀识别问题通货膨胀状态可分成五个类型:通货稳定;轻度通货膨胀;中度通货膨胀；重度通货膨胀；恶性通货膨胀.以上五个类型依次用R+（非负实数域，下同）上的模糊集Ai,A2,A3,A4,A5表示，其隶属函数分别为:1，A1(X)=exp2,0x5x5A2(x)=exp(X10)2A3(x)=exp(X20)2A4(x)=exp(X30)2A5(x)exp(X50)2),151,0x50x50其中对x0,表示物价上涨x%。问x=&40时，分别相对隶属于哪种类型？解A=0.36791A(8)=0.85212A(8)二0.0529，A(8)=0.003234A(8)二0.00005A(40)=0.0000，1A(40)二0.0003,3A(40)=0.00002A(40)=0.12994A(40)二0.64125由最大隶属原则，x=8应相对隶属于A，即当物价上涨8%时，应视2为轻度通货膨胀；x=40，应相对隶属于A5，即当物价上涨40%时，应视为恶性通货膨胀。三、阈值原则在使用最大隶属度原则进行识别中，还会出现以下两种情况，其一是有时待识别对象x关于模糊集A,AA中每一个隶属程度都相对较低，012n这时说明模糊集合A,AA对元素x不能识别；其二是有时待识别对象x12n关于模糊集Ai,A?An中若干个的隶属程度都相对较高，这时还可以缩小X的识别范围，关于这两种情况有如下阈值原则。X0U，d(0，1为一阈阈值原则：A,AAF(U)是n个标准类型，12n值(置信水平)令二maxA(x)1kd且有A(x)d，A(x)dA(x)d则判决x相对地属i0i0i0012m于AnAiinAim例2三角形识别问题我们把三角形分成等腰三角形I，直角三角形R,正三角形E，非典型三角形T，这四个标准类型，取定论域Xxx(A,B,C),A+B+C180,ABC这里A,B,C是三角形三个内角的度数，通过分析建立这四类三角形的隶属函数为：I(x)1-丄(A-B)A(B-C)60R(x)1-90A-90|E(x)1-丄(A-C)180T(x)丄讪皿3(A-B),3(B-C),A-C,2|A-90|180现给定，x0(A,B,C)(85,50,45)，x0对上述四个标准类型的隶属度为：T(x)0.060I(x)0.916R(x)0.94E(x)0.7000由于xo关于1,R的隶属程度都相对高,故采用阈值原则，取d0.8，因I(x)0.9160.8，R(x)0.940.8，按阈值原则，x相对属于InR,000即x0可识别为等腰直角三角形。例3癌细胞识别在癌细胞识别问题中细胞分成四个标准类型，即：癌细胞(M),重度核异质细胞(N)，轻度核异质细胞(R),正常细胞(T)。选取表征细胞状况的七个特征：x1x2x5x7:核面积,x:核周长,2:细胞面积,x:细胞周长,4:核内总光密度,x:核内平均光密度,6:核内平均透光率.根据病理知识，反映细胞是否癌变的主要指标有以下六个，它们都是X，x:x，(x,x,，x)上的模糊集：127A:核增大A(x)，(1-B)-1(a正常核面积)x21B:核染色增深B(x)，(1+E)-ix25C:核桨比例置C(x)，(1+_L)-ix21Bx2D:核内染色质不匀D(x)，1+-7-i(x+lgx)276E:核畸形，E(x)，1+1-1x2(24)2x1F:细胞畸形，F(x)，1+-1-4)2x3上述B,B,B是适当选取的常数126细胞识别中的几个标准类型分别定义为m，anbncn（d,e）,fn，anbncnMcr，a2nb2nc2nMcnnt，McnNcnRc1另两个模糊集B2、111上述定义中的模糊集A2的隶属函数为A2(x),(A(x)2。1C2的隶属函数类似定义。给定待识别细胞xX，设x的核面积等七个特征值为（x0,x0,x0）据此可算出00127M（x）、N（x）、R（x）、T（x），最后按最大隶属度原则识别。0000例4冬季降雪量预报内蒙古丰镇地区流行三条谚语：（1）夏热冬雪大，（2）秋霜晚冬雪大，（3）秋分刮西北风冬雪大，现在根据三条谚语来预报丰镇地区冬季降雪量。为描述“夏热”（A）、秋霜晚（A）、秋分刮西北风（A）等概念，在气123象现象中提取以下特征：x：当年67月平均气温1&当年秋季初霜日期x3:当年秋分日的风向与正西方向的夹角。于是模糊集A1（夏热），A2（秋霜晚）、A（秋分刮西北风）的隶属函数可分别定义为：A(x)=1111()1-(x-x)22a21112axx1112a1其中xi是丰镇地区若干年6、月份气温的平均值，a1为方差，实际预报时取2a12=0.98x2-x2A(x)=22x-a22x-a22ax22其中xa22x2是若干年秋季初霜日的平均值，a2是经验参数，实际预报时取x2=17（即9月17日），a2=10（即9月10日）。-sinxA3(X3)=h3cosx3270。Wx3603180。x270。390。x0.8则预报当年冬季“多雪”，否则预报“少雪”。用这一方法对丰镇19591970年间隔12年作了预报，除1965年以外均报对，历史拟合率为11/12。2-2贴近度与模式识别的间接方法一、贴近度表示两个模糊集接近程度的数量指标，称为贴近度，其严格的数学定义如下：定义1设映射N:F(U)xF(U)|A(x)一B(x)(VxeU)有N(AC)N(AB)则称映射N为F(U)上的贴近度，称N(AB)为A与B的贴近度。贴近度的具体形式较多，以下介绍几种常见的贴近度公式1)Hamming贴近度N(A,B)二1，1|a(x)一B(x)Hniii=1N(A,B)=11Jb|A(x)B(x)|dxH(ba)a(2)Euclid贴近度N(A,B)=1-1(A(x)-B(x)2Eniii=1或N(A,B)=11Jb(A(x)B(x)2dxEbaaii(3)格贴近度定义7映射N:F(U)F(U)0,1g(A,B)|N(A,B)=(AB)a(A0B)c,(或=丄A。B+(A0B)c)g2称为格贴近度，称N(A,B)为A与B格贴近度。其中，gA。B=A(x)aB(x)xeU(称为A与B的内积)A0B=aa(x)(称为A与B的外积)若u=(x,x，,x,贝y12nA。B=A(xaB(x)i=1iiA0B=AA(xB(x)i=1ii值得注意的是，这里的格贴近度是通过定义来规定的，事实上，格贴近度不满足定义1中(1),即N(AA)丰1,但是，当gVAeF(U),q=,suppA丰U时，格贴近度满足定义1的(1)-(3)。另外格贴近度的计算很方便，且用于表示相同类型模糊度的贴近度比较有效，所以在实际应用中也常选用格贴近度来反映模糊集接近程度。还有许多贴近度，这里不在一一介绍。贴近度主要用于模糊识别等具体问题，以上介绍的贴近度表示式各有优劣，具体应用时，应根据问题的实际情况，选用合适的贴近度。二、模式识别的间接方法一一择近原则在模式识别问题中，各标准类型（模式）一般是某个论域X上的模糊集，用模式识别的直接方法（最大隶属度原则、阈值原则）解决问题时，其识别对象是论域X中的元素。另有一类识别问题，其识别对象也是X上的模糊集，这类问题可以用下面的择近原则来识别判决。择近原则：已知n个标准类型A、A、AF（X），BF（X）为待识别的对12n象，N为F（X）上的贴近度，若N（A,B）二maxn（A,B）1k二1,2,ik则认为B与A最贴近，判定B属于A一类。ii例5岩石类型识别岩石按抗压强度可以分成五个标准类型：很差（A）、差（A）、较好（A）、好（A）1234很好（A5）。它们都是X=0,+）上的模糊集，其隶属函数如下（图2-1）0x200120000x20012000(kg/cm2)图2-10x200120000x20012000A1(x)=100(x-200)A2(x)(x-600)0x100100x2000x200200x400400x600600x0x20012000A3(X)1(x-400)2001-1(x-1100)2000400x600600x900900x1100其它A4（X）A(x)=，51(x-900)2001-1(x-2200)400001(x-1800)4001900x11001100x18001800x2200其它x18001800x22002200x今有某种岩体，经实测得出其抗压强度为X上的模糊集B，隶属函数为（图2-3）。B(x)=，1(x-712)881-1(x-1120)1200712x800800x10001000x1120其它试问岩体B应属于哪一类。计算B与A（i=15）的格贴近度，得:iN(A,B)=0,N(A,B)=0,N(A,B)=1gig2g3N(A,B)=0.68,N(A,B)=0g4g5按择近原则，B应属于A类，即B属于“较好”类(A类)的岩石。33例6小麦亲本识别在小麦杂交育种过程中，亲本选择是关键。现有五种类型的小麦亲本，它们是：A：早熟型，A：矮杆型，A：大粒型，123A：高肥丰产型，A：中肥丰产型。45判断小麦亲本类型的主要依据是以下五种性状特征x：抽穗期，x：株高，x：有效穗数，123x：主穗粒数，x：百粒重。45第i种类型亲本的第j个特征，是模糊集A,这些模糊集除A（早熟型的抽穗期）与ij11A（矮杆型的株高）外，其余都是中间型的正态分布模糊集。为简单计，将正态分布函数22展开，取前两项作它的近似值，则有_(x-a)21e_2,2u1(xa)22,2于是A的隶属函数可表示为：ijij11,10,12，2ij12,2ij(xa)2,ij(xb)2,ija2,xaijijijaxbijijbxb+2aijijij其它而An，A22的隶属函数取为偏小值型:A(x)=1(xb)22,2iiJ.ii为确定隶属函数中的参数值，xbiixbii(i=1,2)在熟知的标准类型中，每类型选出k个新本为样本，分别计算各样本的第j个特征的均值x讥及方差-車（心12,k）aijbij=minx:l=1,2,k=maxx:l=1,2,kijl,=-工，:ijkijll=1以上参数值见表（2-1）参数性状aijb1j2：1ja2jb2j1222ja3jb3j1223ja4jb4j1224.a5jb5j1225j抽穗期-6.71.15.59.61.05.811.91.25.211.30.95.1&91.2株高67.187.750.0-70.072.467.990.952.267.981.235.976.584.657.5有效穗数9.111.218.18.31&210.89.413.215.69.813.211.37.213.25.8主穗粒数40.255.092.037.552.580.744.254.521.241.251.013.337.648.393.9百粒重3.04.40.32.43.40.34.06.00.33.64.20.33.34.00.2现有一待识对象B，它的第j个特征B是中间型正态分布模糊集，隶属函数可近似表jB(x)=j1_(X_Xj)222j示为：x.2xx.+2jjjj(j=1,2,3,4,5)其它式中参数值见表（2-2）表2-2特性参数抽穗期株咼有效穗数主穗粒数百粒重x8.585.66.236.23.43Jl1.541.9700.28计算识别对象B的第j个特征与第i种标准类型对应特征A的格贴近度ij（A,B）（i=1,2,3,4,5）并定义第i种标准类型A与识别对象B的贴近度为:ijji（A,B）=夭（A,B）ij=1ijj计算结果列于表（2-3）表2-3早熟（A1）矮杆（A2）A大粒(A3)A高肥（A4）A中肥（5）N/B、g(i1，1)0.501.001.001.001.00NAB、g(i2，2)1.000.001.000.760.99NABg（i3，3）1.000.880.770.640.96NZAB、g（i4，4）0.230.980.890.830.98Ng（A5，B5）1.001.000.981.001.00N（A，B）0.230.000.770.640.96表(2-3)的最后一行为B与各标准类型的贴近度。由于B与A5的贴近度最高(0.96),故判定识别对象B为A5代表的类型，即B为中肥丰产类型的亲本。例7遥感土地复盖类型分类遥感是根据不同的地物对电磁波谱有不同的响应这一原理，来识别土地复盖的类型。空间遥感的一个象元相当于地面0.45公倾地物的综合。遥感图象识别分类中，要涉及不少模糊概念，例如，“以红松为主的针叶林”就是一个没有明确界线的模糊概念。这是遥感本身的特性决定的。因此用模糊数学的方法对遥感图象进行识别分类应该是行之有效的方法。美国爱达荷大学R.C.Heller教授指出，国际上当以水体、沙地、森林、城镇、作物、干草作为分类单位(即标准类型)时，空间遥感的分类精度可达83.93%甚至更高。但当分类单位深入到更小的土地复盖单元时，精度就不理想了。现在将分类单位细分阶段为以下五种标准类型：A：公路，A：村庄农田，A：红松为主的针叶林，123A：阔、针混交林，A：白桦林。45对于多波段遥感技术，假设采用P个波段，则每一地物对应一个P维数据向量x(x,x,x)。1975年1月22日美国发射LandSat-2，提供了12pMSS-4,5，6，7这四个波段的数据，故有p4。取论域ijij（x,x,x,123x）4ijij其中X1,x2,x3,x4分别为象元对应于MSS-4,5,6,7各波段的光谱强度。于是五种标准类型A(i15)可表为X上的模糊集。i由于各波段光谱强度是正态分布模糊集，故第i个标准类型的(j+3)波段光谱强度的隶属函数为：x-aA(x)exp-(j)2(j1,2,3,4)ijjIij定义第i种标准类型A为:iAAAAAii1i2i3i4因而x-aA(x)minA(x)=exp1j4帀j1j4.Jij其中a为若干个第i种类型第(j+3)个波段光谱强度的均值，为方差，东北凉水林场ijij的这些参数值见表(2-4)表2-4标准类型MSS-4MSS-5MSS-6MSS-7ai1Qi1ai2Qi2ai3Qi3ai4Qi4A119.060.5618.241.6051.244.3225.241.98A221.892.8824.684.8247.374.0921.632.39A315.461.2212.580.8836.543.5517.332.08A416.220.6412.780.5842.412.8721.221.50A5170.8213.20.42450.9423.200.42设B为识别对象，定义A与B的贴近度为:i1)(2)N(A,B)N(A,B)ij1gijj其中N(A,B)=(A。B)+(AB)cgijj2ijjijj表2-5类型识别对象*A1A2A3A4A5max判别结果效果B10.920.720.500.500.500.92A1正确B20.650.990.500.500.500.99A2正确B30.500.500.990.600.500.99A3正确B40.500.500.610.990.650.99A4正确B50.500.500.500.620.890.89A5正确按(A-B)c人1(A(x)aB(x)x,X丿及(A0B)cAc。BeN(A,B)gijjaa2【1+e3-26)（这里a与是B的均值与方差）。jjj现有东北凉水林场空间遥感象元（待识别对象）五个，按（1）与（2）计算它们与五个标准类型的贴近度，计算结果在表（2-5）按择近原则进行识别判决，准确率100%。例8雷达识别现有n个雷达类，每个雷达类可用发射频率、脉冲重复频率、脉冲宽度等特征来刻画，假设共有j个特征，第i类雷达的第j个特征可以取n个值。由于保密的需要及信号环境的ij日益复杂，这些特征及其取值都带有一定的模糊性。设第i类（i1n）雷达的k个特征为A,A,A,i类雷达的第j个特征（j1k）取值为Am（m1,2,n），其隶属函数为i1i2ikijij中间型柯西分布，即uamAm（U）1+（j）21jGmij设X为待识别对象，它的k个特征为X,X，X,X的第j个特征X的隶属函数也12kj取中间型柯西分布：uxX（u）1+（j）21（j1,2,k）jGj采用格贴近度，令dm（Am,X）ijijj1dmaxdm|m1nijijij则d为识别对象X的第j个特征与i类雷达第j个特征贴近程度的度量。ij一般情况可令d工adijijj=1（d是各d的加权平均值，权系数a表示j个特征的重要性程度）d可作为识别对iijji象X与第i类雷达总贴近的度量。根据d的大小可判定X属于何类雷达，但是，由于权系i数a的确定有一定的模糊性，Am及X的隶属函数的确定带有一定的主观性，从而导致贴jijj近度dm有一定的模糊性。因此对a及d进行模糊化处理，设ijjijA=(a;c,c)D=(d;w,w)jjjjLRijijijijLR这里A，D都是LR模糊数(见第五章)，取L=R。jijc=aa(1a),w=da(1d)jjjijijij令D=1,ADiiijj=1D的隶属函数为iD(d)=supAA(u)aD(u)ii,j=1jjjjd=,adijijj=1则D为识别对象X与第i类雷达的贴近程度的模糊测度。类似于阈值法则，给定水平值，令i为得到X所属雷达类别的确切判决，d=supIde(D)iiiid=infdIde(D)Jiiii则判定X为i。类雷达;若d=maxd:1in丿且i唯一,若d=d=maxd:1id，则判定X为i类雷达。121121用上述方法(将权系数及贴近度模糊化)，经上千次仿真试验，比传统的贴近度及线性加弘平均法，误判率有所下降。第三章模糊规划3-1模糊极值一、有界函数的模糊极值设f:XtR(R为实数集)Xty=f(x)是有界函数，求函数f(x)的普通极值问题是求X使f(x)=maxf(x)x,X满足上式的X为f(x)在X上的最大值点，f(x)为最大值，最大值点不定唯一.设f(x)的一切最大值点的集合为M=f(x)二maxf(x),x,X称M为f(x)的优越集.当x,M时，函数在x处取到最大值f(x),x使f(x)ff达到最优.当xM时，f(x)虽不是最大值，但对不同的x，f(x)与最大值f的差异有所不同,也就是说，对于不属于Mf的x，它们的“优越性”程度有所不同，为了反映X中各点不同的优越程度，将优越集Mf模糊化，并利用它将极值模糊化.定义1设f:XtR是有界函数，定义的隶属函数为max-minf(x)x,X;,X一minf(x)x,X称m为f的无条件模糊优越集称f(m)的f的无条件模糊极大值.这里f(M),F(R)，它的求属函数按扩张原理为ff(M)(y)=(x)f(x)=y(约定=0)注(1)当x=xi为f(x)的极大点，即f(xi)=maxf(x)|x,X)时M(x,二1，当x=x为f(x)的极小点，即f(x2)=minf(x)x,X)时2M(x2)-0,f(xi)f(x2)充分必要条件是M(x)M(x)f1f2xeX丿时，f(Mf)(yi)“x，X时,f(M中)(y2)二v叫(x)f(x)=y2(2)当y1二maxf(x)当y2二minf(x)f(M)(y)，vM(x)f(x)，yyf(xj=v，0因此，f(M)(y)反映了在模糊意义下，y对f的模糊数大值的求属程度.例1设X，x,x,x,x,x,f:XTR12345定义f(x1)，0,f(x2)，3,f(x3)，-1f(x4)，1,f(x5)，则maxf(x)，3minf(x)，-1,并且M(x)，(f(十(i，1,2,3,4,5)于是M，(0.25,0,1,0.5,0.5)f(M)(0)，vM(x)f(x)，0)，M(x)，0.25f(Mf)(3)，Mf(X2)，1f(Mf)(-1)，Mf(X3)，0f(M)(1)，vM(x)|f(x)，1，M(x)vM(x)，0.5ff1f4f5f(M)，0.25/0+1/-1+1/3+0.5/1f的无条件模糊极小集m定义为-f的无条件极大集，显然有maxf(x)xX一f(x)m(x)，11(VxX)fmaxf(x)xX1-minf(x)xX1且有，m(x)，1-M(x)，所有极小集m是极大集M的余集.ffff二、模糊约束下有界函数的模糊极值设：f:XTR是有界函数，CF(X)，考虑f在C约束下的最大值问题，这是一个模糊规划问题，求解这个问题意味着既要最大限度地满足约束，又要最大限度地达到理想目标，为此定义如下：定义2设目标函数f:XTR是有界函数，CF(X)是模糊约束，令D，CMf这里的是定义1中f的无条件模糊优越集，称D为f在C约束下的条件模糊优越集，称f(D)为f在C约束下的条件模糊极大值它们的求属函数分别为：maxD(x)C(x)M(x)f(D)(y)v(C(x)M(x)|f(X)y求解目标函数f(x)在模糊约束C下的条件极大值有如下三个步骤：(1) 求无条件模糊优越集M(2) 求条件模糊优越集DCM(3) 求条件最佳决策，即选择x*，使D(x*)max(x)x,XX*就是所求的条件极大点，f(x*)就是在模糊约束C下的条件极大值例2采区巷道布置是矿井开拓中的重要内容，其目的就是建立完善的矿井生产系统，实现采区合理集中生产，改善技术经济指标.因此，合理地选择最优巷道布置方案，对于矿井生产具有十分重要的意义根据煤矿开采的特点和采区在矿井生产的作用，在选择最优巷道布置方案时，要求达到下列标准：(1)生产集中程度高；(2)采煤机械化程度高；(3)采区生产系统十分完善；(4)安全生产可靠性好；(5)煤炭损失率低；(6)巷道掘进费用尽可能低.上述问题,实际上就是一个模糊约束下的条件极值问题，我们可以把(1)(5)作为模糊约束，而把(6)作为目标函数.设某矿井的采区巷道布置有六种方案可供选择，即X=xi(方案I),x(方案II),x(方案III),x(方案W),x(方案V),x(方案W).23456经过对六种方案进行审议，评价后，将其结果列于表1方案评价项目x1x2x3x4x5x6C:生产集中程度咼1较低高较咼很高较咼较咼C:采煤机械化程度高2高较咼较咼高很高高C:采区生产系统完善3一级较低较低很高高较咼c:安全生产可靠度咼4较低一般较低高一般高c:煤炭损失率低5高较咼一般一般一般很低C6:m中巷道掘进费用(万兀)59.4069.1078.8034.5044.2063.60将表1中的语言真值(评价结果)转化为各模糊约束集CF(X),(i=1,2,3,4,5)的隶属度转化的对应关系如下：i对C1,JJC4而言对应关系为：很低较低一般较高高很高0.00.20.40.60.81.0对C5而言对应关系为很低较低一般较高高很高1.00.80.60.40.20.0将表1中的巷道掘进费用目标函数f用公式m(x)二吨f一f(x)/imaxf，minf计算出，因此得表2其值语言与隶属函数转换表2ifx1x2x3x4x5x6C10.20.80.41.00.60.6C20.80.60.60.81.00.8C30.40.20.21.00.80.6C40.20.40.20.80.40.8C50.20.40.60.60.61.0mf0.440.22010.780.34计算模糊判决集D为DmfC1C2C3C4C5(按列求最小)0.2/x+0.2/x+0/x+0.6/x+0.4/x+0.34/x123456由maxD(x)0.6D(x)x,Xi根据最大求属度原则，方案四最优例3在某种食品中投放某种调味剂，每公斤食品中的含量设为x克，对顾客爱好作调查统计，得爱好函数为xe(i-x/10),0x100.对于使爱好函数值越大的x值，所制产品越畅销，因而收益越大，但是由于成本核算等等原因，对x值需要进行限制，这种限制集合的边界是模糊的，即x的约束条件为一模糊集A，其隶属函数为1,0x1.1+(x-1)2试确定合理的剂量x*，使得在接受约束的条件下，获得最优收益.解这是一个规划问题，分三步进行.(D求无条件模糊优越集Mf，由于1xe(1-x/10)e(1-x/10)220令f(x)0，得x10.又当x0，x10时，f(x)0，因而supf(x)=f(10)=5，inff(x)=f(0)=0.因此M(x)=,xe(i一x/io),100x10x1002)求条件模糊优越集AfA(x)=A(x)aM(x)=xe(i-x/ioo,1011+(x-1)20xx,xx100x100其中x*满足方程x1e(1-x/10)=101+(x-1)2(3)选择x,使11+(x1000),这里P表示每公顷土地上种植的棵数，V表示每公顷土地产出木材的体积.现有一片杉树森林，其密度不均匀，估计,“大约是三千”试估计该森林每公顷木材最高产量.解设C表示“大约是三千”这一模糊，C的隶属函数为(,3000)2C(x)e1000000,(pR)估计木材产量的问题，就是求在C的约束下函数f的模糊条件极大值为此先求有界函数f的无条件模糊优越集.因supf(,)500，inff(,)0，所,1000,1000以f(P)5000500pf在约束条件C下的条件模糊优越集为:CCM,C(P)c(P)AM(P)ffff条件模糊极值为f(C)，其隶属函数为：ff(C)(y)VC(P)AM(P)fPf1(y)f为求条件最佳决策P*，即满足条件C(P*)maxC(P)的P*fP1000f注意到M的隶属函数曲线是单调降的，而C是正态分布模糊集，f在约束C下的模糊最佳决策(即模糊条件极大点)，是方程103_(,-3000)2=e10000,的两个根当中的较小者，解之得P*=2130.由C(2130)=0.469=46.9%可知，P*=2130时，接受约束的程度为f46.9%，同时，相对于整体目标函数，优越程度也是46.9%.由f(2130)=334.74(米3)可知，该森林每公顷木材最高产量估计为334.74(米3).3-2模糊线性规划、普通线性规划普通线性规划的一般形式为目标函数maxZ=exexex1122nnax+axaxb1111221nn1ax+axaxb约束条件2112222nn2axaxax0(j=1,2,n)j矩阵表达形式maxZ=CXAX0其中/a.aC=(e,ee)12n111nA、a.am1mnx=(x,xx)T12nb=(b,b，b)t12m线性规划问题的标准形式maxZ=CX3-1)AX=bx0二、模糊线性规划在实际问题中，有时线性规划的约束条件带有模糊性，这就是解谓的模糊线性规划，其模型为maxZ=exexex1122nnax+axaxb1111221nn1ax+axaxb2112222nn1ax+axaxbm11m22mnnm.x(j=1,2n)j这是“”表示一种弹性约束，可读作“近似小于等于”.“近似小于等于”是一个模糊概念，可以用一个模糊集来表示它.瓦ax表示第i个约束的左ijjj=1边表达式，工axb时，ijjij=1模糊集D表示“工axb”这一事实，当ijjij=1全接受约束，应有一个伸缩系数d，约定i工axbijjij=1dii时，不认为工axbijjij=1这时应有D(x)=0;i工axeijjj=1b,ba时，iii0，表示约束程度降低.为了简单可行，D(x)规定如下：ixeRn,x0丿，对每一个约束axb，相应地有X中一个ijji模糊渠D与之对应，它的隶属函数为iaxbijjiD(x)=f(工ax)iIijjj=11-(Sax-b)/db0i1,2,m,这样ii一来,我们将弹性约束转化成模糊约束,再令ddndnnd就将全部12m约束条件转化成一个模糊约束.当d0(i1,2)时，D退化为普通约束集D，模糊约束条件中“，”i退化为“，”模糊线性规划的模型简记为maxZCxAXb(3-2)Ix0约束的弹性必然导致目标的弹性，为将目标函数模糊化，先求解普通线性规划问题：maxZCxAX,b满足(3-3)|x0以及maxZCxAX,b+d满足(3-4)x0其中d(d,d，,d)T称为(3-2)的伸缩指标向量.12m设Z0是(3-32)的最优值，彳是(3-4)的最优值.Z0所满足的约束条件为Ax，b，对应的模糊约束D(x)1.若适当降低模糊约束的隶属度D(x)，可以相应提高目标函数值Z,彳所满足的约束条件已放到最宽Ax,b+d，对应的模糊约束D(x)也接近于0.于是目标函数的弹性可表示为Z0ZCxZi.为此构造模糊目标集G(x)-F(X).其隶属函数为G(x)=g(cx)=jjj=1(cx-z)/djj0j=11cxzjj0j=1zcxz)jj0j=1其中d=ZZ010由模糊目标的上述隶属函数可知，当D(x)=1时，G(x)=0,要提高目标函数值使之大于Zo就必须降低D(x).为了兼顾目标与约束，可采用模糊决策为D=DG，最佳决策为x*，x*满足F(x*)=maxxwXD(x*)=maxxeX(D(x)G(x)若令X=D(x)G(x),则有max(D(x)九,G(x)0,九w0,1xeXfI=max就D(x)X，,D(x)X,G(x)X,九e0,1/“1n于是求最佳决策x*的问题，就转化为求普通线性规划问题:maxZ=X/1(axb)/dX(i=1,2,m)ijjiij=1(cxZ)/dXjj00j=1X0,x0(j=1,2n)jmaxZ=Xax+dXZjj00X0x0(j=1,2n)j求解上述普通规划问题，可得最佳决策x=（x1，,叮）T目标函数值Z*=,cx*jjj=1例5：求解模糊线性规划问题maxZ=x+3x+x123x+2x+x8123（3-6）一x+3x+x0123取伸缩指标d=2,d=812解（一）解普通线性规划maxZ=x+3x+x123x+2x+x8123一x+3x+x0i=1,2,3i最优解x（0）=（4,2,0）t最优值Z=100（二）解普通线性规划maxZ=x+3x+x123x+2x+x8+2123一x+3x+x0i=1,23,4,5i最优解x（1）=（2,4,0）tZ=141（三）解普通线性规划maxZ=x+2x+x+28+2123一x+3x+x+82+