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习题二十1. 由5个字母和8个字母能组成多少个非空字母集合?分析：本题主要是对每一种出现的情况分别讨论，然后根据多重集定理就可以求得。解：此问题可化为多重集，则S的（1）1-组合有：，此种情况排列种数为：，（2）2-组合有： ，此种情况排列种数为：，（3）3-组合有：，此种情况排列种数为：，（4）4-组合有：，此种情况排列种数为：，（5）5-组合有：，此种情况排列种数为：，（6）6-组合有：，此种情况排列种数为：，（7）7-组合有：，此种情况排列种数为：，（8）8-组合有：，此种情况排列种数为：，（9）9-组合有：，此种情况排列种数为：，（10）10-组合有：，此种情况排列种数为：，（11）11-组合有：，此种情况排列种数为：，（12）12-组合有：，此种情况排列种数为：，（13）13-组合有：，此种情况排列种数为：所以总的非空序列为所有的r-组合（）数目之和，即：2+4+8+16+32+63+120+219+381+427+957+1287+1287=4803.2.用字母来形成3个字母的一个序列,满足以下条件的方式各有多少种?(1)允许字母重复;(2)不允许任何字母重复;(3)含字母的序列不允许重复;(4)含字终的序列允许重复.分析：本题主要是排列组合的简单应用。解：（1）由于允许字母重复，所以每个都有6种排法，所以总共有63=216种排列.(2)不允许任何字母重复情况下，也就是用6个字母排列成3序列，所以共有（3）这种情况可以有两种情形：（1）每个序列没有e，这种情形下序列允许重复也就是用a,b,c,d,f去填充序列的3个分量，就是。（2）每个序列都有一个e，这种情况下，每个分量都不能相同，首先从3个序列中选出一个分量填充e，选择方法为然后用其余的a,b,c,d,f填充序列的剩余2个分量，所以这种情况下排列方法为：；将这两种情形加和得到125+60=185。（4）因为含字母e的序列可以重复，而不含字母e的也可以重复，所以该题和（1）同样的结果。3.由数字1,2,3,4,5构成一个3位数,满足下列条件的方法各有多少种?(1)是一个偶数;(2)可以被5整除;(3).分析：（1）因为a是一个偶数，所以个位为偶数，所以个位有2，4两种排法，但是前面可以任意排列。（2）因为a可以被整除，则个位为，只有一种排法，前面两位可以任意排列。（3）由于，所以百位只能排，三种排列方法，其余两位可以任意排。解：（1）a是一个偶数，所以个位为偶数，所以个位有2，4两种排法，前面两位可以用1，2，3，4，5进行任意排列，有52=25种排法，由于是分部排列，所以用乘法结果为2。（）a可以被整除，则个位为，只有一种排法，前面两位可以用1，2，3，4，5任意排列，有52=25种排法，由于是分部排列，所以用乘法结果为。（）由于，所以百位只能排，三种排列方法，其余两位可以任意排列1，2，3，4，5，共有52=25种排法，由于是分部排列，所以用乘法结果为。4. 设A,B,C是三个城市.从A到B可以乘飞机,火车,也可以乘船;从B到C可以乘飞机和火车;从A不经过B到C可以乘飞机和火车.问:(1)从A到C可以有多少种不同的方法?(2)从A到C,最后又回到A有多少种方法?解：（1）该种情况可以有两种情形：第一种，直接从A到C有两种，第二种，从A出发经过B到C，由于从A到B有3中方法，从B到C有2种方法，所以从A出发经过B到C有3种，综合这两种情况可以知道共有种方法从到。（）由于从到仍然有种方法，而从到然后又从到才完成所有的过程，所以是分部，所以共有种方法。5.在5天内安排3门课程的考试.(1)若每天只允许考1门,有多少种方法?(2)若不限于每天考试的门 ,有多少种方法?解：（）如果每天只考一门，所以也就是把门课放进天中间中的某天，所以共有中排列方法。（）如果不限每天考试的门，则有如下几种情况：第一种，一天考完，但是门课不同，则安排的次序有种，共有种方法；第二种两天考完，必定会出现某一天考两门，则有排法，某一天考一门，有种排法，所以安排完考试，共有种排法；第三种三天考完也就是（）的情况，排法为，所以若不限每天考试的门数，共有种排列方法。6排列26个字母，使得和之间正好有7个字母，问有多少种排列法?解：由于a和b之间恰有7个字母，则从26个字母中取7个字母共有，然后对这7个字母进行全排列共有，然后把a，b在这7个字母的两端共有2种排法，最后将a，b以及所取出的7个字母一起作为一个整体进行全排列共有，所以总的排列方法为：。710个男孩与5个女孩站成一排如果没有两个女孩相邻，问有多少种方法?解：首先把10个男孩排好，中间形成9个空，加上两边的2个空，总共形成11个空；排列10个男孩共有种排列方法，然后把5个女孩插入到11个空中，就有种排列方法，所以总的排列方法为。810个男孩与5个女孩站成一个圆圈如果没有两个女孩相邻，问有多少种方法?解：首先把10个男孩排好，中间形成10个空，然后把5个女孩插入到这10个空中；排列10个男孩的共有（这是因为虽然有序，但是没有首尾之分），然后把5个女孩插入到10个空中，就有种排列方法，所以总的排列方法为。9从1，2，300之中任取3个数，使得它们的和能被3整除，问有多少种方法?解：将1，2，300按照模3剩余类进行划分为3个集合：、任取1，2，300中的3个数的和能被3整除，那只有如下2种情况：第一种，所取的数全部来自，此时共有；第二种，所取的数全部来自，此时共有；第三种，所取的数全部来自，此时共有；第四种，所取的三个数来自三个不同的集合，此时共有；所以共有种方法； 10证明：对一切，有证明:该题有两种证法。第一种使用公式，因为；第二种使用组合论的观点解释，从n个人中选出r个人去参加会议，剩下的人留在家里和从n个人中选出n-r个人留在家里，剩下的人去参加会议的含义是一样的，所结论成立。116个字母有多少种排列?解：该题可以此问题可化为多重集，则S的排列数N由定理有。12由0，l，2三个数字可组成多少个位数字串?解：本题中可以化成多重集，因为每一位都可以有n中排法，则S的n排列数是3n。13设有5种明信片，每种张数不限，现分别寄给2个朋友，若给每个朋友只寄1张明信片，有几种方法?若给每个朋友寄l张明信片，但每个朋友得到的明信片都不相同，有几种方法?若给每个朋友寄2张不同的明信片，不同的人可以得到相同的明信片，有几种方法?解：若每个朋友只寄一张明信片，则由于每个人的明信片可以相同，则每个人都有5种邮寄方法，所以共有52=25种方法；如果每个朋友的明信片不同，那么共有种方法；如果每个朋友2张，不同的人可以得到相同的明信片，那么从5种明信片中选出2张，共有种选法，每个人得到的2张明信片可能属于任何一种选法，于是所求的方法数是。14有相同的红球4个，兰球3个，白球3个如果将它们排成一条直线，则有多少方法?如果是排成一个圆圈又有多少种方法?解：设球的集合，如果将它们排成一条线，根据定理可以立即得到其排列方式为：；如果排成一个圆圈，由于圆排列是线排列的1/10,所以所得到的结果为420.15求多重集中的所有元素构成的排列数，要求同类字母的全体不能相邻例如排列等是不允许的解：多重集S的全排列数为，令所有这样的排列构成集合T，如下构造T的子集：为了计数这些子集的元素数，可将连续的字母看成一个打字母，从而有根据对应的计数公式有类似地分析可得由容斥原理有：
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