旋还是不旋变化球问题

旋，还是不旋？变化球问题94/04/07作者：李志扬美国 Tru-Si Technologies公司陈政宏成功大学系统及船舶机电工程学系威克菲尔德投球前的瞬间。儿时记忆不知你是否和作者及同一世代在台湾长大的孩子一样，对于棒球所带来的魔力是不具任何免疫力的。深夜两三点起来观看电视卫星立即实况转播，已成为难忘的儿时记忆。当然随着观看的兴奋，很快就引起了身体力行的梦想。为了实现这个梦，我们与邻居的儿时玩伴们一样，每天带着破旧不堪的纸手套参与街头巷尾的即兴比赛，变化球三个字是必胜的魔法，却也是遥不可及的神话，即使我们再怎么努力地投，也无法领悟出其中的道理。这个技术上的停滞倒是可以谅解的，毕竟那时我们都是十岁左右的少年。几年之后上了大学或研究所，对棒球的热爱似乎又涌上来，但已把它当作是休闲运动，儿时那种夹杂着民族情绪或神话情结的棒球梦早已随风远去！旋或是不旋棒球里，投手是防守的第一关，而投手厉害的武器之一就是变化球。变化球有很多种：曲球、反曲球、滑球、下坠球、伸卡球（sinker ，日文读音类似sin-ka，演变成台湾俗称的伸卡球）、上升快速球和近几年颇为瞩目的切球（介于滑球与直球之间），其常用者如纽约洋基队著名的救援投手利瓦伊拉（ Marians Rivera）等。这些变化球因为投出时的手臂或手指动作不同，而造成不同的角度与弧度的差异。例如由投手方向看去，下坠球是使球的上侧向前旋转，而且几乎没有侧向的旋转。右投手的滑球则是使球的右侧向前旋转，这会让球偏向投手的左侧；反之，若是让球的右侧向后旋转，则会让球偏向右投手的右侧，成为反曲球。至于曲球，右投手要让球的右上侧都向前旋转，也就是介于下坠球与滑球之间，像转门把的方式转手腕，这会使球向右投手的左下方偏去。有时棒球或垒球被击出后，我们也常常看到球的行进方向会偏移，而当时可能并没有风，这时球的路径会改变也是基于相同的原理， 球在接触球棒的瞬间受到球棒所施的扭力， 使得打出去的球旋转，因而在空气中受到侧向力。由于打到外野的球飞行时间较长，如果这种球旋转的方向是球的前侧由下往上，常会使球飞得较看起来的样子来得远，容易造成外野手误判落点的远近。如果球旋转的方向是左右旋转，则较不会产生判断错误，但是球旋转的强弱却很有可能造成界外球、沿边线二垒安打或全垒打的重大差别。厉害的打击手朝外角方向推打时，更可以利用这原理，使球飞向边线与二垒间的方向，但是让球向界外的方向旋转，于是球飞过内野手之后会向边线的方向偏行而落在边线附近，再向界外滚行。除非外野手恰巧站对位置，否则通常得跑到界外才能拿到球，打者因而争取到不少跑垒的时间。此外，打排球时也有类似的情形出现。最近世界一流的排球队伍，无论男女，都很流行跳跃发球，以求增高击球点，使对手较难接球。在跳跃发球时，由于击球点已经超过网高，发球者可以把球水平或略向上击出，但是击球速度很快，并且加上手腕用力扣球，让球产生上缘向前转的强力旋转，使球如同棒球的下坠球般，比没有旋转时更快落地，故对手即使扑倒在地还是构不着球或接歪掉。杀球时也会有类似的情形发生，只是球速更快，飞行时间更短，路径的偏折不是那么明显。其实排球活动是相当立体的，除非像棒球转播般，一场比赛用上十几台摄影机，否则像现在一般电视转播只用六台摄影机，角度又多由高处往下拍，观众是不容易看清楚球的路径变化之大，还会纳闷怎么一流选手的接球如此差劲。相对于前述的变化球，另一种广为球迷津津乐道的是近乎不旋转的变化球，庄胜雄的弹指球和郭泰源的指叉球都属于这一类。仔细想一想，要把一颗棒球迅速地投到 18 公尺外的捕手手套里而不带什么旋转，似乎不是件容易的事，更不用说进入好球带并且让打者挥棒落空。然而，这类球真正令人着迷的地方在于它难以预测的行径，不仅打者猜不着，连投手与捕手也不知道球会怎么跑！许多弹指球因此被称为蝴蝶球。相信许多棒球爱好者和笔者一样，在打击区里也吃过不少滑球的苦头。一般而言，从投手把球投出到进入捕手手套，只有约半秒的时间，所以打者只有约四分之一秒的时间，可以判断并决定是否挥棒。好的滑球如直球一般进入好球带，等到打者决定并且扭腰挥棒之际，它却突然像受到狂风吹袭一般被吹出好球带。这时，不论你如何调整、延伸你的球棒，多半都难逃挥空棒的命运。至于如何能掌握打击滑球的诀窍？这深奥的问题只有留给各位打击教练们了。虽然变化球的种类很多，但是它们在空气动力学上，促使球改变方向的作用是大致相同的。且让我们来探讨一般旋转类变化球的原理，看看它们是如何与周遭的空气互相作用而改变行进路径。势流模型的解释我们先来看一个流体力学中简化的模型势流模型，所谓势流（potential flow ），是指假设流体本身没有黏性，流体本身的密度也不变，以及流动是非漩性的。在这样简化的模型之下，我们可以用一些不是很难的数学技巧，解出所谓的流函数（stream function），或者是说我们就能由这求取流场中各点的速度，进而得知压力与其它变量。当然，在这些假设之下，我们忽略了黏性摩擦力与紊流的可能及影响，不过可以藉此了解其它作用的效果。旋转的球在二维流场里可以被简化成圆柱体， 这假设改变了原有模型， 但不影响其流体的基本型态。这是一个古典的势流问题，因为它有特殊的解析解，在某些状况下可以用纸笔求得，并不需要靠近代的快速计算机帮忙计算。解这流函数的边界条件是，在旋转的球表面上，流体的速度与球表面的切线速度一致，大小是半径乘以转速，方向则与半径垂直。把这边界值代入流场函数的方程式，可以得到流场分布。对一个逆时针方向旋转的球体而言，当流场从左往右时，也可以说是球从右飞向左。这时流场分布在球上方较疏，在下方则较密，也就是有比较多的流体从下方流过，这表示流体流经球下方的速度比较快。白努利定律告诉我们，流体速度快的地方造成的压力较小，可以看成空气对这个反时钟方向旋转的球，施加一个向下的力量！我们仔细地把压力分布沿着球表面积分，可以得到下压的力量大小是：流体密度乘以空气与球的相对速度后，再乘以球表面的环流量（速度沿一曲线与其切线内积的环积分） ，而作用的方向是与相对速度垂直的，这就是著名的库塔久柯斯基理论。它是由德国数学家库塔（ Kutta ）与俄国物理学家久柯斯基（ Joukowsky ），在二十世纪初分别独自推得的结果。我们从这个模型得到的启示是，棒球所受空气侧向的施力与其球速、空气密度和环流量成正比。这当中，空气密度显然不是人所能控制，但是球速与环流量就是投手们可以大展身手的地方了。由于投手丘至本垒板的距离大约是 18 公尺， 一个典型的曲球球速大约是每小时 110 公里，每分钟转速若为 1,800 转，则在这距离内大约会旋转 17 次。至于排球的转速似乎还没有人测过，不过从一些比赛时的影片中可以看到，杀球时球的旋转也是很厉害的。风洞实验透过势流模型所建立的理论，对变化球的原理有了初步的解释，但是实际上的现象是否与这个模型一样呢？由势流所建立的数学方程式，是基于没有黏性，而且没有涡流值的流场所导出的，很多人马上会想到，如果没有黏性，那么无论球如何旋转，也不至于会影响周遭的流场，也就是说，一颗转得再厉害的球跟一颗不转的球会有相同的流场！这个说法并没有错。让流场周边速度等于球面转动速度，确实是人工附加的边界条件，或许这一假设并不合理，但是也不会真正影响到势流模型，我们在意的是，以这一条件补强原有模型之后的推演。棒球表面气流的旋转，的确是经由空气黏性才能使周遭流场一起作用，因而有别于一颗没有旋转的球。但也因为黏性带动强大剪力，造成局部强劲的漩涡，而且这些作用力只发生在极为靠近棒球表面的地方，且空气的平均速度受黏性影响的边界层里。在棒球的前端，这层薄薄的边界层一直往流场下游延伸。由于棒球表面的粗糙，以及棒球缝线的不规则突起，原本保持速度均匀平滑的层流流场迅速地产生强劲的涡流而转变为紊流，随着下游的迹流离开球体。布朗（）在他 1971 年的风洞实验中，清楚地显示棒球旋转时附近的流场。在他的实验中，风由左向右吹，球以逆时针方向旋转，也就是说球的上表面是向上游前方移动，而下表面向下游后方移动。从他的风洞实验结果的示意图，可以看出几点与我们原先理想化势流的差异。首先，流场只在棒球前端一半的地方保持层流的状态，过了中线之后，明显有涡流夹杂，呈现典型的紊流型态。第二，球体的转动并没有造成势流模型中的流场，而受影响的部分似乎只局限在靠近球表面的边界层里。球下方的流场分布似乎较密，但并不如势流模型里预测的那么强烈。这个流场疏密并不十分明显的事实，当然引出了最关键的疑问垂直于流场速度的作用力是从何而来？我们仔细观看棒球的风洞实验图片，棒球下游的迹流有着往上倾斜的趋势，这表示棒球对流体有向上的作用力存在，如果以反作用力的角度来看，流体对棒球则施予向下的作用力。而转动中的棒球如何造成向上倾斜的迹流呢？棒球风洞实验图片中的与二处，流场发生所谓的边界层剥离现象，剥离现象的产生与边界层里流体的动量有关。图里，由于球的上表面是向上游移动，减低了边界层里流体动量，导致剥离现象较早发生。图则因球的下表面是向下游移动，延迟了剥离现象的发生，二者交互作用下，最后造成偏向上方的紊性迹流，也就是棒球本身得到空气施予的向下作用力。蝴蝶球为何漂浮摆动滑球与曲球的转向确实令我们这些业余打者，常在打击区里望球兴叹，然而这类旋转变化球仍有些模式可循，依据每个投手的习惯，或是球上红线旋转的方向，有时可以多少看出一些球路，这也就是有些变化球仍然会被击成全垒打的原因。但是另外一类的变化球如弹指球和指叉球，则是靠它们几乎不旋转的特性来改变球的路径，乍听之下十分令人困惑吧！我们用了这么多的篇幅描写球的旋转如何造成球行径的变化，为何现在又出现这类几乎不旋转的变化球呢？记得第一次在本垒板后面接指叉球与弹指球的情形，队友们投出来的球起先与一般直球并无差异，直到最后几尺，眼见它本应顺势进入捕手手套，这些球却像石头一般下沉，有些甚至往左右两边飘去。与一般曲球、滑球不同的是它们改变方向的方式，几乎是毫无任何迹象可循，而且下沉之突然，常令打者完全构不着球。另一方面，一路看似漂浮过来的棒球，更常令人难以判断它距离的远近。多年来这类弹指球一直带着神秘色彩，弹指球也因此获得蝴蝶球的美名。还记得1990年代先在匹兹堡海盗队，后来投效波士顿红袜队的威克菲尔德（Tim Wakefield ）吗？这位当时非常年轻的投手几乎只投一种球，那就是弹指球，其球速之慢让人难以想象，毕竟这是美国职棒大联盟，世界一流的棒球菁英聚集之处！然而这个看似慢动作的球，在进入本垒板时通常会有大动作的变化，不只是下沉几英寸而已，它可以不定性地飘出正常行径二英尺以上！最令人着迷的是从电视转播中，你还可以清楚地看出球上的红线几乎不动地随球而来。同样地，如何投弹指球的难题就交给投手的指导教练们去烦恼，本文仅就流体动力学的观点来探讨这问题。试想一个完全光滑的球体放在一个等速的风洞里，会不会有任何横向的作用力产生在球上呢？这个问题实际上指出了流体力学里的基本观念当密度、流速及物体大小的乘积与流体黏度的比率，即所谓的雷诺数（ Reynolds number）增加时，流场的稳定性是无法存在的。也就是说，均匀而等速的空气流过棒球之后，无法再保持稳定而均匀的速度型态，棒球下游的流场是随着时间变化的动态紊性流场。了解流体的特性后，再回到弹指球的问题上，我们或许就不会觉得如此突兀了。必须注意到实际的棒球并非一个平滑的球体，就如同前面谈及的曲球与滑球一样，弹指球同样依赖着球上的缝线，作为流体力学上重要的驱动力。弹指球的研究在瓦兹与索耶（ Watts & Sawyer） 1974 年的实验研究中得到合理的解答，他们小心地把棒球以不同的角度放置在风洞里，然后仔细地测量棒球所受到的横向作用力。实验结果发现一些令人玩味的现象，作用于球上的横向作用力大约从向右0.45牛顿到往左0.45牛顿不等。在缝线与风向相对夹角 等于 140度和 220度时，作用力几乎从往一边0.35跳到往另一边0.35牛顿；而在 等于 52度时，作用力交替地在两个方向间改变，大小差距大约是 0.8牛顿，周期则是每1 2秒一次。牛顿这奇妙的现象起因于棒球本身的构造，也就是球上的缝线。这些用来绑住球皮的缝线，突起于球表面，引发流体边界层的剥离，边界层是否会自球表面剥离与流速及缝线位置都有关，当球位于前述提及的角度时，剥离现象会从较为上游的缝线突然跳到较为下游的缝线，或者是从下游跳向上游，如此不但作用力突然增加或减少，方向也受到改变。试想一个缓慢旋转的球受到这些突然改变的作用力，在接近本垒时，行径变化益加明显，这就是为何这类变化球那么难以捉摸的原因。由于弹指球或指叉球不好练也不容易投好，一旦失手，很可能变成不太会飘动的慢速直球，形同全垒打比赛的喂球，所以没练好弹指球或指叉球的投手是不太敢投蝴蝶球的。但是这种飘忽不定的特性实在很好用，因而有了一般所谓的口水球与凡士林球，就是把球的一部分涂上口水或凡士林，以造成球的阻力不均匀，虽然球速比弹指球或指叉球快，却也一样具有漂浮不定的性质，只是用了比较肮脏的技俩，当然这种偷吃步是违反比赛规则的。排球发球时的漂浮球也是类似的道理，虽然球速不快，但是路径一直飘忽不定，令接球者难以调整位置，常常在接球前一瞬间又改变方向，使接球者手臂和球的接触点不理想，甚至造成失误。不过，排球产生漂浮球的机制可能与棒球略为不同，从棒球的实验中我们知道要使球的路径飘忽不定，作用在球表面不同处的阻力大小必须有可能产生不断的变化。棒球靠的是缝线，而排球没有缝线，所以机制必然不同。排球的机制可能是在发球时，排球受手掌拍击造成变形，由于其本身材质较富弹性，于是会像弹簧般产生不断往复的变形，造成作用在球面不同处的阻力变来变去。但是这项理论似乎还没有仔细的实验证实，而有待深入的研究。有为者亦若是许多人会以为手掌必须大到某一种程度才能投出弹指球。笔者在密西根大学念书时常与美国同学Pete在校园里练球，Pete是弹指球的能手，从他打少棒时便学会了。他的三根手指轻放在球上，然后以熟练的投球动作（完全看不出与直球有任何的不一样）与精确的放球时机把球投出，就是一个弹指球。对他而言，球的大小不是问题，给他一颗垒球，他照样弹指出去！笔者与同学练了许久，一个成功率从来不超过 10 ，而另一个从没成功过，这点证明人的资质显然比手掌大小来的重要。至于流体力学方面，倒是无需人们操心，只要球速、旋转及角度适当，变化就一定会发生的！要嘛我们让球旋转，不论球面是否光滑，边界层剥离的位置在旋转方向的两侧上会不同，造成侧向力而使球往一侧偏去。或者我们让球几乎不转动，这时棒球要靠不对称的缝线位置，而排球要靠不停地变形来使边界层剥离的情形不稳定，使作用在球上的力量也一直变化，造成漂浮不定的蝴蝶球。所以，当不成郭泰源的你我，改行做个知道变化球为何如此有威力的流体力学家也挺有趣的。延伸阅读：牛顿打棒球 ， Robert K. Adair着，李静宜译，牛顿出版社，台北市，1993。资料来源：科学发展2005 年 4 月， 388 期， 5461 页 (pdf 檔 )