弹簧摆运动的分析

湖南科技大学毕业设计（论文）题目弹簧摆运动的分析作者王露莹学院物理学院专业物理学学号指导教师吴松安二。一三年五月二十日湖南科技大学毕业设计（论文）任务书物理学院系（教研室）系（教研室）主任:（签名） 年月日学生姓名:王露莹 学号:0908010231 专业:物理学1设计（论文）题目及专题：2学生设计（论文）时间：自2013年3月1日开始至2013年5月30日止3设计（论文）所用资源和参考资料：（1）大学物理2011年第5期，不同控制参数下的弹簧摆。（2）普通物理学（程守洙）（3）理论力学（周衍柏）（4）中国期刊网（学校图书馆网页）4设计（论文）应完成的主要内容：对弹簧摆在竖直平面内运动这一物理模型，分别对其径向运动和横向运动，利用 matlab，通过数值计算的方法，求解振动微分方程，分析系统的振动曲线，讨论初始位 置和弹簧长度、小球质量、弹簧劲度系数对系统振动的影响。5提交设计（论文）形式（设计说明与图纸或论文等）及要求：（1）提交形式：论文（2）要求： 论文字数在7000字以上 论文要在5月30日前定稿 论文格式按照“湖南科技大学本科生毕业论文要求与撰写规范”撰写6发题时间：2013 年 1 月 15 日（签名）（签名）指导教师:学 生：科技大学毕业设计（论文）指导人评语主要对学生毕业设计（论文）的工作态度，研究内容与方法，工作量，文献应用，创新性，实用性， 科学性，文本（图纸）规范程度，存在的不足等进行综合评价指导人：（签名）年 月 日主要对学生毕业设计（论文）的文本格式、图纸规范程度，工作量，研究内容与方法，实用性与科 学性，结论和存在的不足等进行综合评价评阅人：（签名）年 月曰日期： 2013年6月4号学生：王露莹 学号:0908010231班级:物理1班题目弹簧摆运动的分析提交毕业设计（论文）答辩委员会下列材料：1设计（论文）说明书共 页2设计（论文）图纸共 页3指导人、评阅人评语共 页毕业设计（论文）答辩委员会评语：主要对学生毕业设计（论文）的研究思路，设计（论文）质量，文本图纸规范程度和对设计（论文） 的介绍，回答问题情况等进行综合评价答辩委员会主任：（签名）委员：（签名）（签名）（签名）（签名）答辩成绩：摘 要本文对弹簧摆在竖直平面内运动这一物理模型，分别对其径向运动和横向运动，利 用matlab，通过数值计算的方法，求解振动微分方程，分析系统的振动曲线，讨论了初 始位置和弹簧长度、振子质量、弹簧劲度系数对系统振动的影响。弹簧摆的径向振动时，小球的初始摆角对振子的振幅以及周期均没有影响；小球的 质量、弹簧长度、弹簧劲度系数对振幅以及周期均有影响。弹簧摆的横向振动时，初始摆角对振子横向运动的周期没有影响，但是对振子横向 运动的振幅有影响；弹簧劲度系数对振子横向运动的振幅和周期有影响；弹簧长度对振 子横向运动的振幅以及周期均有影响；小球质量对振子横向运动的振幅以及周期均有影 响。关键字：弹簧摆；matlab；径向运动；横向运动；振幅；周期AbstractThis paper is aimed at the spring pendulum this motion model, in the vertical plane using MATLAB, by numericalcalculation, the radial vibration andlateral vibration of two kinds of circumstances, the vibration curve of the system is analyzed, the relationship between the amplitude, period and the initial vibration system swing angle, spring length, ball mass, spring stiffness coefficient obtained.The radial vibration of a spring pendulum, there is no effect of the initial amplitude of swing angle of ball vibtrator and cycle; effect of ball mass, length of spring, spring stiffness coefficient of the amplitude and frequency of.The transverse vibration of a spring pendulum, did not affect the amplitude of ball mass and spring stiffness coefficient of vibration, but the cycle of vibration effect; no effects of periodic initial swing angle of the vibrator, but the amplitude of vibration is influenced by the length of the spring; the amplitude and period of the effect of vibration.Keyword:spring pendulum; MATLAB; radial motion; lateral motion amplitude; cycle;文中图3.14和图3.16，有问题，对不上，再画一次，检查一下。艮阳原图3.8和图3.8*目 录第一章前言1第二章弹簧摆的径向运动22.1弹簧摆的动力学方程 22.2数值分析与讨论32.2.1分析初始摆角对弹簧摆径向运动的振幅、周期的影响32.2.2分析弹簧劲度系数对弹簧摆径向运动的振幅、周期的影响42.2.3分析弹簧长度对弹簧摆径向运动的振幅、周期的影响53.2.4分析小球质量对弹簧摆径向运动的振幅、周期的影响62.3小结7第三章弹簧摆的横向运动83.1数值分析与讨论93.1.1分析初始摆角对振子横向运动的振幅、周期的影响93.1.2分析弹簧劲度系数对振子横向运动的振幅、周期的影响113.1.3分析弹簧长度对振子横向运动的振幅、周期的影响133.1.4分析小球质量对振子横向运动的振幅、周期的影响153.2小结 17第四章总结18参考文献19致谢20第一章前言物体在一定位置附近所作的往复运动称为机械振动。这种振动现象在自然界是广泛 存在的。例如，摆的运动，一切发声体的运动，机器开动时各部分的微小颤动等都是机 械振动。在不同的振动现象中，最基本最简单的振动是简谐振动。一切复杂的振动都可 以分解为若十个简谐振动，弹簧振子和小角度单摆就是简单的简谐振动。对于弹簧振子和小角度单摆，在普通物理教材1中，作为典型例子进行了讨论分 析，而弹簧振子和单摆的合成弹簧摆则没有讨论。文献2由初值用差分递推方法模拟弹簧摆的运动，把小球的运动分为横向和径向 两个方向，研究了初始摆角和劲度系数对弹簧摆运动的影响。文献3从系统的动力学 方程出发，并以频率比（弹簧振子固有频率与单摆固有频率之比）作为控制参数，利用 Matlab软件对不同控制参数和初始摆角下的弹簧摆进行了数值模拟，直观地研究了弹簧 摆的运动。本文对弹簧摆在竖直平面内运动这一物理模型，分别对其径向运动和横向运动，利 用matlab，通过数值计算的方法，求解振动微分方程，分析系统的振动曲线，讨论初始 位置和弹簧长度、小球质量、弹簧劲度系数对系统振动的影响。第二章弹簧摆的径向运动2.1弹簧摆的动力学方程如图2. 1所示，弹簧摆是由轻质弹簧和悬挂的小球构成。弹簧的劲度系数为上，原 长为如 小球的质量为m，直径忽略不计，可看作质点。2.1弹簧摆如图所示，若以悬点为原点O,原点到小球的距离为r,弹簧与竖直方向的夹角为。， 建立极坐标系，由牛顿第二定律，有一k(r - b) + mg cos0 = m(r - r&2)(2.1)一 mg sin0 = m(r0 + 2r0)(2.2)则极坐标系中弹簧摆系统的动力学微分方程为r = r02- (r -b) + g cos0(2.3)m0 = 20 g sin 0(2.4)r r下面利用matlab，通过数值分析的方法，求解振动微分方程(2.3)和(2.4),分析弹 簧摆的径向运动的振动曲线，来讨论小球初始摆角00和弹簧长度/0、小球质量m、弹簧 劲度系数k对系统振动的影响。2.2数值分析与讨论2.2.1分析初始摆角对弹簧摆径向运动的振幅、周期的影响取m =0.01kg，l =1.0m，k=0.01，0 = 5或15，可得到弹簧摆的径向振动曲00180180线即r - t曲线，如图2.2、图2.3所示。图2.2图2.3结论1：由图2.2和图2.3,我们可以看知：小球在径向作周期运动，初始摆角0对 0弹簧摆径向运动的振幅以及周期均没有影响。2.2.2分析弹簧劲度系数对弹簧摆径向运动的振幅、周期的影响取m=0.01kg， l =1.0m，0 = 5，k=0.01或0.05，可得到弹簧摆的径向振动曲线 oo 180即r-t曲线，如图2.4、图2.5所示。图2.4图2.5取 m=0.01kg，冗取 m=0.01kg，l =1.0m，k=0.01，0 = 5，径向振动曲线l =1.0m，k=0.05，0 = 5，径向振动曲线0o 180我们可以看知：小球在径向作周期运动，弹簧劲度系结论2：由图2.4和图2.5，数k对弹簧摆径向的振幅以及周期均有影响，k越大，弹簧摆的周期越短且径向振幅越 小。2.2.3分析弹簧长度对弹簧摆径向运动的振幅、周期的影响取m=0.01kg，9 =5，k=0.01，l =1m或者5m，可得到弹簧摆的径向振动曲线即 o 1800r-t曲线，如图2.6、图2.7所示。冗图 2.6 取 m=0.01kg，l =1.0m， k=0.01， 9 =5，径向振动曲线m图 2-7 取 m=0.01kg，l =5.0m， k=0.01， 9 = 5-，径向振动曲线180结论3：由图2.6和图2.7,我们可以看知：小球在径向作周期运动，弹簧长度l对 o弹簧摆径向运动的振幅以及周期均有影响，lo越大，径向振幅越大，周期越大但变化不 很大。2.2.4分析小球质量对弹簧摆径向运动的振幅、周期的影响取0 = 5180，k=001，lQ=1m，m=0.01kg或者0.05kg，可得到弹簧摆系统的径向运 动振动曲线即r-t曲线，如图2.8、图2.9所示。252015mr1050 0510152025303540t/s0510152025303540t/s丸图2.8取lo=1.0m，k=0.01， 0 = 5成0，m=0.01kg，振动系统的径向振动曲线10090807060m 50 r403020100图2.9取l =1.0m，k=0.01， 0 = 5L，m=0.05kg，振动系统的径向振动曲线o0180结论4：由图2.8和图2.9,我们可以看知：小球在径向作周期运动，小球质量m对振子的径向运动的振幅以及周期均有影响，m越大，振幅越大，周期越长。2.3小结由前面的几组图形的对比，我们可以很清楚的得到，对弹簧摆的径向运动，是周期 运动，小球的初始摆角对弹簧摆径向运动的振幅以及周期均没有影响；弹簧劲度系数、 弹簧长度、小球质量对振幅以及周期均有影响，弹簧劲度系数越大，弹簧摆的周期越短 且径向振幅越小；弹簧长度越大，径向振幅越大，周期越大；小球质量越大，振幅越大， 周期越长。第三章弹簧摆的横向运动在极坐标系中，弹簧摆系统的动力学微分方程为r =而 2 一攵(r 一b) + g cos0(2.3)m0 = 2-0 -gsin0(2.4)r r下面利用matlab，通过数值分析的方法，求解运动微分方程(2.3)和(2.4)，分析弹 簧摆的横向运动的振动曲线，来讨论小球初始摆角00和弹簧长度/0、小球质量m、弹簧 劲度系数*对系统振动的影响。3.1数值分析与讨论3.1.1分析初始摆角对振子横向运动的振幅、周期的影响取m=0.01kg，l =1.0m，k=0.01，0 =5或15，可得到振动系统的横向振动00180180曲线即0-t曲线，如图3.1、图3.2所示。兀图3.1取m=0.01kg，l0=1.0m，k=0.01， 00 = 5，振动系统的横向振动曲线图3.2为便于分析观察，将时间参数由200秒减少到40秒，再画横向振动曲线，如图3.3、 图3.4所示。兀图3.3取m=0.01kg, 10=1.0m, k=0.01, 00 = 5，振动系统的横向振动曲线图3.4取 m=0.01kg，l =1.0m, k=0.01, 0 = 15一，振动系统的横向振动曲线00180结论5：由图3.1和图3.2,及比较图3.3和图3.4,我们可以知道：横向作准周期 运动，初始摆角0 0对振子横向运动的周期没有影响，但是对振子横向运动的振幅有影响，0越大，振幅越大。3.1.2分析弹簧劲度系数对振子横向运动的振幅、周期的影响取m=0.01kg， l =1.0m，0 = 5-，k=0.01或0.05，可得到振动系统的横向振动曲 oo 180线即0-t曲线，如图3.5、图3.6所示。冗图3-5取m=0.01kg，lo=1.0m，k=0.01， 0广5，振动系统的横向振动曲线冗图3-6取m=0.01kg，lo=1.0m，k=0.05， 0广5，振动系统的横向振动曲线为便于分析观察，将时间参数由200秒减少到40秒，再画横向振动曲线，如图3.7、 图3.8所示。取 m=0.01kg，l =1.0m，k=0.01，0 = 5三，振动系统的横向振动曲线0180图3.70.10 -405352S2 / /- .t510O 86420246 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.- - -dauv图3.8取m=0.01kg, l =1.0m, k=0.05, 0 = 5，振动系统的横向振动曲线 o180结论6：由图3.5和图3.6对比，及比较图3.7和图3.8,我们可以知道：横向作 准周期运动，弹簧劲度系数k对振子横向运动的振幅和周期有影响，k越大，弹簧振子 的周期越短。3.1.3分析弹簧长度对振子横向运动的振幅、周期的影响一丸取m=0.01kg，00 = 5，k=0.01，10=1m或者5m，可得到振动系统的横向振动曲线 即0-t曲线，如图3.9、图3.10所示。冗图3.9取m=0.01kg，10 = 1.0m，k=0.01， 00 = 5，振动系统的横向振动曲线图3.10取m=0.01kg，1 =5.0m，k=0.01， 0 = 5一，振动系统的横向振动曲线00180为便于分析观察，将时间参数由200秒减少到100秒，再画横向振动曲线，如图3.11、 图3.12所示。丸图3.11取m=0.01kg，=1.0m，k=0.01，0 = 5，振动系统的横向振动曲线图3.12取m=0.01kg，l =5.0m，k=0.01，0 = 5、，振动系统的横向振动曲线180结论7：由图3-9和图3-10对比，及比较图3.11和图3.12，我们可以知道：横向 作准周期运动，弹簧长度I。对振子横向运动的振幅以及周期均有影响，10越大，振幅越 大，周期越长。3.2.4分析小球质量对振子横向运动的振幅、周期的影响一 一丸取。二 180，虹001，*=血，m=0.01kg或者0.05kg，可得到振动系统的横向运动 振动曲线即9 -t曲线，如图3.13、图3.14所示。冗图3.13取 = 1.0m，k=0.01， 9=580，m=0.01kg，振动系统的横向振动曲线图3.14取l =1.0m，k=0.01， 9 = 5-，m=0.05kg，振动系统的横向振动曲线o0180为便于分析观察，将时间参数由200秒减少到100秒，再画横向振动曲线，如图3.15、 图3.16所示。丸图3.15取 = 1.0m，k=0.01，00 = 580，m=0.01kg，振动系统的横向振动曲线图3.16取l =1.0m，k=0.01，0 = 5-，m=0.05kg，振动系统的横向振动曲线 00180结论8：由图3.13和图3.14对比，及比较图3.15和图3.16，我们可以知道：横 向作准周期运动，小球质量对振子横向运动的振幅以及周期均有影响，m越大，振幅越 大，周期越长。3.2小结由前面的几组图形的对比我们可以很清楚的得到，弹簧摆的横向振动时，横向作准 周期运动，初始摆角对振子横向运动的周期没有影响，但是对振子横向运动的振幅有影 响，初始摆角越大，振幅越大；弹簧劲度系数对振子横向运动的振幅和周期有影响，弹 簧劲度系数越大，弹簧振子的周期越短；弹簧长度对振子横向运动的振幅以及周期均有 影响，弹簧长度越大，振幅越大，周期越长；小球质量对振子横向运动的振幅以及周期 均有影响，小球质量越大，振幅越大，周期越长。第四章总结通过本文的工作，更进一步了解了振动的相关知识，并且对弹簧摆运动规律有了基 础并深入的了解。本文对弹簧摆在竖直平面内运动这一物理模型，分别对其径向运动和横向运动，利 用matlab，通过数值计算的方法，求解振动微分方程，分析系统的振动曲线，讨论了初 始位置和弹簧长度、振子质量、弹簧劲度系数对系统振动的影响。对弹簧摆的径向运动，径向是周期运动，小球的初始摆角对弹簧摆径向运动的振幅 以及周期均没有影响；弹簧劲度系数、弹簧长度、小球质量对振幅以及周期均有影响； 弹簧劲度系数越大，弹簧摆的周期越短且径向振幅越小；弹簧长度越大，径向振幅越大， 周期越大；小球质量越大，振幅越大，周期越长。弹簧摆的横向振动时，横向作准周期运动，初始摆角对振子横向运动的周期没有影 响，但是对振子横向运动的振幅有影响，初始摆角越大，振幅越大；弹簧劲度系数对振 子横向运动的振幅和周期有影响，弹簧劲度系数越大，弹簧振子的周期越短；弹簧长度 对振子横向运动的振幅以及周期均有影响，弹簧长度越大，振幅越大，周期越长；小球 质量对振子横向运动的振幅以及周期均有影响，小球质量越大，振幅越大，周期越长。通过对弹簧摆的运动研究，我明白对待科学要有脚踏实地、认真严谨、实事求是的 学习态度；同样也要拥有不怕困难、坚持不懈、吃苦耐劳的精神，进一步让我了解了科 学研究中应该注意的问题，对今后的研究态度和生活都有深远的影响。参考文献1 程守洙.普通物理学(第五版)第三册M.北京：高等教育出版社，1998： 14-16.2 管慧，李维善.弹簧摆运动的研究J.大学物理，2010. 3( 3)： 16-20.3 杨正波，夏清华，刘思平.不同控制参数下的弹簧摆J.大学物理，2011:5(30)： 23-26.4 周衍柏.理论力学(第二版)M.北京：高等教育出版社，1998.5 郑建龙，虞献文.弹簧摆的内共振特性分析J.物理与工程，2010: 3( 2)： 13-16.6 司丽荣，张竞夫.弹簧摆的内共振现象的实验研究J.物理实验，2002. 3( 22)： 9-12.7 李云龙，倪致祥.弹簧摆振动能变化的数值研究J.阜阳师范学院学报(自然科学版)， 2009. 12 ( 4 )：45-48.8 张德喜，周予生.matlab语言程序设计教程M.中国铁道出版社，2006： 120-165.9 包兴明，周志坚，袁玉全.弹簧系统一种常见的二维非线性振动J.西南师范大学学报 自然科学版，2008，33(4)：28-31.10 药树栋.弹簧振子的纵振动和横振动J.晋中学院学报，2006, 23(3)： 1-4.11 药树栋，宫建平.弹簧振子振动的探讨J.大学物理，2008, 27(2)： 22-24.12 陈文涛，龚善初.单摆振动分析J.湖南理工学院报(自然科学版)，2008.21(1)：66-70.13 罗颖，罗兴垅.用Matlab软件求单摆的运动J.赣南师范学院学报.2005.3: 90-91.致 谢本文是在吴松安老师精心指导和大力支持下完成的。吴老师以其认真严谨、实事求 是的治学态度、高度的敬业精神、孜孜以求的工作作风和大胆创新的进取精神深深感染 激励着我，将使我终身受益。他渊博的知识、开阔的视野和敏锐的思维给了我深深的启 迪。同时，在此次毕业论文过程中我也学到了许多在其他地方不能学习到的知识，这将 对我今后的生活，工作将有很大的帮助，让我拥有认真严谨的科学精神，也让我了解了 做研究的乐趣，懂得只有不怕困难、坚持不懈、吃苦耐劳才能获得成功。最后，我还要感谢物理学院所有领导、老师和同学在大学四年中对我生活和学业上 的关心和帮助。四年间，无论是学习、生活上的问题，老师们都会悉心给以指导解答， 让我倍受感动。我的学术论文创作的开始，也是从这里起步的。从某种意义上可以说， 今日的毕业论文其实从大一时已经开始了。物理学院的老师们，教给我非常专业的学术 知识，为我的学习成长创造了一个良好的环境，引导我充分利用学校的学习资源，去发 展、充实自我，而不曾虚度光阴。在此，我真诚的向你们道一声：谢谢！3.8*取10=1.0m, k=0.01, 60=5江/180,m=0.05kg振动系统的横向振动曲线 代码y0=1;0;5*3.14/180;0;t,y=ode45(dong22,0,200,y0);plot(t,y(:,3)Work 代码 function dy二dong22(t,y)m=0.05;k=001;g=98;l0=1;dy=y(2);y(1)*y(4广2+g*cos(y(3)-(k/m)*(y(1)-l0);y；-(2/y(1)*y(2)*y(4)-(g/y(1)*sin(y(3);图3.8取10=1.0m, k=0.01, 60=5勿/180,m=0.05kg振动系统的横向振动曲线 代码；y0=1;0;5*3.14/180;0;t,y=ode45(dong22,0,100,y0);plot(t,y(:,3)Work 代码 function dy二dong22(t,y)m=0.05;k=001;g=98;l0=1;dy=y(2);y(1)*y(4广2+g*cos(y(3)-(k/m)*(y(1)T0);y(4);-(2/y(1)*y(2)*y(4)-(g/y(1)*sin(y(3);