点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用

第7讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用2 2I与椭圆相交于 M N两点，点P(x0, y0)是定理 在椭圆 笃 笃 1 ( a b 0)中，若直线a b弦MN的中点，弦MN所在的直线I的斜率为kMN，则kMNy。X0b22 a证明：设M N两点的坐标分别为(Xi, yi)、化小)，则有2X1Ta2X22a2y12 y2 b21,1.(1) (2)，2X1得 2a2X2(1)2y2厂0.y2%X2 X1y2y1X2 X1y2 y1y1x2x1b22 ay2x1x22y2xMN2 - a2x同理可证，在椭圆xb22y2a(a b 0)中,若直线I与椭圆相交于 M N两点，点P(x0, y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线I的斜率为kMN，则kMN典题妙解2(2) |NP|的最大值和最小值解：(1)设动点P的坐标为(x,y).由平行四边形法则可知：点 P是弦AB的中点2 d由kABj已得：Y 4.整理，得：4x2 y2 y0.当直线I的斜率不存在时，弦AB的中点P为坐标原点0(0,0)，也满足方程。2所求的轨迹方程为 4x0.2(2)配方，得：116(y1.|NP|2 (x -)22(1 x 2 12(x 2)4 x-)2 6 123(x(yx -时，| NP|min4时，|NP|max 362在直角坐标系xOy中，经过点(0, 2)且斜率为k的直线I与椭圆 y2 1有两个不同2的交点P和Q.(1)求k的取值范围;(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为 A、B,是否存在常数k,使得向量OP OQ与AB共线？如果存在，求 k的取值范围；如果不存在，请说明理由解:直线I的方程为y kx .2.kx2,得:1.(2k21)x24.2kx 20.y21有两个不同的交点,x2直线I与椭圆22 232k8(2k1) 0.解之得:k的取值范围是2x(2)在椭圆21中，焦点在x轴上，a .、2,b1 , A( . 2,0),B(0,1), AB(,2,1).设弦PQ的中点为M (x0,yo)，则 0M(xo, yio).由平行四边形法则可知:OP OQ 20M.OP 0Q与AB共线,0M与AB共线.X。Yq、21，从而“X。由kpQ业X。2 得：ka由(1)可知直线I与椭圆没有两个公共点,不存在符合题意的常数 k.2x例3已知椭圆二a2 y b21 ( a b 0)的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率e2，右准2线方程为x 2.(I)求椭圆的标准方程;(n)过点Fi的直线I与该椭圆相交于 MN两点，且 | F2MF2N |2 . 26 ，求直线l的方程.3解:(I)根据题意，得c 2a 2 a 2,b1,c1.a- 2.c2所求的椭圆方程为y221.椭圆的焦点为 F,1,0)、F2(1,0).设直线I被椭圆所截的弦MN的中点为P(x, y).由平行四边形法则知:f2mF2N 2F2P.由 | F2M F2N | - 26 得:3号.(x 1)2 y2 罟3 9若直线l的斜率不存在，则I x轴，这时点P与F1( 1,0)重合，|F2M F2N | | 2F2F1 | 4,整理，得：9x245x 170.解之得：17十x，或x23317由可知，x不合题意.32x3从而y1.3kyx 1所求的直线I方程为yx 1，或yx 1.221.已知椭圆b21 ( a b 0)的离心率为，过右焦点3F的直线I与C相交于A、B两点.当I的斜率为1时，坐标原点 0到I的距离为 丄2.2与题设相矛盾，故直线I的斜率存在由 kMN b2得：y y1 2 y-(x x).xax 1 x22代入，得(x 1)2(x2 x)2629(1 )求a,b的值;(2) C上是否存在点P,使得当I绕F转到某一位置时，有 OP OA 0B成立？若存在，求 出所有点P的坐标与I的方程；若不存在，说明理由 .解：(1 )椭圆的右焦点为F(c,0)，直线I的斜率为1时，则其方程为y x c,即x y c 0 .原点O到1的距离：d|00 c|、2一 2c22c2又ec- 3a3.从而b2.a3 ,a322(2)椭圆的方程为xy 1.设弦AB的中点为321.b 2.是线段OP的中点，点P的坐标为(2x,2y).4x22y21x轴，这时点Q与F(1,0)重合，OP (2,0)，点P不在椭圆上,故直线I的斜率存在.由kAByb2 得:y y22yxax 1 x3若直线I的斜率不存在，则I2 2 尹x).Q(x,y).由 OP OA OB 可知，点 Q3由和解得：x , y4当3x, y,2 “时，kABy2，点P的坐标为Q: Q(一，)，直线1的方程为44x 12 22xy、2 0 ；当x3 -,y2斗时，kABy.、2，点P的坐标为(Q； Q-,),直线I的方程为44x 12 22xy.2 0.金指点睛1.已知椭圆X22y24，则以(1,1)为中点的弦的长度为()A. 3 2B.2.3C.D.2. ( 06江西)椭圆Q：a22b2 1( a b )的右焦点为F(C，0)，过点F的一动直线口绕点F转动，并且交椭圆于 A、B两点，P为线段AB的中点.(1) 求点P的轨迹H的方程；(2) 略.3. ( 05上海)(1 )求右焦点坐标是(2,0)且过点(2, -.2)的椭圆的标准方程;(2)已知椭圆C的方程为2X2a2占 1 ( a b 0).设斜率为k的直线I，交椭圆C于A、B两b2点，AB的中点为M.证明：当直线I平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上;(3)略.4. (05湖北)设A、B是椭圆3x2 y2上的两点，点N(1,3)是线段AB的中点，线段 AB的垂直平分线与椭圆相交于 C、D两点.(1)确定 的取值范围，并求直线 AB的方程;2) 略.2 25.椭圆C的中心在原点，并以双曲线1的焦点为焦点，以抛物线X26. 6 y的准线为其中一条准线（1）求椭圆C的方程;（2）设直线丨:ykx 2（k0）与椭圆C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线l : y mx 1(m0)对称，求k的值.参考答案1.解：由 x2 2y2x24, b22.弦MN的中点(1,1)，由kMNyxb22 a得k即x2y3. k122r x2y24 口由得:6y212y50.x2y34得41，2直线MN的方程为y 11).5 设 M(X1，y1),N(X2，y2)，则 y1 y 226I MN |(1!)(% y2)2 4y2Y k10(43)、303b2得:故答案选C.2.解：（1）设点P的坐标为（x, y），由kAB x整理，得：b2x2 a2 y2 b2cx 0.点P的轨迹H的方程为b2x2 a2y2 b2cx 0.3.解：（1） 右焦点坐标是（2,0）,左焦点坐标是（2,0）. c 2.由椭圆的第一定义知,2a . ( 2 2)2 (2)2. ( 2 2)2(2)24 2 ,2 2所求椭圆的标准方程为 1.3，整理得：b2x a2ky 0.ayb2（2）设点M的坐标为（x,y），由kAB -得：kxaa、-、k为定值,当直线l平行移动时，动点 M在一条过原点的定直线b2xa2ky 0上.4.解：（1） 点N（1,3）在椭圆3x2内,2 213 12.的取值范围是（12,).由 3x2y21,a2,b2，焦点在y轴上.3若直线AB的斜率不存在，则直线 合题意，故直线 AB的斜率存在.AB X 轴,根据椭圆的对称性，线段AB的中点N在x轴上，不23由 kAB f 氏 得: kAB 11.所求直线AB的方程为y1 (x 1)，即 x y 40.从而线段AB的垂直平分线CD的方程为y 31 （x 1），即x y2 0.25.解：（1）在双曲线二4 21 中，a 2,b2,c . a2 b2焦点为 已（0, 、6）, F2（,、6）.在抛物线x22、6y 中,准线为y2在椭圆中，c.从而a23,b. 3.2所求椭圆C的方程为L92x-1.3（2）设弦AB的中点为P（x。, yo），则点P是直线I与直线l的交点,且直线l l .y。X。ky3x0 .1由 yxo 1 得：ky xo k kk3由、得： x0, y022又 y kxo 2,k k 2，即 k21.2 2k 1.在y kx 2中，当x 0时，y 2，即直线l经过定点M (0,2).而定点M(0,2)在椭圆的内部，故直线I与椭圆一定相交于两个不同的交点k的值为 1.