平面及其方程

6.4 平面及其方程平面及其方程 6.4.1 1 平面方程平面方程 两平面间的夹角两平面间的夹角6.4.3 点到平面的距离点到平面的距离 一个平面的法向量有无穷一个平面的法向量有无穷多个多个,它们之间都是相互平行它们之间都是相互平行的的 平面方程平面方程 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量该平面的法线向量设平面设平面 的一个法向量的一个法向量),(CBAn 且平面过点且平面过点M0(x0,y0,z0).下面建立平面有下面建立平面有 的方程的方程xyzo0MMn1 平面的点法式方程平面的点法式方程 0000(,)M Mxxyyzz 000()()()0A xxB yyC zz 平面的点法式方程平面的点法式方程 平面平面 上任一点上任一点M(x,y,z)的坐标都满足上面的的坐标都满足上面的方程方程,而当点而当点M(x,y,z)不不在平面在平面 上时上时,点点M(x,y,z)的坐标不满足该的坐标不满足该方程方程设设M(x,y,z)是平面是平面 上的任一点上的任一点nMM 000 nMM(6.15)xyzo0MMn 例例1 设一平面过点设一平面过点M0(1,0,2)平面的法向量为平面的法向量为求此平面方程求此平面方程.解解 根据平面的点法式方程，得所求平面方程为根据平面的点法式方程，得所求平面方程为(1)2(0)3(2)0,xyz即即2350.xyz(1,2,3),n2 平面的一般方程平面的一般方程 由平面的点法式方程由平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAx0 DCzByAx反之，三元一次方程反之，三元一次方程0 DCzByAx 表示一平面。表示一平面。这是因为：这是因为：以上两式相减以上两式相减 ,得平面的点法式方程得平面的点法式方程为为平面的一般平面的一般方程方程.任取一组满足上述方程的数任取一组满足上述方程的数,000zyx则则0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA显然方程显然方程与此点法式方程等价与此点法式方程等价,),(CBAn 的平面的平面,此方程称此方程称因此方程因此方程的的图形是图形是法向量为法向量为 平面方程的几种特殊情况：平面方程的几种特殊情况：(1)D=0,平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；(2)A=0,平面平行于平面平行于x 轴；轴；(3)A=B=0,平面平行于平面平行于xoy 面或垂面或垂直于直于z 轴；轴；(4)A=D=0,平面通过平面通过x 轴轴.oxyzAx+By+Cz=0oxyzoBy+Cz+D=0oxyzCz+D=0oxyzBy+Cz=0解解12(1,1,3)，M M所求平面方程为所求平面方程为化简得化简得例例2求过三点求过三点1(1,0,1),M2(2,1,2)和M3(1,1,4)M的平面方程的平面方程.取取(6,3,3)，-6(x-1)-3(y-0)+3(z+1)=02x+3y-3z-3=0.13(2,1,3)，M M1213nM MM M例例3 一平面一平面过两个点过两个点M1(1,-5,1)及及M2(3,2,-2),),且平行于且平行于y 轴轴,求其方程求其方程.52DC ,53DA 解解由于所求平面由于所求平面与与y 轴平行轴平行,故其方程的故其方程的形式形式设为设为Ax+Cz+D=0,因为点因为点M1 和和M2 都在都在上上,其坐标其坐标应当满足应当满足的方程的方程,将这两个点的坐标代入到这个方将这两个点的坐标代入到这个方方程中方程中,得到得到,A+C+D=0,=0,3A-2C+D=0,=0,解这个方程组解这个方程组,得得将这个结果代入到平面方程中将这个结果代入到平面方程中,得得3x+2z-5=0.=0.3 平面的截距式方程平面的截距式方程设平面为设平面为,0 DCzByAx将三点坐标代入得将三点坐标代入得 ,0,0,0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC ,aDA ,bDB ,cDC 将将代入所设方程得代入所设方程得1 czbyaxxyzo（通常取锐角）（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,0:11111 DzCyBxA,0:22222 DzCyBxA),(1111CBAn ),(2222CBAn 6.4.2 两平面间的夹角两平面间的夹角1 1n2 2n 设设由两向量夹角余弦公式有由两向量夹角余弦公式有121212222222111222|cosA AB BC CABCABC 特殊的：特殊的：21)1(;0212121 CCBBAA21)2(/.212121CCBBAA 例例4 解解 由两平面夹角的余弦公式得由两平面夹角的余弦公式得222222|1 2(4)211|2cos21(4)1221 （）（）（）（）.4 因此，所求角因此，所求角求两平面求两平面x-4-4y+z-2=0-2=0与与2 2x-2-2y-z-5=0-5=0的夹角的夹角.6.4.3 点到平面的距离点到平面的距离|Pr|01PPjdn Nn0P),(10101001zzyyxxPP 1P 设设P0(x0,y0,z0)是平面是平面 Ax+By+Cz+D=0外一点外一点,求求P0到平面的距离到平面的距离.在平面上任取在平面上任取P1(x1,y1,z1),则则 p|cos|ndPrj pp|.|p np npp nn 000222|.AxByCzDdABC 于是得到点到平面距离公式于是得到点到平面距离公式由于由于P1(x1,y1,z1)在平面上在平面上,故故 Ax1+By1+Cz1+D=0p n A(x1 x0)+B(y1 y0)+C(z1 z0)=Ax1+By1+Cz1 A x0 By0 Cz0=A x0 By0 Cz0 D例例5 求点求点P0(-1,2,3)到平面到平面x+2y-2z-6=0的距离的距离.解解由点到平面的距离公式得由点到平面的距离公式得 d222)2(21|63222)1(1|=3求 过 点求 过 点)1,1,1(，且 垂 直 于 平 面，且 垂 直 于 平 面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程.练习练习1练习练习2 求通过求通过 x轴和点轴和点)1,3,4(的平面方程的平面方程.设平面过原点及点设平面过原点及点)2,3,6(，且与平面，且与平面824 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程.练习练习3练习练习4121110 110.MMxyz一一平平面面通通过过两两点点（，）和和（，）且且垂垂直直于于平平面面，求求它它的的方方程程练习练习5 求平行于平面求平行于平面0566 zyx而与三个坐而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.求 过 点求 过 点)1,1,1(，且 垂 直 于 平 面，且 垂 直 于 平 面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程.),1,1,1(1n)12,2,3(2n取法向量取法向量21nnn ),5,15,10(,0)1(5)1(15)1(10 zyx化简得化简得.0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解练习练习1练习练习2 求通过求通过x轴和点轴和点)1,3,4(的平面方程的平面方程.解解 由于平面通过由于平面通过x轴，从而它的法线向量垂直轴，从而它的法线向量垂直轴，轴，于于x于是法线向量在于是法线向量在x轴上的投影为零，轴上的投影为零，；即即0A又由平面通过又由平面通过x轴，它必须通过原点，轴，它必须通过原点，.0D于于是是因此可设这平面的方程为因此可设这平面的方程为.0CzBy，得得代代入入点点)1,3,4(.3BC代入所设方程并除以代入所设方程并除以）（0BB得所求方程为得所求方程为.03 zy由平面过点由平面过点(6,3,2)知知 设平面过原点及点设平面过原点及点)2,3,6(，且与平面，且与平面824 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程.练习练习3设平面为设平面为,0 DCzByAx由平面过原点知由平面过原点知 D=00236 CBA(4,1,2),n420ABC2,3ABC.0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解于是于是 求求平平行行于于平平面面0566 zyx而而与与三三个个坐坐标标面面所所围围成成的的四四面面体体体体积积为为一一个个单单位位的的平平面面方方程程.练习练习4设平面为设平面为,1 czbyax1,V 1 11,3 2abc得得 由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得,611161cba 解解oxyzabc,61161cba 化简得化简得令令tcba 611611,6at,1tb ,61tc 11 1 116 66t tt 1,6t 1,6,1,abc.666 zyx所求平面方程为所求平面方程为代入体积代入体积于是于是.011011121，求求它它的的方方程程且且垂垂直直于于平平面面），（）和和，（一一平平面面通通过过两两点点zyxMM练习练习5 解解设所求平面得一个法线向量为设所求平面得一个法线向量为).,(CBAn 20.(1)AC又因所求的平面垂直于已知平面又因所求的平面垂直于已知平面,0zyx所以有所以有0(2)ABC，12(1,0,2)M Mn因因在在所所求求平平面面上上，它它必必与与 垂垂直直，所所以以有有 得得到到、由由)2()1(.,2CBCA由平面的由平面的点法式方程点法式方程0)()()(000zzCyyBxxA可知，所求平面方程为可知，所求平面方程为.0)1()1()1(zCyBxA,02）（代入上式，并约去代入上式，并约去及及将将CCCBCA.0)1()1()1(2zyx得得所以，所求的平面方程为：所以，所求的平面方程为：.02zyx