考研高数讲义

第一讲 极限与持续一、重要的概念1极限定义（1）数列极限定义（）：若对任意的，总存在，当时，有成立，称为数列的极限，记。（2）自变量趋于无穷时函数极限的定义（）：若对任意的，总存在，当时，有成立，称为函数当时的极限，记。（3）自变量趋于有限值时函数极限的定义（）：若对任意的，总存在，当时，有成立，称为函数当时的极限，记。（4）左右极限的定义：若对任意的，总存在，当时，有成立，称为函数在处的左极限，记。：若对任意的，总存在，当时，有成立，称为函数在处的右极限，记。注解：存在都存在且相等。2无穷小（1）无穷小的定义以零为极限的函数称为无穷小。（2）无穷小的层次关系及等价无穷小的定义设，若，称是的高阶无穷小，记为；若，称与为同阶无穷小，记为，特别地，若，称与为等价无穷小，记为。（3）无穷小的性质1）有限个无穷小之和还是无穷小；2）无穷小与有界函数之积还是无穷小；3）无穷小与常数之积还是无穷小；4）有限个无穷小之积还是无穷小；5）的充足必要条件是，其中；6）；7），且存在，则也存在且。（4）时常用的等价无穷小1）；2）（）；3）；4）。3持续（1）若，称在点处持续；（2）若在区间内点点持续，且，称在区间上持续，记为。4间断点的分类设在处间断，则（1）若都存在，则称为函数的第一类间断点，更进一步，1）若，称为的可去间断点；2）若，称为的跳跃间断点。（2）若至少有一种不存在，称为函数的第二类间断点。二、重要定理（一）极限定理1极限存在必唯一性定理极限存在必唯一（需掌握证明）。2数列极限的有界性定理若，则存在，对一切的，有。（需掌握证明）。3夹逼定理设，且，则（对数列有同样的定理）。（需掌握证明）。（二）闭区间上持续函数的性质1最值定理设，则在区间上取到最大和最小值。2有界定理设，则存在，使得。3零点定理设，且，则存在，使得。4介值定理（1）设，对任意（其中为在上的最小值和最大值），存在，使得。（2）设，且（不妨设），对任意，存在，使得。三、重要极限1； 2。四、常用的马克劳林公式（1）。（2）。（3）。（4）。（5）。（6）。（7）。五、常用题型（一）求极限注解：求极限的措施措施一：重要极限措施二：极限存在准则措施三：等价无穷小措施四：马克劳林公式措施五：罗必达法则措施六：中值定理措施七：定积分1。解答：，而，因此，于是。2。3设二阶持续可导，求。4设在的邻域内可导，且，求。5设，当时，证明数列收敛并求其极限。解答：令，由于，因此单调。又由于，因此数列有界，从而数列收敛，令，则有。6解答：。7。解答：。8。解答：，由于，因此。9。10。解答：，由及，得，从而，于是。11。12。13求常数，使得。（）14设，求的间断点并指出其类型。解答：一方面，另一方面的间断点为，由于，所觉得函数的第一类间断点中的可去间断点，为函数的第二类间断点。15设在上持续，任取（），任取（），证明：存在，使得。第二讲 一元函数微分学一、重要的概念1导数设的定义域为，记，若存在，称在点处可导，其极限称为函数在点处的导数，记为或。2左、右导数若存在，称在处右可导，记为；若存在，称在处左可导，记为，函数在处可导的充足必要条件是其左右导数都存在且相等。注解：导数的其她定义（1）；（2）；（3）。2可微设在的邻域内有定义，若，称在处可微，其中称为函数在处的微分，记为，习惯上记为。二、重要的定理1若函数可导，则函数一定持续。2可导与可微等价。3四个中值定理（1）罗尔中值定理（2）拉格郎日中值定理（3）柯西中值定理（4）泰勒中值定理三、重要公式（一）基本求导公式（二）四则求导法则（三）复合函数链式求导法则四、一元函数微分学的应用（一）单调性与极值（二）最值（三）凹凸性（四）弧微分、曲率与曲率圆1弧微分（1）（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则。2曲线的的曲率 ； 3曲线的曲率半径为；4曲率圆（1）定义设函数在处有二阶导数，且，记为曲线上相应于的点，若圆在点满足：与曲线相切；与曲线有相似的凹凸方向；与曲线在点处有相似的曲率半径，称圆为曲线在点处的曲率圆。（2）曲率圆的中心曲率圆中心必在曲线在处的法线上，因此有。又，则。例子1求曲线在点处的曲率圆。解答：，则。曲线在点的曲率半径为，曲率中心为，所求的曲率圆为。2求曲线上相应于参数的点处的曲率圆。解答：相应的点为。，则，曲线在点处的曲率半径为，曲率中心为，所求的曲率圆为。（五）渐近线五、常用的题型1设在处可导，求。2设持续，且对任意的有，求。3，求。4设二阶可导，且，求。5设，若在处可导，求。（）6，求。7，求。（）8设，求并讨论在处的持续性。9设持续，且，求，并讨论在处的持续性。10，求。11设持续，且，求。12设拟定函数，求。13设，求。14是的反函数，可导，且，求。15选择题（1）设，则下列对的的是 （ ）是的极大值； 是的极大值； 是的极小值； 是的拐点。（2）设在处二阶可导，且，则 （ ）（A）是的极大值. （B）是的极小值. （C）是曲线的拐点. （D）不是的极值点，也不是曲线的拐点.（3）设二阶持续可导，且，则（ ）是的极小值； 是的极大值；是曲线的拐点； 是的驻点但不是极值点。16设在上持续，又，证明：存在，使得。解答：由于，因此同号，不妨假设，由，存在，使得；由，存在，使得，令，由于，因此有零点定理，存在介于与之间（），使得，即。17设函数在区间上持续，在内可导，且，证明：存在，使得。18设，证明：存在，使得。19设在上持续，在内可导，且，证明：存在，使得 。20设在上持续，在内可导，且。证明：存在，使得。21设在上持续，在内可导，证明：存在，使得 。22设在上持续，内二阶可导，且，证明：（）存在，使得；（）存在，使得。23设，且。证明：存在，使得。24一质点从时间开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零。证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不不不小于4。25设在上有四阶持续的导数，且存在。（1）写出的带拉格朗日余项的马克劳林公式；（2）证明：存在，使得 。26设在上满足，且在内取到最小值，证明： 。27设，证明：存在，使得。28设在上二阶可导，证明对对任意的，有。29设在上二阶可导，且，其中都是非负常数，为内任意一点。（1）写出在处带Lagrange型余项的一阶泰勒公式；（2）证明：。（1996年真题预测）30设函数在上二阶可导，且。证明：存在，使得。解答：由泰勒公式，得，两式相减，得当时，取，则有；当时，取，则有。31设在上二阶可导，且，证明：对任意的，有。32设二阶可导，且，证明：对任意的，有。33设二阶可导，且，证明：当时，。34设，证明：。证明：。令，。，由；再由，而，因此，即，从而。35设，证明：。证明：一方面证明。由于，因此令，由，而，因此，即。再证。措施一：由于，因此令，。由，由于因此，即。措施二：令，则存在，使得，其中，则，因此。36证明不等式。37设在内可导且，证明：。证明：令，则在内可导，又，因此当时，因此有。38证明：对任意的，且，有。39设在上可导，当时，。证明：方程在内有且仅有一种实根。40设。证明：（1）方程在上有唯一的实根；（2）求。41设在上二阶可导，且，证明：方程在内有根。证明：令。42设为常数，方程在内恰有一根，求的取值范畴。解：令，。（1）若，由，又，因此原方程在恰有一种实根；（2）若，又，因此原方程也恰有一种实根；（3）若，令，又，所觉得的最大值，令，得，因此的取值范畴是。43证明方程在内有且仅有两个不同的实根。第三讲 一元函数积分学一、 重要的概念1原函数设与为两个函数，若，则称为的一种原函数。注解：（1）持续函数一定存在原函数；（2）有第一类间断的函数一定不存在原函数，有第二类间断点的函数也许存在原函数；（3）任意两个原函数之间相差常数。2不定积分设存在原函数，则其所有的原函数称为的不定积分，记为，即。注解：（1）； （2）。3定积分二、重要的定理1积分基本定理的引理设，令，则；2积分基本定理设，且为的一种原函数，则。三、重要的积分性质（一）定积分基本性质1；2；3；4；5设，则；推论1 若，则；推论2 若，则；6设在上可积，且，则；7设，则存在，使得；8（1）设，且，则；（2）若，且不恒为零，则；（3）若，且与不恒等，则；9设，则。（二）定积分的特殊性质1设为持续函数，则，特别地，且；2；3；4；5设是觉得周期的持续函数，则对任意的实数有（1）； （2）；6设，则（1）；（2）若，则；（3）若，则。四、积分法1换元积分法；2分部积分法：，。五、定积分的应用1平面区域的面积（1）设，则；（2）设，则；（3），则；（4）曲线，则绕轴一周所得旋转曲面的表面积为；2旋转体的体积分别绕轴和轴旋转一周所得的旋转体的体积为， ；3截口面积已知的几何体的体积设几何体位于与之间，对任意的，其截口面积为，则该几何体的体积为。4曲线段的长度（1）设，则，；（2）设，则，；（3）设，则，。六、常用题型1计算下列不定积分（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）。2设函数持续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是 （ ）； ； 。3（1）计算； （2）；（3）； （4）；（5）。4设，求。5设在上可微，且。证明：存在，使得。6设，证明：存在，使得。7设是觉得周期的持续函数，且，证明：。8设在上持续且单调增长，证明：。9设在上持续，在内可导，且，证明：。10设，证明：。11设在上可积，证明：。12设，证明：，其中。13设在上有定义，对任意，有，证明：（1）；（2）。14设，证明：。15设曲线，其中。当时，该曲线在轴下方与轴，轴所围成图形的面积和在轴上方与轴所围成图形的面积相等，求。解：设曲线与轴正半轴的交点横坐标为，由条件得，移项得，由于，因此。由由于为曲线与轴的交点，因此有，从而有。16过曲线上点作切线，使该切线与曲线及轴围成的平面图形绕轴旋转一周所成旋转体体积为。（1）求点的横坐标；（2）求平面图形的面积。17（1）抛物线与轴所围面积被抛物线三等分，求；（2）当取该值时，求两条抛物线所围成的平面图形绕轴旋转一周所得立体的体积。18设一抛物线过点与，且，拟定，使得抛物线与轴所围图形的面积最小。解：由于曲线过原点，因此，又曲线过点，因此。由于，因此，抛物线与轴的两个交点为，因此。令，得，从而，因此当时，抛物线与轴所围成的面积最小。19设函数可微，且。将曲线、及轴所围成平面图形绕轴旋转一周得旋转体体积为。若，求：（1）；（2）的极值。解：（1）由题设知，两边对求导，得，令，即，由，得，因此。（2）由于，令，得，又由于，所觉得极大值。20设函数满足，且由曲线及轴所围成的平面图形为。若绕轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：（1）曲线；（2）曲线在原点处的切线与曲线及直线所围成平面图形的面积。解：（1）由。设平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为，则，由于，所觉得的最小点，且曲线方程为。（2），曲线在原点处的切线方程为，则。21设平面区域由与围成，求绕直线旋转一周所得的旋转体的体积。22设二阶可导，且。过上任意一点作该曲线的切线及过该点作轴的垂线，上述两条直线与轴所围成的三角形的面积记为，在上觉得曲边的曲边梯形的面积记为，设，求的体现式。23设，且为单调函数，证明：函数在内至少有两个零点。第四讲 空间解析几何一、向量的运算（一）几何刻画1向量加减法2向量乘法（1）数与向量之积；（2）向量的数量积：；（3）向量的矢量积：（二）代数刻画设，则（1）；（2）；（3）。注解：（1）；（2）；（3）。二、向量的应用1平面方程（1）点法式方程；（2）截距式方程；（3）一般式方程。2直线方程（1）一般式方程（2）点向式方程（对称式方程）；（3）参数式方程。三、距离问题1两点之间的距离2点到平面的距离3两平行平面之间的距离4点到直线的距离5两异面直线之间的距离。四、常用的题型1求过点且与直线垂直的平面方程。2求过原点及点且与平面垂直的平面方程。3设，求过平行于的平面方程。4求过点且平行于及平行的平面方程。5点到直线的距离为。6设直线及平面，则直线 （ ）（A）平行于平面. （B）在平面上.（C）垂直于平面.（D）与平面斜交.7设点，判断三点与否共线，若不共线求过三点的平面的方程。8求通过平面与的交线，且与平面垂直的平面方程。解答：设通过两直线的平面方程为 ，即，由于平面与平面垂直，因此有，即，解得，所求平面为 。9求过垂直于且与平面平行的直线方程。10求直线在平面上的投影直线。解答：直线可改写为或者，过直线的平面束为，或，由得，因此过垂直于的平面方程为 ，投影直线为。11求两异面直线与之间的距离。12设点，求点到向量的距离。13设曲面及平面。（1）求曲面上与平行的切平面方程； （2）求曲面与平面的最短和最长距离。解答：（1）设切点为，令，则切平面的法向量为，由于切平面与平面平行，因此，令，得，将其代入曲面方程，得，因此切点为及，平行于平面的切平面为，即，即。（2），则曲面与平面的最短和最长距离分别为与。14设直线。（1）求直线绕轴旋转所得的旋转曲面；（2）求该旋转曲面介于与之间的几何体的体积。解答：（1）记直线绕轴旋转所得的旋转曲面为，设为曲面上的一点，过点作与轴垂直的平面，交直线及轴于点及，由得，注意到），则，即，将代入上式得 ，即。（2）措施一对任意的，截口面积为，则。措施二令，则，当时，；当时，。设为曲面上任意一点，则截口面积为，则体积为。第五讲 多元函数微分学一、重要概念1偏导数2多元函数的极限3持续4可全微5方向导数6梯度二、持续、可偏导、可微及一阶持续可偏导之间的关系1关系图2结论的证明3反例（1）在点处持续，但不可偏导。（2）在点处可偏导，但不持续。（3）在点处可微，但一阶偏导数不持续。三、求偏导数的类型1显函数求偏导2复合函数求偏导3隐函数及隐函数组求偏导。四、多元函数微分学的应用（一）几何应用1空间曲面的切平面与法线2空间曲线的切线与法平面（二）代数应用1无条件极值2条件极值五、常用题型1求下列偏导数：（1）设，求。（2），其中二阶持续可导，二阶持续可偏导，求。（3）有持续的偏导数，且由方程拟定，求。（4）设，其中二阶持续可偏导，求。2设函数可微，令，求。3设由方程拟定，且，求。4设，由拟定，其中为可微函数，求。5设，其中是由拟定的的函数，其中与，证明：。6设，觉得自变量，变换方程。解：，代入原方程，得7求在区域上的最值。解：当时，由，的驻点为。当时，令，由，得。由于，因此目的函数的最大和最小值分别为和。8求的内接长方体的最大体积。9求由所拟定的隐函数的极值。10在曲线的所有切线中，与平面平行的切线有（ ）只有一条； 只有两条； 至少有三条； 不存在。第六讲 重积分一、概念1二重积分。2三重积分。二、二重积分的计算措施1直角坐标法（1）若，则。（2）若，则。2极坐标法（坐标变换法的一种）令，其中，则。三、三重积分的计算措施（数学一）1直角坐标法（1）若，则。（2）若，则 。2柱面坐标变换法令，其中，则 。3球面坐标变换法令，其中，则 。四、常用题型1、 变化积分顺序（1）； （2）。2变化积分顺序并计算。3变化积分顺序并计算。4计算，其中。5计算，其中区域由所围成。6计算，其中由所围成，且为持续函数。7计算，其中是由曲线和直线所围成的区域。8设为平面有界闭区域，且在上持续，且，证明：存在，使得。9设，证明：。第七讲 级数一、常数项级数部分（一）常数项级数的概念设为常数数列，称为常数项级数，称为级数的部分和，当存在时，称级数收敛，若，记。（二）级数的基本性质1若级数收敛，则，反之不对（常数项级数收敛的必要条件）。2若，则。3若，则，特别地，当时，与敛散性相似。4级数的前面添加、减少、变化有限项，级数的敛散性不改（若级数收敛，则其和有也许变化）。5若级数收敛，对该级数合适添加括号后形成的级数收敛，且和相似，反之不对。二、正项级数的敛散性（一）正项级数的概念设为常数项级数，若（），称为常数项级数。（二）正级数的收敛鉴别法1比较鉴别法（1）基本形式设，为两个正项级数，若且收敛，则收敛；若且发散，则也发散。（2）极限形式设，为两个正项级数，若，则与有相似的敛散性。（3）补充形式设，为两个正项级数，若且收敛，则收敛；若且发散，则也发散。三、交错级数及其审敛法（一）交错级数的概念形如或（其中）称为交错级数。（二）交错级数审敛法设为交错级数，若（1）单调减少； （2），则收敛。四、任意常数项级数的敛散性（一）绝对收敛与条件收敛设为任意常数项级数，若收敛，称为绝对收敛；若收敛，而发散，称条件收敛。（二）收敛与绝对收敛的关系若绝对收敛，则一定收敛；反之，若收敛，则不一定绝对收敛。四、幂级数（一）幂级数的概念形如或称为幂级数。（二）幂级数的收敛半径当时，绝对收敛，当时，发散，称为幂级数的收敛半径。幂级数的收敛半径求法：措施一：，则的收敛半径为；措施二：，则的收敛半径为。（三）函数展开成幂级数的措施1公式法： ；2间接法：工具一：常用函数的马克劳林公式工具二：逐项可导性与逐项可积性。（四）幂级数求和函数（五）特殊常数项级数的和（六）运用幂级数所满足的微分方程求幂级数的和函数五、傅里叶级数（一）周期为的函数的傅里叶级数（二）定义于上函数的傅里叶级数（三）定义于上函数的傅里叶级数（四）周期为的函数的傅里叶级数六、常用的题型1下列结论对的的是 （ ）若及都收敛，则收敛； 若收敛，则或收敛；若发散，则一定发散； 若且收敛，则一定收敛。2设为任意常数，则级数 （ ）发散； 条件收敛； 绝对收敛； 敛散性与常数有关。3下列对的的是 （ ）若，则一定收敛； 若收敛，则一定收敛；若正项级数收敛，则一定收敛； 若且收敛，则一定收敛。解答：不对，如，显然，但发散；不对，如，收敛，但发散；对的，由于收敛，因此，存在，当时，从而，由比较审敛法得收敛；不对，如，显然且，但发散。4设。证明：（1）存在； （2）级数收敛。5设、为两个正项级数，证明：（1）若，且收敛，则收敛；（2）若，而发散，则发散。6设。（1）求的值；（2）证明：对任意常数，则收敛。7设且单调减少，又级数发散，判断的敛散性。8设在的某邻域内二阶持续可导，且，证明绝对收敛。9求幂级数的和函数。10求幂级数的和函数。11求的和函数。12将展开成的幂级数。13将展开成的幂级数。14求把函数的幂级数，并求出该幂级数的收敛域。15设，且。（1）求满足的微分方程； （2）求。解答：（1），则满足的微分方程为，。由于，因此，从而，于是。16求常数项级数的和。17将函数展开成以2为周期的傅里叶级数，并求级数的和。解答：显然函数是在上满足收敛定理的偶函数，则，（）， 又，因此（）。令得，从而，令，则，解得。28将函数展开成周期为4的余弦级数。解答：（1）将进行偶延拓和周期延拓，于是，（）。第八讲 微分方程一、一阶微分方程及其解法1可分离变量的微分方程称为可分离变量的微分方程，解法为。2齐次微分方程称为齐次微分方程，解法为。3一阶线性微分方程（1）一阶齐次线性微分方程：，通解为；（2）一阶非齐线性微分方程：，通解为。4贝努利方程称（其中）为贝努利方程，解法为，再解出该方程。二、可降阶的高阶微分方程1；2：令，则；3：令，则。三、二阶常系数线性微分方程及解法（一）二阶常系数齐次线性微分方程1定义称（其中为常数）为二阶常系数齐次线性微分方程。2解法：（1）特性方程：；（2）通解：情形一：当时，特性方程有两个不相等的特性值，通解为；情形二：当时，特性方程有两个相等的特性值，通解为；情形三：当时，特性方程有两个共轭虚根，通解为。（二）二阶常系数非齐线性微分方程1定义称为二阶常系数非齐线性微分方程，其通解为的通解与的一种特解之和。四、常用的题型1求下列微分方程的通解（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）。2设，其中持续，求。3设函数在内可导，且。（1）求；（2）证明：当时，。4求下列微分方程的解（1）求微分方程的满足初始条件的特解； （2）设是历来上凸的持续曲线，其上任意一点处的曲率为，又此曲线上的点处的切线方程为，求该曲线方程，并求函数的极值。解答：由于曲线是上凸的，因此，由题设得。令，则有。由于曲线在点处的切线方程为，因此，从而，积分得。由于曲线过点，因此，所求曲线为，。由于，因此当时函数获得极大值。5求下列微分方程的解（1）； （2）求微分方程的通解。6设三阶常系数齐次线性微分方程有特解，则该微分方程为（ ）； ； 。实际问题1细菌的增长率与总数成正比。如果培养的细菌总数在24小时内由100增长为400，求前12小时后的总数。解：设时刻细菌总数为，则有，因此，。2一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为，设融化过程中形状不变，设半径为的雪堆融化3小时后体积为本来的，求所有融化需要的时间。解：设时刻雪堆的半径为，则有，则，于是有，由，得，于是，令，得，即6小时雪堆可以所有融化。3在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点处的曲率等于此曲线在该点的法线段的长度的倒数，且曲线在点处的切线与轴平行。解答：设所求曲线为，该曲线在点的法线方程为（）。令，得，该点到轴的法线段的长度为，由题意得，即。令，则，则有 ，或者，两边积分得，由得，因此，变量分离得 ，两边积分得 ，由得，因此，即，又，因此，两式相加得。4在时，两只桶内各装10升的盐水，盐的浓度为15克/升，用管子以2升/分的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以2升/分的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用1升/分的速度输出。在任意时刻，从第二只桶内流出的水中含盐多少？解：设在任意时刻，第一只和第二只桶内含盐分别为，根据题意得， ，。5某湖泊水量为，每年排入湖泊中内含污染物的污水量为，流入湖泊内不含的水量为，流出湖的水量为。设1999年终湖中的含量为，超过国家规定指标。为了治理污染，从初开始，限定排入湖中含污水的浓度不超过。问至多通过多少年，湖中污染物的含量降到以内？（设湖中的浓度是均匀的）。解：设从初开始，第年湖中污染物的总量为，则浓度为，任取时间元素，排入湖中污染物的含量为，流出湖的污染物的含量为，则在此时间元素内污染物的变化量为 。解得，又由，得，于是，令，得，即至多通过年，湖中污染物的含量不超过。