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习题81、图中8.10中哪些是E图？哪些是半E图？分析：根据欧拉定理及其推论，E图是不含任何奇点的图，半E图是最多含两个奇点的图。解： (a) 半E 图 。（b）E 图。 （c）非半E 图 和 E 图 2、试作出一个E图G(p,q),使得p与q均为奇数。能否作出一个E图G(p,q)，使得p为偶数，而q为奇数？如果是p为奇数，q为偶数呢？解：以下 E 图中， p与 q 的奇偶如下表 pqG1奇数奇数G2偶数奇数G3奇数偶数3、求证：若G 是 E 图，则 G 的每个块也是 E 图。 分析：一个图如果含有E回路，则该图是E图；另一方面一个块是G中不含割点的极大连通不可分子图，且非割点不可能属于两个或两个以上的块。这样沿G中的一条E回路遍历G的所有边时，从一个块到达另一个块时，只能经过割点才能实现。证明：设B是G的块，任取G中一条E回路C，由B中的某一点v出发，沿C前进，C只有经过G的割点才能离开B，也就是说只有经过同一个割点才能回到B中，注意到这个事实后，我们将C中属于B外的一个个闭笔回路除去，最后回到v时，我们得到的就是B上的一个E回路，所以B也是E图。4、求证：若G无奇点，则G中存在边互不重的回路 ，使得分析：G中无奇点，则除了孤立点后其他所有点的度至少为2，而孤立点不与任何边关联，因此在分析由边构成的回路时可以不加考虑；而如果一个图所有的顶点的度至少为2，则由第五章习题18知该图必含回路。证明：将G中孤立点去掉以后得到图G1，显然G1也是一个无奇点的E图，且。由第五章习题18知，G1必含有回路C1；在图G1-C1中去掉孤立点，得图G2，显然G2仍然是一个无奇点的图，且，于是G2中也必含回路C2，如此直到Gm中有回路Cm，且Gm-Cm全为孤立点为止，于是有：5、求证：若G有2k0个奇点，则G中存在k个边互不重的链 ,使得：分析：一个图的E回路去掉一条边以后，将得到一条E链。证明：设 为 G 中的奇数度顶点，k1在Vi和Vi+k 之间用新边ei连接，=1，2.k,所得之图记为G*，易知G*的每个顶点均为偶数，从而G*存在 E 闭链C* 。现从C*中删去ei （=1，2.k），则C*被分解成 k 条不相交的链Qi(=1，2.k),显然有: 6、 证明：如果 （1）G不是2连通图，或者（2）G是二分图,且XY,则 G 不是 H 图。分析：G不是2连通图，说明，于是或，如果，则说明G不连通，如G不连通，显然G不是H图，如则G中存在孤立点，因此有(G-v)2，由定理8.2.1G不是H图。若G是二分图，则X或Y中的任意两个顶点不邻接，因此G-X剩下的是Y中的点，这些点都是孤立点；同样G-Y剩下的是X中的点，这些点也是孤立点；即有，如果XY，则有成立。无论哪个结论成立，根据定理8.2.1都有G不是H图。证明：若（1）成立则G不连通或者是G有割点u，若G不连通,则G不是H图，若G有割点u，取S=u,于是(G-u) S因此 G不是H图.因此 G不是H图.7、证明：若 G 是半 H 图,则对于V(G)的每一个真子集S，有: 分析：图G的权与它的生成子图 的连通分支数满足： ，因为一个图的生成子图是在该图的基础上去掉若干边得到的，显然去掉边以后只能使该图的连通分支增加。对于图G的一条H通路C，满足任取, 证明:设C是G的一条H通路，任取, 易知而 C-S是 G-S 的生成子图. 8、试述 H 图与 E 图之间的关系。 分析：H图是指存在一条从某个点出发经过其他顶点有且仅有一次的回路；而E图是指从某点出发通过图中所有的边一次且仅有一次的回路。从定义可看出，这两者之间没有充分或必要的关系。解 ： 考虑如下四个图:易知G1是E图，但非H图; G2是H图，但非E图; G3既非E图，又非H图；G4既是E图，也是H图。 9、作一个图，它的闭包不是完全图分析：一个p阶图的闭包是指对G中满足d(u)+d(v)p的顶点u,v，若uvE(G)，则将边uv加到G中，得到G+uv，如此反复加边，直到满足d(u)+d(v)p的所有顶点均邻接。由闭包的定义，如果一个图本身不存在任何一对顶点u,v，满足d(u)+d(v)p，则它的闭包就是其自身。显然可找到满足这种条件的非完全图。10、若 G 的任何两个顶点均由一条 H 通路连接着，则称G 是H连通的。 （2）对于p4，构造一个具有 的H连通图G。分析：根据定理5.3.1有，因此而，所以qp*(G)/2，因此如果能判断(G)3，则有 下面的证明关键是判断(G)3。证明：（1）任取wV(G),由于G是连通的，所以d(w)1。若d(w)=1,则与w邻接的顶点u与w之间不可能有一条H 通路连接它们，否则因为p4，所以G中除了u与w外还有其他顶点，因此，如果u与w之间有一条H通路的话，这条H通路与u与w的连线就构成了一个回路，这样与d(w)=1矛盾，所以d(w)1；同样的道理，若d(w)=2，则与w邻接的顶点u与v之间不存在H通路。因此(G) 3。从而 2q=d(u)3p, 即：2q3p,也即q 3p/2() 若p为奇数，于是() 若p为偶数，则3p为偶数，于是综合以上各种情况 ，有： （2）()当p=偶数时，q=3p/2，满足条件的图如下图(a); () 当p=奇数时， 满足条件的图如下图(b); 图(a) 图(b) 11、证明：若G是一个具有 p2的连通简单图，则 G 有一条长度至少是2的通路。 分析：使用反证法，假设G 中没有一条长度大于或等于2的通路。先找到图G的一条最长通路P，设其长度为m，由假设m2。再在P的基础上构造一条长度为m+1的回路C，显然C中包含的顶点数小2，由于p2，所以图G至少还有一个顶点v不在该圈中，又由于G是连通的，所以v到C上有一条通路P。于是P+C的长度等于通路P的长度的通路构成了一条比P更长的通路，这与P是G的一条最长通路矛盾。从而本题可得到证明。证明：(用反证法)设 是G的最长通路,其长度为m，假设m2。由P是G的最长通路，则V1,Vm+1只能与 P中的顶点相邻，注意到 G 是简单图分析：由定理8.2.4，如果p（3）阶简单图G的各顶点度数序列下面的证明就是利用这个定理来判断当mm。从而G是H图。13、在图8-8中，如果分别去掉v3，v4和v5，则相应得到的旅行推销员问题的解分别取什么下界估计值？ 分析：利用Kruskal算法可给出一个关于旅行推销员问题的的下界估计式： 任选赋权完全图Kn的一个顶点v，用Kruskal算法求出Kn-v的最优树T，设C是最优的H回路，于是有C-v也是Kn-v的一个生成树，因此有：w(T)w(C-v)设e1和e2是Kn中与v关联的边中权最小的两条边，于是：w(T)+w(e1)+w(e2)w(C) 上式左边的表达式即是w(C)的下界估计式。解：（1）去掉v3后的最优数T3的权为w(T3)=5+5+1+7=18,而与v3关联的5条边中权最小的两条之权为w(e1)=8,w(e2)=9,因此下界估计值为w(C3)=18+8+9=35, ( 2 )去掉v4后，仿上有w(T4)=20, w(C4)=20+7+8=35; （3）去掉v5后, 有w(T5)=26, w(C5)=26+1+5=32.14、设G是一种赋权完全图，其中对任意x,y,zV(G),都满足 ： 证明：G中最优H回路最多具有权 其中T是G中的一棵最优树。分析：H回路是指从图中某点出发，经过图中每个顶点有且仅有一次，最后回到出发点的一条回路。由于G是一种赋权完全图，所以从任意顶点出发包括了G的其他所有顶点有且仅有一次再回到原点的回路都构成了G的一条H回路，且最优H回路C的权满足 。因此只需证明G中存在一条H回路，其权 即可，因此证明本题的关键是找到满足这个结论的H回路。 证明：设T是G中的一棵最优树，将T的每边加倍得到图，则的每个顶点的度数均为偶数。所以有一欧拉回路Q，设，(n|v(G)|)，Q中某些顶点可能有重复，且 。 在Q中，从v3开始，凡前面出现过的顶点全部删去，得到G的|v(G)|个顶点的一个排列。由于G是完全的，所以可以看作G中的一个H回路。在中任意边(u,v)，在T中对应存在唯一的(u,v)-通路P，由权的三角不等式有 。由于将中的边(u,v)用T中的P来代替时，就得到Q，因而 。故G中的最优H回路C的权
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