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第九章 假设检验STAT 随着我国参与WTO，我国的企业面临着异常严重的挑战，汽车行业的情势尤为严峻。是挑战也是机遇，为了迎接挑战，国内汽车行业纷纷采取各种应对措施。A汽车集团公司对本公司的A1型号汽车的发动机系统进展了一系列改良，提高了启动速度，降低了噪音，改称为A2型。其中，公司关怀的一个重要问题是汽车的节能性。节油是汽车的一个卖点，改良前的A1型汽车油耗较高，每百公里油耗为8.48升，公司希望改良后的车型比改良前节油，至少不比改良前更废油。实际中的统计STAT为此，随机抽取了15辆A2型汽车做实验，测得15辆汽车的每百公里耗油量的数据如下表：15辆汽车每百公里耗油量单位：升其平均数为8.377。对此数据，技术部经理以为可以一定改良后的汽车更省油。实际中的统计8.508.758.338.218.528.308.318.198.408.868.418.018.208.268.39STAT公司质量部经理对此结论有不同看法，他以为这个景象有能够是由抽样的随机性呵斥的，如今就下结论说改良后的汽车更省油还为时过早，应该对此问题作统计上的假设检验。质量部的张工程师刚经过国家质量工程从业资历认证考试，学会了不少统计方法，质量部经理就派张工处理这个问题。经过简单的计算，很快张工就得得到结论，他说，以现有的数据并不能以为改良前后汽车的油耗有明显变化。那么，张工是怎样作出他的统计分析结论的呢？实际中的统计STAT 9章 假设检验STAT 9.1.1对研讨性假设的检验我们前面的案例就可以看成是一个研讨性假设的例子。研讨性假设是：改良后的车型更节油，即平均油耗低于8.48升。通常，研讨性假设作为备择假设。那么上例中我们可建立如下的零假设和备择假设：9.1 零假设和择假设0:8.48:8.48HHSTAT例：某饮料消费商声称例：某饮料消费商声称:他们消费的两升罐装饮料平均至少有他们消费的两升罐装饮料平均至少有67.667.6盎司中的饮料。为了检验该消费商的陈说，我们将抽取一盎司中的饮料。为了检验该消费商的陈说，我们将抽取一个两升灌装饮料的样本，然后对其中所装应料的分量进展丈量。个两升灌装饮料的样本，然后对其中所装应料的分量进展丈量。该问题即属于对陈说正确性的检验，普通的，我们都先假定该问题即属于对陈说正确性的检验，普通的，我们都先假定消费商的陈说属正确的。消费商的陈说属正确的。那么上例中我们可建立如下的零假设和备择假设：那么上例中我们可建立如下的零假设和备择假设：9.1.2对陈说正确性的检验0:67.6:67.6HHSTAT 9.1.3对决策情况下的检验 不论接受零假设还是接受备择假设，都须作出决策。例：根据从刚刚收到的货物中所抽取的零件的样本，质量控制检验员就必需做出决策：是接受这批货物还是由于其不符合规格而向供应商退回这批货物。假定零件的平均长度是2英寸。那么上例中我们可建立如下的零假设和备择假设：0:2:2HHSTAT 建立零假设和备择假设总结：设 表示在零假设和备择假设中思索的某一特定数值。普通来说，对总体均值的假设检验采取下面的三种方式之一：0000:HH左侧检验000:HH右侧检验000:HH双侧检验STAT第一类错误：第一类错误：回绝正确的原假设，简称回绝正确的原假设，简称“拒真；拒真；第二类错误第二类错误 ：接受错误的原假设，简称：接受错误的原假设，简称“纳伪纳伪 如下所示：如下所示：我们把两类错误发生的概率表示如下：我们把两类错误发生的概率表示如下：第一类错误发生的概率；第一类错误发生的概率；第二类错误发生的概率；第二类错误发生的概率；9.2 第一类和第二类错误总体情况 结论 H0正确 H0错误接受H0 正确结论 第二类错误 回绝H0 第一类错误 正确结论 STAT 在实际中，我们通常确定允许犯第一类错误的概率的最大值，将其称为显著性程度。可以选择=0.05或=0.01。STAT 例：联邦贸易委员会定期进展调查，目的是检验消费商们对本人产品的陈说。例如，大听的Hilltop咖啡的标签标明：听内至少装有3磅的咖啡，我们用假设检验来检验标签的陈说能否正确。假设抽取了36听咖啡作为样本。步骤：1.建立零假设和备择假设。假设根据样本计算出来的样本平均分量低于3磅，我们就可以疑心零假设的正确性。终究样本低到什么程度我们才可以以为对总体所作的假定是错误的呢?即情愿冒第一类错误的风险，错误的控诉该公司违背了标签的陈说。这取决于决策者的态度。9.3 大样本情况下总体均值的单侧检验0:3:3HHSTAT 当n=36时，样本均值服从正态分布，我们可以用统计量 的取值来衡量样本均值偏离总体均值的程度。我们先调查 的情况，以下图阐明察看到的样本均值低于总体均值的1.645倍规范差的概率是0.05。假设FTC以为，犯第一类错的概率为0.05是可以接受的，那么，只需统计量z的值显示样本均值低于总体均值的1.645倍的规范差以上，我们就可以回绝零假设。也就是xxz01.645,Hz 我们就拒绝。3STATx 的抽样分布xn图1 样本均值低于总体均值的1.645倍的规范差的概率1.645x0.053STAT 在进展检验之前，我们要确定犯第一类错误的最大允许概率，即显著性程度。在上例中，假定FTC的检验方案的主管人员作出了以下陈说：假设公司的产品分量符合技术规格的要求 ，我们就有99%的概率对该公司采取不利的行动。当我们控诉该公司的产品分量缺乏时，我们情愿冒的犯这类错误的风险的概率是1%。可以推定，。查规范正态分布表，可得临界值为2.33。30.01STAT假设根据样本均值计算得Z值小于-2.33，就可以回绝零假设，接受备择假设。称 假定根据36个听装咖啡样本计算出的均值 ，有根据以前的研讨，我们知道总体的规范差 ，计算z值：2.33z 为拒绝域。2.9232.670.18/362.33,xxzz 落入拒绝域，则可以拒绝零假设。0.182.92x STAT 假设 ，那么统计量的值 假设 ，犯第一类错误的概率比 时犯第一类错的概率小。检验统计量的值在回绝域内出现的能够性更小。所以，确定检验的临界值时，只需假定 可以了。2.97x 2.9731.000.18/362.33,xxzz 落入接受域，则不能拒绝零假设。333STAT总结：在大样本情况下，无论总体规范差知或未知，样本均值总是服从正态分布，那么可归纳左侧检验的普通步骤：1、建立零假设和备择假设 2、确定检验统计量，并计算其值 3、根据事先确定的显著性程度，查规范正态分布表得临界值 4、回绝规那么：000:HH,xxxxsznn或 9.3.1 单个总体均值的单侧假设检验0,Hzz 拒绝。STAT同理，在大样本情况下，右侧检验的普通步骤：同理，在大样本情况下，右侧检验的普通步骤：1 1、建立零假设和备择假设、建立零假设和备择假设 2 2、确定检验统计量，并计算其值、确定检验统计量，并计算其值 3 3、根据事先确定的显著性程度，查规范正态分布表得临界值、根据事先确定的显著性程度，查规范正态分布表得临界值 4 4、回绝规那么：、回绝规那么：000:HH0,Hzz拒绝。,xxxxsznn或STAT 例：某市的一家公司消费一种新型的轮胎，这种新型轮胎的设计规格是平均行驶里程至少为28000英里。随机抽取了30只轮胎作为一个样本进展检验，结果，样本均值时27500英里，样本规范差是1000英里。采用0.05的显著性程度，检验能否有足够的证据回绝轮胎的平均行驶里程至少为28000英里的陈说。解：知1、建立零假设和备择假设 028000,30,27500,1000,0.05,1.645nxsz0:28000:28000HHSTAT 2、确定检验统计量，并计算其值3、4、27500280002.74/1000/30 xxxzsn 0.05,1.645z02.741.645,Hzz 拒绝。即不能接受该公司关于轮胎的陈述。练习：P272,T14STAT P值是指察看到的样本均值小于或等于察看值的概率。也可以称为观测的显著性程度。以希尔托普公司的咖啡问题为例来计算样本均值 的P值。我们曾经给出检验统计量的值z=-2.67,查规范正态分布表，可以求出在均值与z=-2.67之间的区域面积是0.4962。由此得到样本均值小于或等于察看值 的概率是0.5000-0.4962=0.0038，即P值就是0.0038。2.92x 2.92x 9.3.2 P值的作用STAT P值可以用来进展假设检验的决策，假设P值比显著性程度小，那么检验统计量的值就在回绝域内，假设更大，那么落入接受域内。上例中，P=0.0038,假设检验的P值规范 0.01,P应该拒绝零假设。,P如果拒绝零假设。STAT例：根据美国高尔夫球协会的准那么，只需射程和滚动间隔平均为280码的高尔夫球可在竞赛中运用。假定某公司最近开发了一种高技术消费方法，用这种方法消费的高尔夫球的射程和滚动间隔平均为280码。如今抽取一个有36个高尔夫球的随机样本来检验该公司的陈说能否为真。数据如下表。假定在显著性程度为0.05的条件下进展。9.4大样本情况下总体均值的双侧检验269301296275282276284272263300295265282263286260285264268288271260270293299293273278278279266269274277281291STAT 该问题就是一个双侧检验的例子。先建立如下的零假设和备择假设：在大样本的情况下，依然选择统计量Z,和单侧检验不同的是，此时的回绝域分布在正态曲线的两侧，对应的概率均为 。查表时应该查 对应的临界值0:280:280HH/xxxzsn22/2zSTAT 上例中，根据表中资料可计算得，那么统计量的值为根据给定的显著性程度278.5,12xs278.52800.75/12/36xxxzsn/20.05,1.96z可查表得/2/2,zzz落入接受域，不能拒绝零假设。STAT归纳：在大样本情况下，双侧检验的普通步骤：归纳：在大样本情况下，双侧检验的普通步骤：1 1、建立零假设和备择假设、建立零假设和备择假设 2 2、确定检验统计量，并计算其值、确定检验统计量，并计算其值 3 3、根据事先确定的显著性程度，查规范正态分布表得临界值、根据事先确定的显著性程度，查规范正态分布表得临界值 4 4、回绝规那么：、回绝规那么：000:HH/2/20,Hzzzz 或拒绝。,xxxxsznn或STAT对于前面关于高尔夫球的例子，我们知对应样本均值 的z值是-0.75，从规范正态分布表可以查到，在均值和z值-0.75只见的面积是0.2734。因此，左侧的面积为0.2266，而此时左侧的回绝域内的面积为 =0.025。0.22660.025，统计量不再回绝域内，不能回绝零假设，与前的结论一样。P值为z值对应一侧面积的2倍。此时，判别的规范依然是 9.4.2双侧检验的P值278.5x 2,P如果拒绝零假设。STAT在大样本的情况下，给定置信程度 的总体均值的置信区间为：进展假设检验时，首先需求对总体的参数作出假定：双侧检验1已知时nZx2未知时2sxZn9.4.3 区间估计和假设检验的关系000:HH00/2/2根据拒绝规则，可知不能拒绝H 的区域包括位于的-z和z个标准差之间的所有样本均值。1STAT 因此，双侧假设检验的样本均值的非回绝区域可以由下式给出：双侧假设检验的非回绝域和置信区间之间的关系：已知时02Zn未知时02sZn200如果x在式（）中所定义的非拒绝区域之内，假定的值就在式（1）所定义的置信区间之内。反过来说，如果假定值就在式（1）所定义的置信区间之内，样本均值就在（2）所定义的假设检验的非拒绝区域之内。2STAT 由此得到由置信区间方法到假设检验的运算过程：假设的方式：1从总体中抽取一个简单随即样本构建总体均值的置信区间：2假设置信区间包含假定的 值，那么不回绝零假设 。否那么，回绝000:HH已知时nZx2未知时2sxZn00H0HSTAT 例：依然采用前述关于高尔夫球的双侧检验的例子：根据样本数据我们曾经计算得到：对于给定的置信程度可以得到总体均值的95%的置信区间为：0:280:280HH278.5,12xs2195%,1.96Z2sxZn12278.5 1.9636即274.58282.42总体均值的假设值 在这个区间，所以我们不能回绝零假设。0280STAT在区间估计中我们曾经知道，当总体服从正态分布且总体方差未知时，小样本下的统计量这时对总体均值的检验就应该采用t统计量来进展。例：假设机场的总体平均质量等级得分大于或等于7分，那么就可以以为该机场提供的效力质量为优良。现随机抽取了12个乘客作为样本，得到伦敦某机场的质量等级分数如下：7、8、10、8、6、9、6、7、7、8、9、8。假定总体的等级近似服从规范正态分布，在0.05的显著性程度下可以以为该机场效力质量优良吗？(1)/xtt nsn 9.5小样本情况下总体均值检验STAT 1.建立零假设和备择假设 2.选择统计量t，并计算 3.4.0:7:7HH7.7572.14/1.125/12xtsn7.75,1.215xs依题可计算0.05,(11)1.796可查t分布表得t0.0502.141.796,Htt落入拒绝域，拒绝。即可以认为该机场提供了优良的服务。STAT 留意：小样本的情况下的检验步骤与判别准那么与大样本情况下的根本不同，独一的不同是小样本对应t分布，而大样本对应正态分布。另外，小样本下也可以运用P值来判别，但是由于t分布的表编制不很详细，不能经过查表来准确计算P值，但是判别的原那么依然与前一样，练习：P282,T34,P如果拒绝零假设。STAT 0用p表示总体比例，p 表示总体比例的某一特定假设值，总体比例的假设检验有如下形式：000:HpHp左侧检验000:HpHp右侧检验000:HpHp双侧检验9.6 总体比例的检验STAT 我们只思索 的情况下，样本比例服从正态分布下的总体比例的假设检验。由于比例是特殊的均值，因此对比例进展检验的步骤及判别准那么与对均值的检验一样，只需求检验统计量中的均值换成比例对应的目的就可。例：在过去的几个月中，在松树溪打高尔夫球的人中有20%是女性。为了提高女性高尔夫球收的比例，球场采取了一项特殊的鼓励措施来吸引女性。一周以后，随机抽取了400名球手作为一个样本，结果有300名男性和100名女性。课程经理想知道这些数据能否支持他们的结论：松树溪的女性高尔夫球手的比例有所添加。30,5,(1)5nnpnpSTAT解：知1、建立零假设和备择假设2、确定检验统计量，并计算其值3、4、00000.250.202.5(1)/0.20*0.80/400pppppzppn0.05,1.645z若给定则有02.51.645,Hzz拒绝。即可以认为女性球手的比例有所增加。01000.20,400,0.25400pnp0:0.20:0.20HpHpSTAT 同样，我们可以计算该检验的P值，知z=2.50,规范正态分布表显示均值与2.5之间的面积为0.4938，那么P=0.5000-0.4938=0.0062。小于显著性程度0.05，回绝零假设。以下是关于本章内容的总结：总结：单个总体的假设检验总结：单个总体的假设检验条件条件检验条件量检验条件量回绝域回绝域H0、H1(1)H0：H1：22z(2)H0：H1：(3)H0：H1：z0z00 xxZn正态总正态总体体2知知0Xx0Xx0Xx0Xx0Xx0XxZZ条件条件检验条件量检验条件量回绝域回绝域H0、H1(1)H0：H1：22t(2)H0：H1：(3)H0：H1：t0t00 x xts n2t2t0正态总正态总体体2未未知知(n30)0Xx0Xx0Xx0Xx0Xx0Xxtt条件条件检验条件量检验条件量回绝域回绝域H0、H1(1)H0：H1：22z(2)H0：H1：(3)H0：H1：z0z02Z2Z00 x xZn0 x xZS n非正态非正态总体总体n302知或知或未知未知0Xx0Xx0Xx0Xx0Xx0Xx0XxZZ条件条件检验条件量检验条件量回绝域回绝域H0、H1(1)H0：P=P0 H1：PP022z(2)H0：PP0 H1：PP0(3)H0：PP0 H1：PP0z0z02Z2Z0np5nq5000ppZp qnZZ
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