数据处理基础知识

(1-2)T 2公式（1-1）、（1-2）中的V和g就是间接测量值。在测量中，真值与测量值都不能确切知道，所以测量的任务是：（1）给出被测量真值的最佳估计值；（2）给出真值最佳估计值的可靠程度的估计。2.误差及其分类（1）误差物理实验离不开对物理量的测量。在某一时空状态下，被测物理量所具有的客观实际值 称为真值。一般来讲，用数字表示时，它应是一个无穷多位的数。测量的目的就是力图获得 被测量的真值。但在实际测量过程中，由于测量仪器准确度和分辨率的限制，测量原理和方 法的近似性，观测者感官能力的限制，环境不稳定等因素的影响，待测量的真值是不可能测 得的。还有在相同条件下对同一物理量重复测量，结果一般也不会相同。再有很多测量过程，第一章数据处理基础知识物理实验就是在预定的条件下使得物理现象再现，不仅要定性地观察各种物理现象，还 要定量地测量物理量的大小，并探索相关量之间的数学关系，寻求物理规律。因此，必须对 实验数据的可靠性作出评价，对其误差范围作出估计。否则，测量的实验数据没有任何实际 意义。本章就是介绍这方面的基本知识。第一节测量与误差 1.1测量与误差的基本概念1. 测量及其分类测量就是把待测物理量与选作计量标准的同类物理量进行比较，并得出其倍数关系的实 验过程。倍数值称为待测物理量的数值，选作的计量标准称为单位。显然数值的大小与所选 单位相关。因此，一个物理量的测量结果，必须由数值和单位两部分组成，缺一不可。同大 学物理理论课一样，量纲分析在物理实验课程中也是一个重要工具，书写物理量和物理量的 数值和单位时，要使用规范的字母、数字或中文，可参阅B31003102。本教材中，各物理 量的单位采用中华人民共和国法定计量单位，即国际单位制（SI）。国际单位制是1960年第 十一届国际计量大会提出并建议各国采用的一种单位制，我国现已普遍采用。按测量方法来划分，测量可分为直接测量和间接测量。直接测量就是用仪器设备或量具 直接读出待测量的过程。如用米尺测量长度、天平称量质量、电压表测电压等。有些物理量， 不能用仪器设备或量具直接测得，而需先通过对与待测量相关的几个物理量进行直接测量， 再依据它们之间的函数关系计算出待测量，这种测量称为间接测量。例如：先直接测得圆柱 体的高日和直径D，再用公式（1-1）计算出圆柱体体积：寸 nD2H(1-1)V =4利用公式（1-2）求得重力加速度g :4兀2 Lg =被测量往往要对测量仪器施加作用，这就意味着测量过程本身会改变被测量的原来状态。这 都表现为测量结果和真值之间总存在着一定的差异。被测的量X的真值七是不可知的，对X 的所有观测值X/都是X0的估计值，而X。是所有七的期望值。我们把估计值与真值之差称作 测量误差。A(x )=X -X(1-3)k k 0误差a(x一般都发生在估计值七的最末1、2位不确定数字上。a)有正有负，与被测的量 X属于同种量，书写中不要遗漏单位。为了便于比较，有时把八 )换算成相对误差a (x)， kr k相对误差等于测量误差除以被测的量的真值)即A (x )= X x100%(1-4)，、. . 0 .A (x)是一无量纲的量，一般写成百分数或数量级形式，书写时不要误加单位。当有必要区 r k分A(xJ、A (xk)的称谓时，把A(xJ称作绝对误差，“绝对”只是为了区分“相对”，不要误 解为误差的绝对值。*需要强调，由于真值不能确定，(1-3)、(1-4)两式中的x0在实践中都采用约定真值， 由此求出的绝对误差、相对误差都是估计值，即误差本身也存在误差。由于 (x )能直观反 映A、)所占测量结果的份额比例，从而赋予不同测量结果以直观可比性，所以AxJ经常用 来对测量质量进行比较。r k例：测量得单摆周期T=15.68s，误差约0.01s;测量得金属圆柱体质量M=70.23g，误差约 0.02 g；请判断哪个测量结果较准确？解：虽然A(M)是A(T)的2倍，但并不因此说明金属圆柱体质量的测量误差大。A(T)= AT)= 0.00064 = 0.64 j rT15.6800A(M)=业也= 0.00028 = 0.28/ rM70.2300a (M) a (T) ,.金属圆柱体质量的测量结果较准确。(2) 误差分类r重复性条件由于测量误差是不可避免的，因此误差存在于一切科学实验的全过程中，并因测试理论、 环境、技术、设备等不同而有所差异。测量虽然不可能获得被测量的真值，但应该是在尽可 能减小误差的前提下求得被测量在该条件下最接近真值的最佳估计值，并对它的可靠程度做 出合理的估计。数据处理的理论就是基于这一原因目的发展起来的。生活中不会反复度量同 一个量值，而科学实验常常在重复性条件或复现性条件下多次测量同一被测量。重复性条件包括：相同测量程序；相同观测者；在相同条件下使用相同的测量仪器；相 同地点；在短时期内重复测量。一般情况下，重复测量次数n为420；讨论理想概念的时候，常假定nT3。由于实 验条件不能保持绝对恒定，重复观测值会在真值附近随机摆动，因此被测的*就是一个服 从于某种概率分布的随机变量，很多被测量服从正态分布。每个观测值xk都是对变量X的一 次特定取值，都是估计值。n个气不尽相同，组成一个观测列或称测量列气 (k =1,2,* n)，它就是取自X的一个随机样本，样本容量为n。处理实验数据应首先 求样本均值/,1 E/ 、= % xk（1-5）误差分类根据误差的性质及产生的原因，可将误差分为下列几类。I系统误差在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测的量的真值 之差。其特点是该误差的符号和绝对值保持不变或按某一确定的规律变化。称为系统误差。 可表示成气=巴-x0（1-6）II随机误差X X测量结果与在重复性条件下对同一被测的量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。 其特点是即使消除了系统误差仍然存在，这种误差绝对值和符号时大时小，时正时负，以不 可预定的方式变化着，称之为随机误差。可表示成S（气）=气 _R（1-7）由此可见，每个七的随机误差不尽相同，n个却拥有相同的系统误差。实际上， 误差可以表示为：误差=测量值-真值=（测量值-总体均值）+ （总体均值-真值）（1-8）A（x ） = x x = （x ） + （目x ）（1-9）k k 0 k xx 0即任何一个误差都可以表示为随机误差和系统误差的代数和。在实践中，由于真值不能确定， 只能用其约定真值求出测量误差、系统误差、随机误差等误差的估计值。m粗大误差在重复性（或复现性）条件下对同一量进行观测，有时个别观测值会明显偏离其他值， 超出了预期的随机效应和系统效应范围，但往往又找不到偏离的原因。这样的观测值称为异 常值。又叫坏值，或者说出现了粗大误差。这是观测者不正确地使用仪器、观察失误或记录 错误数据等非正常情况下而出现的。1.2误差来源与分析处理1. 随机效应科学实验中存在着许多影响量，即不是被测的量但是却对测量结果有影响的量。影响量 会在时空上持续产生不可预知的小幅度变化，重复性条件是不能控制这种情况的，因此导致 重复观测值的分散性（即各xk不尽相同），称之为随机效应，它是随机误差的来源。现实中 随机误差是由于仪器精密程度和观测者的感官灵敏程度有限，周围环境的干扰以及随测量而 来的其它不可预测的随机因素造成的。例如用毫米刻度的米尺测某物体的长度时，往往用米 尺对准物体两端估读到毫米以下一位，估读数值就存在一定的随机性，就会带来随机误差。随机效应是不可能消除和修正的，随机误差的大小和正负不能预知，但实践中增多测量 次数可以相对减少随机误差。在重复性条件下对待测量进行多次测量时，随机误差服从一定 的统计规律，可以利用这种规律对实验结果的随机误差做出估计，这正是在实际测量中常常 采取重复多次测量的依据。随机误差服从何种统计规律，要由所研究的问题的性质而定。根 据大量的实验事实并应用统计规律进行检验，大部分测量中的随机误差服从正态分布规律， 某些情况下服从其它分布，如泊松分布、均匀分布、f分布等。对于正态分布的随机误差具 有以下特点：在重复性条件下，对同一个物理量X进行多次测量，测量结果的值总是在其真值R的附(1-10)近，越靠近R，出现的概率越大，一般服从正态分布(即高斯分布)，其形状如图1-1所示。 图中的纵坐标中3)称为概率密度函数，其值为式中，b为曲线拐点处横坐标与日值之差的绝对值，称为正态分布的标准偏差。图1-1称为 正态概率分布曲线。对于已确定的测量列，如果已知和b的值，由(1-11)式可计算出实验 观测值X落在任意区间(a，b)内的概率为P(a X b) = J中(x)dx =Je-(xW)2/2b2dxg 2兀aa平(x) = e-(x一日)2 / 2。2 , x 3 b ：2 兀式中，P(a x jU+cr图1-1正态概率分布曲线(1) 概率密度分布以真值为中心，绝对值 相等的正误差和负误差出现的概率相同，这称 为误差的对称性。(2) 绝对值小的误差出现的概率比绝对值 大的误差出现的概率大，这称为误差的单峰性。(3) 超过一定范围的误差出现的概率趋近 于零，这称为误差的有界性。(4) 当测量次数无限增多时，随机误差的 算术平均值趋近于零，这称为误差的抵偿性。2. 系统效应如果影响量对测量结果的影响已被识别并可定量表达，称之为系统效应，它是系统误差 的来源。系统误差产生的原因有：(1) 仪器误差：这是由于仪器本身的缺陷造成的误差。如仪器零点不准；天平两臂不等 长、砝码偏轻或偏重；未按规定条件使用仪(2) 理论方法误差：这是由于测量所依据的理论公式本身的近似性，或实验条件不能达 到理论公式所规定的要求，或测量方法不当所带来的误差。如伏安法测电阻时没有考虑连接 导线电阻和接触电阻，甚至没有考虑电表内阻的影响；单摆周期公式的成立条件是摆角趋于 零，摆球体积趋于零、摆线质量趋于零，这些条件在实验中是不可能达到的等等。(3) 环境误差：这是由于环境如温度、湿度、大气压强、振动、电磁场等多种因素的影 响引起的误差。如钢制米尺因温度变化引起本身的热胀冷缩产生的影响；标准电池不是在规 定的20 oC条件下使用而又未进行温度修正等等。(4) 人员误差：这是由于观测者本人生理和心理特点而导致的误差。特别是眼睛或其它 感官不够完善而出现的习惯性误差。如用秒表计时有人常失之过长、有人常失之过短；估计 读数时始终偏大或偏小等。系统误差的出现一般都有确定的原因，可借助已识别的信息估计一个修正值bx或修正 因子Cb。修正值等于负的系统误差，bx = -e x(1-12)bx用代数法与未修正测量结果相加，以补偿其系统误差。例如用零刻线不在端部的直尺测量 待测物时，要给读数加上一个修正值。(1-5)式给出的样本均值就是未修正的测量结果，经过修正的样本均值_ _x = * + b（1-13）才是样本对真值的最佳估计值。有时已识别的系统效应是一个接近1的修正因子Cb，则令未修正的测量结果与之相乘， 就可以补偿其系统误差。例如走时偏快的秒表、秤砣质量偏小的商用杆秤等，其测量结果都 应乘以一个小于1的修正因子。必须强调，样本本身并不含有系统误差信息，所以多次重复测量不能减小系统误差，发 现、减小和消除系统误差没有一定的规律可循，因此，分析系统误差是实验中必须讨论的问 题之一。要发现已定系统误差，就要从产生系统误差的原因出发，仔细地研究测量理论和方 法的每一步推导，检验或校准每一件仪器，考虑每一步调整和测量等各个因素对实验结果的 影响，实际实验中经常采用改变实验条件的对比法，理论分析法，测量数据分析法等来发现 系统误差，然后设法消除。如果不能消除系统误差，就进行修正，或者在测量中设法减小它 的影响。对未定系统误差，应设法估计其误差限的大小，作为进行修正的依据。系统效应和随机效应是相对的。例如在修正系统误差时，系统效应转化成随机效应；又 如指针式电流表的标尺各点上误差不同，有随机性；但重复测量某一电压时，示值又集中在 标尺某点左右，反复使用了同一测量段，误差又具有系统性。换用高级别的仪器可以减少误 差，但效果是有限的，过分追求高等级仪器会提高测量成本和操作难度，甚至损坏仪器，所 以在实际实验测量中根据测量要求选择合适的仪器设备即可，而不必过于追求仪器设备的高 等级。3. 异常值的来源及处理异常值是由于观测者不正确地使用仪器、观察失误或记录数据错误等非正常情况下出现 的误差。这样测量得到的数据，已明显歪曲客观事实，属于粗大误差，应予以剔除。剔除异 常值时应注意以下几点：a. 实验进行中，发现仪器设备不正常或操作有误，应该立即停止测量，解决仪器和操 作问题后再重新测量，判断异常值时的补测次数要大于原定观测次数。不得凭主观意愿修改 已有数据或凭空捏造。b. 当实验结束后，在数据处理及不确定度评定时发现问题，应立即重新检查整个实验 过程，找到确切原因后剔除异常值并记录分析过程。第二节有效数字及其运算规则 2.1有效数字1. 真值是不可知的，对七的一切观测值xk都是近似值。通常用十进制记数法表示。 近似的特征，体现在数字的最末一、两位存在误差，误差的大小和正负不能准确确定。这样 的近似数通常称为有效数字。有效数字在数学上定义为：从外的左起第一位非零数字算起，k如果误差的绝对值|A（七）1不超过第S位的半个单位，则气的前S位数字都叫做有效数字， 第S位有效数字（发生误差的前一位）又叫做可疑数字。在计量学应用中，我们把定义中“不 超过左起第S位的半个单位”，放宽到“不超过第S位的1个单位”。书写表达时，常常在有 效数字后面写出1到2位可疑（有误差的）数字；作四则运算时，中间步骤的得数写出3位不 确定（可疑）数字。需要强调，近似数保留的到2位可疑数字在计量过程中是有效的，不能 认为是可有可无而随意增减。带有可疑数字的近似数，习惯上仍被称作有效数字。2. 有效数字的基本性质：（1）有效数字的位数与仪器精度（最小分度值）有关，也与被测的量的大小有关。（2）有效数字的位数与小数点位置无关。如：980cm/s 2=9.80m/s 2=0.00980km/s 2（3）第一位非零数字前的“0”不属于有效数字，而非零数字后面的“0”都是有效数字。如：0.012500m为五位有效数字，同于1.2500cm 。（4）表示运算规律的常数（常量）不是有效数字，是准确数字。如：兀；e ;.后等。（5）为表示方便，特别是对较大或较小的数值，常用科学记数法表 示。如：6371km = 6.371 x106n（6）有效数字与不确定度的关系：表示测量值最终结果的有效数字尾数与不确定度的尾 数取齐。（7）计算过程中有效数字保留原则原始数据保持原样（保留一位可疑数字）；中间计算结果保留三位可疑数字（避免再参 与运算后的结果与不确定度对齐时有效数字位数不够）本课程实验中，绝对不确定度一般 取一位有效数字，相对不确定度一般取两位有效数字。 2.2数值舍入修约规则1. 数值的舍入修约规则测量值的数字的舍入，首先要确定需要保留的有效数字和位数，保留数字的位数确定以 后，后面多余的数字就应予以舍入修约，其规则如下：（1）拟舍弃数字的最左一位数字小于5时，则舍去，即保留的各位数字不变。（2）拟舍弃数字的最左一位数字大于5,或者是5而其后又跟有并非为0的数字时，则进 一，即保留的末位数字加1。（3）拟舍弃数字的最左一位数字为5，而右面无数字或皆为0时，若所保留的末位数字为 奇数时则进一，为偶数或0时则舍弃，即“单进双不进”上述规则也称数值修约的偶数规则，即“四舍六入五凑偶”规则。根据上述规则，要将下列各数据保留四位有效数字。舍入后的数据为:3.14159_3.1424.51050_4.5106.378501_6.3792.71729_2.7173.21550_3.2167.691499_7.6912.对于测量结果的不确定度的有效数字，本课程规定采取只进不舍的规则。 2.3有效数字运算规则1. 和差运算：和差运算后结果的可疑数字位置，应当和参加运算各数中可疑数字位置 最靠前的一致。例：2.43+5.6=8.0矿12.5-8.27=4.2302. 积商运算：积商运算后结果的可靠数字位数，和参与运算各数中可靠数字最少的相 同。例：5.97x6.6=394016.795一 + 4.89=3.4346-3. 乘方和开方后结果的可靠数字与原数相同。例：(7.13)2=50. E v3.475=1.864144. 对数的小数与真数的可靠数字位数相同。其他函数运算的定位规则可以依此类推。 例：log 6.800.83282sin 1.03=0.85730-在以后的近似计算中，以上各条规则可以直接应用。 2.4科学记数法由于单位选取不同，测量值的数值有时会出现很大或很小但有效数字的位数又不多的情 况，这时数值大小与有效数字位数就有可能发生矛盾，为解决这个矛盾，通常采用科学记数 法，即用有效数字乘以10的幕指数的形式来表示，10的幕表示数量级。要正确选择数量级指 数，使量值在形式上有且只有一位整数，或者说首数大于等于1，小于10。科学记数法既能 使很大或很小的量值书写简洁方便，又能正确表示它的有效数字。例：1. 147cm=1.47 x 103mm ;39785=3.98 一 x 104;2. 测得真空中光速为299700kms、不确定度为300kn/s、结果表示成(299700300)km/s 是不妥的，应表示成(2.997土 0.003)x105 kms ,表示不确定度取一位，测量值的有效数字为 四位，测量值的最后一位与不确定度对齐。第三节测量不确定度的评定与表示 3.1测量不确定度评定的意义如上所述，即使采用了正确的测量方法，由于测量仪器和测量者的问题，测量结果仍不 可能是绝对准确的，它必然有不确定的成分。实际上，这种不确定的程度是可以用一种科学 的、合理的、公认的方法来表征的，这就是“测量不确定度”的评定。在测量方法正确的情 况下，测量不确定度愈小，表示测量结果愈可靠。反之，测量不确定度愈大，测量的质量愈 低，它的可靠性愈差，使用价值就愈低。必须正确评价测量不确定度。评价得过大，在实验中会怀疑结果的正确性而不能果断地 作出判断，在生产中则会因测量结果不能满足要求而需再投资，造成浪费。评价得过小，在 实验中可能得出错误的结论，在生产中则会因产品质量不能保证，造成危害。测量不确定度 的评定十分重要，但以往各国对测量不确定度的评定和表示却有不同的看法和规定，这无疑 影响了国际间的交流与合作。1993年国际标准化组织ISO、国际电工委员会IEC、国际计量局 BIPM、国际法制计量组织OIML、国际理论化学与应用化学联合会IUPAC、国际理论物理与 应用物理联合会IUPAP、国际临床化学联合会IFCC等7个国际组织联合发布了测量不确定 度表示指南(Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement)的修订版，简称GUM。 从此，物理实验的不确定度评定有了国际公认的准则。GUM采用当前国际通行的观点和方法， 使涉及测量的技术领域和部门可以用统一的标准对测量结果及其质量进行评定、表示和比 较。1998年12月，由中国计量科学研究院牵头，本着等同采用GUMS本内容的原则，以易于 理解、便于操作、利于过渡为宗旨起草了测量不确定度评定与表示的行政技术规范，用 以取代原有规范JJG1027中有关测量误差部分，于1999年1月经国家质量技术监督局批准发 布，1999年5月1日起实施，编号为JJF1059-1999。此技术规范对科学研究、工程技术及商 业贸易等各个领域大量存在的测量结果的分析处理和表示，均具有适用性。测量不确定度 评定与表示对计量科学中的测量不确定度有十分严格而详尽的论述。作为物理实验教学， 本教材适当降低了难度，要求建立不确定度的概念、正确估算不确定度并正确完整地表示实 验测量结果。 3.2关于测量不确定度的一些基本概念和来源1. 测量不确定度的概念测量不确定度表示指南（GUM）,即国际指南，给出的测量不确定度的定义是：表征合 理地赋予被测量之值的分散性，是与测量结果相关联的一个参数。其中，测量结果实际上指 的是被测量的最佳估计值。被测量之值，是指被测量的真值，是为回避真值而采取的。我国 现行计量技术规范JJF10591999测量不确定度评定与表示中，亦推荐这一用法。我们知道，真值对测量来说是一个理想的概念，如何去估计它的分散性？显然会出现矛 盾。实际上，国际指南（GUM）所评定的测量不确定度并非指被测的量的真值的分散性，也不 是其约定真值的分散性，而是被测的量的最佳估计值的分散性。关于测量不确定度的定义，以前曾有过多种阐述，主要可归纳为如下两类：（1）测量不确定度是由测量结果给出的对被测的量的估计的可能误差的度量；（2）测量不确定度是表征被测的量的真值所处范围的评定。第（1）种提法，实际上概念较清楚，只是其中有“误差”一词，后来才改为第（）种提法。 现行定义与第（2）种提法基本一致，只是用被测量之值取代了真值，评定方法相同、表达 式也一样，并不矛盾。至于参数，可以是标准差或其倍数，也可以是给定置信概率的置信区 间的半宽度。用标准差表示测量不确定度称为测量标准不确定度。在实际应用中如不加以说明，一般 皆称测量标准不确定度为测量不确定度，甚至简称不确定度。用标准差值表示的测量不确定 度，一般包括若干分量。其中，一些分量采用测量列结果的统计分布进行评定，并用标准差 表示。而另外一些分量则是采用基于经验或其他信息而判定的（主观的或经验的）概率分布评 定，也以标准差值表示。可见，后者有主观鉴别的成分，这也是在定义中使用“合理地赋予” 的主要原因。为了和传统的测量误差相区别，测量不确定度用u （不确定度英文uncertainty 的字头）来表示，而不用S。应当指出，用来表示测量不确定度的标准差，除随机效应的影响外，还包括已识别的系 统效应不完善的影响，如标准值不准、修正量不完善等等。显然，测量结果中的不确定度， 并未包括未识别的系统效应的影响，尽管未识别的系统效应会使测得值产生某种系统偏差。 所以，可以概括地说，测量不确定度是由于随机效应和已识别的系统效应不完善的影响，而 对被测量的测得值不能确定（不能肯定或可疑）的程度（注：这里的测得值，系指对已识别的 系统效应修正后的最佳估计值）。它是被测量之值在某个量值范围内的一个评定。2. 不确定度的来源在国际指南（GUM ）中，将测量不确定度的来源归纳为10个方面：（1）对被测量的定义不完善；（2）实现被测量的定义的方法不理想；（3）抽样的代表性不够，即被测量的样本不能代表所定义的被测量；（4）对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条件的测量与控制不完善；（5）对模拟仪器的读数存在人为偏移；（6）测量仪器的分辨力或鉴别力不够；（7）赋予计量标准的值或标准物质的值不准；（8）引用于数据计算的常量和其他参量不准；（9）测量方法和测量程序的近似性和假定性；（10）在表面上看来完全相同的条件下，被测量重复观测值的变化。上述的来源，基本上概括了实践中所能遇到的情况。其中，第1）项如再加上理论认识 不足，即对被测量的理论认识不足或定义不完善似乎更充分些。第10）项实际上是事先未 预知因素的影响，或简称之为“其他”。可见，测量不确定度一般来源于随机性和模糊性。 前者是由于条件不充分，而后者则是由于事物本身概念不明确。 3.3测量不确定度的分类测量不确定度可以简单分类为标准不确定度和扩展不确定度两类。1. 标准不确定度一般可以分为以下三类：(1) A类不确定度：在重复性条件下进行多次测量，由一系列观测结果的统计分析评 定的不确定度，简称A类不确定度，常记为“lx)。(2) B类不确定度：由非统计分析评定的不确定度，简称B类不确定度，常记为 (x)。(3) 合成标准不确定度：当测量结果的标准不确定度由若干标准不确定度分量构成时， 按方和根(必要时加协方差)法得到的标准不确定度。即某测量值的A类与B类不确定度按一 定规则算出的测量结果的标准不确定度，简称合成不确定度。常记为 (x)。(4) 相对标准不确定度：合成不确定度与真值的最佳估计值的比值，简称相对不确定 度，而其符号则加下标rel，常记为u。这是个无量纲量，通常用百分数或10的负数幕表 示(例如10-6，10-9 )等。相应则Ux)也常称为绝对不确定度。2. 扩展不确定度C扩展不确定度是指“确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望含 于此区间”。扩展不确定度有时也称展伸不确定度或范围不确定度。扩展不确定度是测量结 果的取值区间的半宽度，可期望该区间包含了被测量之值分布的大部分。而测量结果的取值 区间在被测量值概率分布中所包含的百分数，被称为该区间的置信概率、置信水准或置信水 平，准确地描述了测量结果的概率特征，用符号P表示。完整的测量结果必须给出最佳值x和x的不确定度。在基础计量学研究、基本物理常量 的测量、复现国际单位制的国际对比等相关领域要求直接给出合成标准不确定度u (x)。它 表征X的分散性。当X服从正态分布时，分散区间x 土 u( x)叫做置信区间，区间中点是最 佳值亍，其余为x的合理估计值。区间边界正好切中正态曲线的两个拐点。区间包含合理估 计值的百分数P叫做置信概率，p=68.3%。但是，由于置信区间x 土 uc(x)漏掉了合理估计 值的31.7%，用uc(x)表示结果的方法在其他领域不一定适合，例如涉及到执法、检验鉴定、 健康、安全等问题时，希望提供扩展的置信区间，以包含合理估计值的大部分，例如5%或 99%等。目前国内大部分高校理工科实验教学普遍采用p=95%，本课程亦采用95%的概率， 将区间扩展。实际上扩展不确定度是由合成标准不确定度的倍数表示的测量不确定度，通常用符中 或U表示。它是将合成标准不确定度扩展了*或k倍得到的(*或kp称为包含因子)， 即U = ku (x)(3-1)这里k值一般为2,有时为3,取决于被测量的重要性、效益和风险。U p = kpuc (x)，kp = k95，k99(3-2)当概率意义不太确切时采用(3-1)式，k值一般取2, x 土 2(x)相当于理想情况(正态分 布)下P = 95%的包含区间。需要注意，虽然区间扩展了，原来的正态曲线却不会因此而变 化。按测量不确定度的定义，合理赋予的被测量之值的分散区间理应包含全部的测得值，即 100%地包含于区间内，此区间的半宽通常用符号a表示。若要求其中包含95%的被测量之 值，则此区间称为概率为P = 95%的置信区间，其半宽就是扩展不确定度U95类似地，若要 求99%的概率，则半宽为U的 这个与置信概率区间或统计包含区间有关的概率，即为上述 的置信概率。显然，在上面例举的三个半宽之间存在着u9u99。的关系，至于具体小多 少或大多少，还与赋予被测量之值的分布情况有关。当概率意义比较确切时采用(3-2)式， 为了在x偏离正态分布时仍然能保持概率准确，包含因子kp要采用t分布时的临界值，但涉 及到分布、有效自由度、数学查表等问题。考虑到本课程的基础性、适用性及难度，我们 做了适当简化，计算扩展不确定度时采用(3-1)式，k值取2，X土 2u (x)相当于理想情况 (正态分布)下P = 95%的包含区间。(3-2)式在本课程中并不采用。值得指出的是，在80年代曾用术语“总不确定度”。由于在报告最终测量结果时，既可 用扩展不确定度也可用合成标准不确定度，为避免混淆，目前在定量表示时一般不再使用总 不确定度这个术语。以下分别讨论如何进行不确定度的评定、合成、传递和表示。 3.4标准不确定度的评定1.A类不确定度ux)的评定不确定度是表征测量结果具有分散性的一个参数，并不直接说明测量结果是否接近真值， 为了描述这种分散性，测量不确定度用标准偏差来表示。(1) 标准偏差在重复性条件下若对某量乂进行n次独立测量，样本均值为X，总体均值为巴。其中， 每个测量值xk的随机误差。可表示成5 (x ) = x - 目(3-3)(3-4)有限次测量只能把/作为巴约定真值：测量值xk与该测量列的总体均值巴之间的偏 差% = xk 云称为“残差”。由于各残差的平均值(3-5)匕圣G=0 n n所以各残差的平均值不能反映测量值与约定真值之差的大小，为此需引进“标准偏差” 标准偏差也称“均方根偏差”，其定义为 b = lim71 k(3-6)nwn可以证明，(3-6)式定义的b就是图1-1曲线中的拐点，在实际情况中，由于真值无法知道， 且测量次数有限，一般用残差v k代替5k。并且可以证明，在测量次数足够多时，标准偏差 为云(x - x)2s (x) = ： T= (3-7)n 一 1S(x)被称为测量列的标准偏差，也叫样本标准偏差，它定量表征样本分散性，即定量表征样 本中各个xk的不确定度。数字中的平方根，总是带有正负号的，例如E而= 10，但是在 标准差的计算中，开方后的值只取正值，原因在于标准差表示的是分散性，而分散性所给出 的是一个区间或理解为一个范围。作为物理量的区间的大小，用负值是没有意义的。这也就 是测量不确定度只有正值而不存在负值的原因。(3-7)式称为贝塞尔公式。贝塞尔法是评定 不确定度的基本方法。S(x)定量表征了样本中各个xk的不确定度，但测量结果不是用xk而 是用算术平均值X来表示，算术平均值的标准偏差为S(M(3-8)1 n(n-1)(3-8)式也称作为贝塞尔公式。需要注意的是，是r x的最佳估计值而不是真值x0的最 佳估计值，应在求出S(X)后进行系统误差修正，X = X + bx(3-9)X是真值的最佳值，修正后符号S*)写为S(X)，二者可不加区分。(2) 不确定度的A类评定不确定度的A类评定是指“用对观测列进行统计分析的方法，来评定标准不确定度”。 通过统计分析观测列的方法，对标准不确定度进行的评定，所得到的相应的标准不确定度称 为A类不确定度分量，用符号u (x)表示。不确定度的A类评定，有时也称A类不确定度评定。 这里的统计分析方法，是指根据随机取出的测量样本中所获得的信息，来推断关于总体性质 的方法。例如：在重复性条件或复现性条件下的任何一个测量结果，可以看作是无限多次测 量结果(总体)的一个样本，通过有限次数的测量结果(有限的随机样本)所获得的信息(诸如平 均值如、实验标准差S(x)来推断总体的平均值(即总体均值Rx或分布的期望值)以及总体标 准偏)差S(X)，就是所谓的统计分析方法之一。A类标准不确定度用实验标准偏)差表 征。即(3-10)_ 习(x - X，)2 u(X) = S (X) = kTn(n1)-2 .不确定度的B类评定不确定度由非统计分析方法评定的，简称不确定度的B类评定。这是用不同于对测量样 本统计分析的其他方法，进行的标准不确定度的评定，它用根据经验或资料及假设的概率分 布估计的标准偏)差表征，所得到的相应的标准不确定度称为B类不确定度分量，结果记 为u (x)。有时也称B类不确定度评定。不确定度的B类评定是测量不确定度评定中的难点，由于引起 (X)分量的误差成分主要 与不确定的系统效应相对应，而不确定系统效应可能存在于测量过程的各个环节中，因此 u (x)分量通常也是多项的。在u (x)分量的估算中要不重复、不遗漏地详尽分析产生B类不 确定度的来源，尤其是不遗漏那些对测量结果影响较大的或主要的不确定度来源，就有赖于 实验者的学识和经验以及分析判断能力。由于测量总要使用仪器，仪器生产厂家给出的仪器误差限值或基本误差限，实际上就是 一种不确定的系统效应，因此仪器误差是引起不确定度的一个基本来源。从基础物理实验教 学的实际出发，我们只要求掌握由仪器误差引起的3类不确定度u (x)的评定方法。物理实验 教学中仪器误差限值A 一般取仪表、器具的示值误差限或基本误差限。它们可以参照国家 标准规定的计量仪表、器具的准确度等级或允许误差范围得出，或者由生产厂家的产品说明 书给出，或者由实验室结合具体情况，给出A的近似约定值。仪器误差限A是教学中的一 种简化表示，许多计量仪表、器具的误差产生原因及具体计算分析，大大超1 出了本课程的要 求范围。因此，教学中必须作适当简化。仪器误差限A :指仪器在规定的使用条件下，正确使用仪器时，仪器示值与被测量的I真值之间可能产生的最大误差。(1) 对有仪器说明书或注明仪器精度等级的仪器，按说明书计算。如螺旋测微计，测 量范围(050mm)，最大允许误差不超过 =0.004mm；电磁仪表=量程X级别；(2) 对可估读测量的仪器，A取为仪器最小刻度值的一半。如米尺的 = 0.5mm；(3 )对不可估读测量的仪器，1 Ai为仪器分度值。如分度值为0.02mm 的游标卡尺A =0.02mm。1仪器不确定度u (x)是由仪器本身的特性所决定的，它定为：Bu (x) = (3-11)B c其中，。是仪器说明书上所标明的“最大允许误差”或“不确定度限值”，c是一个与仪器 不确定度u (x)的概率分布特性有关的常数，称为“置信因子”。仪器不确定度u (x)的概率 分布通常有正态分布、均匀分布、三角形分布以及反正弦分布、两点分布等等。B对于正态分 布、均匀分布和三角形分布，置信因子C分别取3、t3和扣6。如果仪器说明书上只给出不 确定度限值(即最大允许误差)，却没有关于不确定度概率分布的信息，则一般可以按照均匀 分布处理，即(3-12 )有些仪器说明书并没有直接给出其不确定度限值，但给出了仪器的准确度等级，则其不 确定度限值a需经计算后才能得到。如指针式电表的不确定度限值等于其满量程值乘以等级 (级数)的百分数，例如满量程为10V的指针式电压表，其等级为1级，则其不确定度限值 a = 10Vx1% = 0.1V。又如电阻箱的不确定度限值等于示值乘以等级再加上零值电阻，由于电 阻箱各档的等级是不同的，因此在计算时应分别计算。例：常用的ZX21型电阻箱，其示值为360.5Q，零值电阻为0.02Q，则其不确定度限值a=(300 x 0.1%+60 x 0.2%+0 x 0.5%+0.5 x 5%+0.02) Q=0.47Q。A类标准不确定度与B类标准不确定度仅仅是评定方法不同，并不表明不确定度的性质 不同。对某一项不确定度分量既可用A类方法评定，也可用B类方法评定，应由测量人员根 据具体情况选择。特别应当指出的是，“A类”、“B类”与“随机”、“系统”，在性质 上并无对应关系。 3.5标准不确定度的合成与传递1.不确定度的合成由正态分布、均匀分布和三角形分布所求得的标准不确定度分量u (x)、u (x)可以按以 下方和根(必要时加协方差)法进行合成与传递。A B(1) 在重复性条件下，对X进行多次测量时，待测量x的标准不确定度u (x)由A类不确定(3-13)度uA(x)和B类不确定度气(x)合成而得。即Cu (x)=履2 (x) + u2 (x) cAB其中，u (x)的值由(1-2-11)式根据相应的概率分布进行估算。(2) B对待测量x进行单次测量时，待测量x的标准不确定度u(x)由uB(x)组成。即u (x) = u (x)(3-14)2. 不确定度的传递间接测量是由某些直接测量值通过函数关系计算而得到的。由于直接测量有不确定度， 那么间接测量也必然存在不确定度，这就是不确定度的传递。由直接测量值及其不确定度来计算间接测量值不确定度的公式称为不确定度传播律。设间接测量的最佳估计值F与n个相互独立的直接测量的最佳估计值x, y , z , 之间的函数关系式为F = f （x, y, z）（3-15）处理不确定度传递的数学基础可以归结为函数的全微分问题，对上式求全微分得dF = &dx +告 dy + &dz + （3-16）式中 f f 冬为函数对x,y,z的偏导数。该式说明，当自变量x,y,z有微 ox ay cz小的增量dx, dy, dz时，函数F有微小的增量dF。在实验中，通常测量值的不确定度都是很小的，因此可以把上式中的微分增量dx, dy, dz,和dF看作是各测量值和间接测量量的不确定度，不同之处是不确定度代替了微分。再考虑到不确定度合成的统计性质，根据不确定度理论可以证明，用不确定度表示的不确定度传递公式为2u (x)2 +c2u (y)2+c2u (z)2 +c（3-17）对应的相对不确定度形式为u (F)=cru (F)cFF f f2u (x)2 +cru (y)2 +cru (z)R +cr（3-18）（3-17）式中的各项叫间接测量量的不确定度分量，而If 1 u (x), OL1 u (y),|f 1 u (z) (O x f c( C y f c( C z f cf f, Of叫做灵敏系数。（3-17）、（3-18）都称作为不确定度传播律。一个分量的测量不确 Cx Cy Cz定度对于总不确定度的贡献，不仅取决于本身不确定度的大小，还取决于灵敏系数。常见的数学模型可以划分为和差形式的函数和积商形式的函数两大类：F = 4X + A2X2 + + A,X. + +AnXn，At为常数（3-19）F = AXBxB2 XbXb：，A，B为常数（3-20）对于和差形式的函数（3-19）2采用（3-17）式计算相对简便：u （F）=、泛（A u （X ）2（3-21）=1对于积商形式的函数（3-20）米用（3-18）式计算相对简便：u （F） = ,2 （bu （X ）2（3-22）=1对于混合类型，即既有和差、又有积商的函数则须按照（3-18）式谨慎推导。另外如果我们先对间接测量量F = f （x,y,z）函数式两边取自然对数，再求全微分亦可得到计算相对不确定度的公式如下u (F)=cr(3-23)当间接测量所依据的数学公式较为复杂时，计算不确定度的过程也较为繁琐。如果函数形式 以既有和差、又有积商的形式出现时，一般采用（3-23）式相对较为简便。但在物理公式 中最常遇到的是（3-20）式的类型，即函数形式主要以积、商或乘方、开方等形式出现，所 以（3-22）式对简化计算来说非常实用。 3.6不确定度的表示由于不确定度u (x)表示的是待测量x的真值在一定的置信概率下可能存在的范围，因而，C测量结果常表示为xu (x)，如：所测长度为Q.05土0.02)m。这是不确定度的一般表示法。有时，以不确定度对于待测量的百分比来表示更能看出不确定度的相对大小，即把测量 结果的不确定度表示为uc(x) x 100%，如：所测长度为105m，相对不确定度为2%。这是 x不确定度的百分比表示法。本课程采用95%的概率，将区间扩展，采用扩展不确定度表示。采用(3-1)式，k值 取2,测量结果表示为X 2u(x)。同理，相对扩展不确定度为斗x 100%。测量最终结果的不确定度，本课程规定绝对不确定度只取一位有效数字，相对不确定度 取两位有效数字，而测量结果的末位有效数字应与不确定度的有效数字对齐，即测量结果的 末位有效数字是不确定的。(特殊情况下，不确定度的有效数字可取两位，且仅当首位为1 或2时保留两位。尾数采用“只进不舍”的原则，即测量值的末两位有效数字都是不确定的。) 这样，根据测量值的不确定度，可以决定测量值的有效数字位数。虽然测量最终结果的不确定度一般只取一位有效数字，但在运算过程中，不确定度一般 要取三位，中间计算过程测量值的有效数字也应适当多取一些，以避免过早舍入，造成不合 理的结果。3.7实例【例1】20分度游标卡尺的仪器最大允许误差是0.05mm，用来测某一长度，共测5次，得一 测量列41.35mm、41.40mm、41.35mm、41.30mm、41.40mm，求测量的不确定度并正确表 示测量结果。【解】(1)首先计算长度的算术平均值：2_ (41.35+41.40+41.35+41.30+41.40) 丁山413Gmm5mmmm(2) 计算A类不确定度：1 -u (L) = ；- = 0.02mm a n(n -1)(3) 计算B类不确定度：由仪=0.05mm，则u (L)=京=0.03mm(4 )不确定度合成： u (L) = tu (L)2+u (L)2 = 0.04mm(5) 扩展不确定度的计算2u (L) = 0.08mm.c(6) 结果表示：_L = L 2u (L)=(4.136 0.008) x 101mm【例2】有一金属圆柱体，测得其直径d = (2.040.01)cm、高h=(4.12土0.01)cm、质量 m=(149.120.05)g，计算其密度并正确表示结果。【解】(1)计算密度m4m4 x149.12p = =(g/cm3 )=11.074(g/cm)V 兀d2h 3.1415x (2.04)2 x4.12 &（2）数学模型为积商形式，计算相对不确定度简便，套用（3-22 ）式，可得u （P）：u（m）u（d）u（h）u （P）= = IL 2+42+L 2 =U.UH（3）则绝对不确定度为、七(P) = u (p)xp= 0.2(g/cma)2u (p) = 0.4(g/cm)(5)结果表示P= (1.11 土 0.04) x10i(g/cm3)c【例3】已知某铜环的外径D= （ 1 . 8H4 6 0.0 0内径d = （0.8 2 0.00,5高度 H=（0. 7*54 0. 000试求该铜环的体积及其不确定度，并写出测量结果表达式。兀一.V =云(2 -d2)H =【解】（1）计算铜环的体积314416(1.8462 - 0.8922) x 0.7354cm3 =1.509cm3（2）数学模型为积商与和差混合形式，计算铜环体积的相对不确定度简便，两端取对 数后采用（3-23）式。兀lnV = ln彳 + ln(D2 -d2) + lnHdlnV_ 2D，8lnV =_ 2d ，8lnV _ 1dD D2 -d/8d 一 D2 d2 8H Hucr (V)=；.2u 2( D ) +2u2(d)+2u 2( H )if 2 x 1.846 x 0.004 1k 1.846 2 - 0.892 2f2x 0.892 x 0.005 、k 1.846 2 - 0.892 2 7f k0.7354 )2=0.0067（3）计算绝对不确定度u (V)=0.0067 x V=0.0067 x 1.509cm 3=0.012cm3=0.02cm 3(4) 扩展不确定度的计算2u (V)=0.04cmc(5) 结果表示V =(1.51 土 0.04)cm3【例4】在单摆测重力加速度的实验中，已知摆长L、周期T的测量结果为：L=（1.000C0.0003）m，T=（2.01 土 0.01）s，重力加速度公式为g = 4兀2 L，试求重力加速度及T 2其不确定度，并写出测量结果表达式。【解】（1）计算重力加速度g = 4兀 2 L = 4x3.14162 xL0000 =9.77169m .*2T 22.012（2）数学模型为积商形式，计算相对不确定度简便，套用（1-2-22）式，可得u ( g )=.：四史2 + 务0) 2 = 0.0010 c* LT(3) 计算绝对不确定度u (g) = 9.77169 x 0.0010m .0 =0.0098m . =0.01m /s2(4) 扩展不确定度的计算2u (g)=0.02ms2(5 )结果表示Cg = (9.77 土 0.02)m /s2【例5】在外加砝码m (g)重力作用下，弹簧的伸长量x(cm)，其数据如下图，用逐差法求弹簧 的倔强系数k ； k = mg / x12345678910m (g)1.002.003.004.005.006.007.008.009.0010.00x(cm)2.004.016.057.859.7011.8513.7516.0217.8619.94【解】逐差法求xX = |x - x Ix = |x 一 x | = |11.85 - 2.00 |cm=9.85cmx = |x- x| =13.75- 4.01 |cm=9.74cmx = |x- x| =|16.02- 6.05 |cm=9.97cmx = |x- x| =17.86- 7.85 |cm=10.01cmx = |x- x| =|19.94- 9.70 |cm=10.24cmx = 5 25 x = 9.962cmx相当于用5.00g砝码在相同1条件下重复测量了5次所得的测量值x的A类不确定度25 (x - x)2u (x) = i=i ( _1) = 0.09cmx的B类不确定度u (x)=cm=0.03cm则x的结果：K的结果计算u (x)= %, u2 (x) + u2 (x) = 0.1cm2u (x) = 0.2cm