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作业2（修改200810）4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为,若以表示直至掷到正、反面都出现为止所需投掷的次数,求的概率分布.解 对于,前次出现正面,第次出现反面的概率是,前次出现反面,第次出现正面的概率是,因而有概率分布,.5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是, 前4个都不能正确回答的概率是. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为,则有分布01235/815/565/561/566. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.解 设一天中某人收到位朋友的电子邮件,则,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是. 1) 用二项分布公式计算. 2) 用泊松近似律计算.8. 设服从泊松分布,分布律为.问当取何值时最大？解 设,则,数列是一个递减的数列. 若,则最大. 若,则当且时,最大.由此得 1) 若,则最大. 2) 若,则. 由上面的1)和2)知,无论或,都有.12. 设随机变量的概率密度为.求的分布函数,并作出与的图形.解 .11. 设随机变量的概率密度为.求常数和的分布函数,并求概率.解 , . .15. 设随机变量的密度为.求常数.解 .由上式得.15. 离散型随机向量有如下的概率分布:012300.10.10.10.1100.10.10.12000.10.2求边缘分布.又问随机变量是否独立？解 有分布 0120.40.30.3有分布 01230.10.20.30.4因为,所以,不独立.18 设随机向量服从矩形上的均匀分布,求条件概率.解 , , .22. 随机向量有联合密度,其中.求系数和落在圆内的概率.解 因而.而 .27. 设,分别找出,使得.其中, ,.解1 . .代入的值查得,.解2 设,则. . .代入的值查得,.28. 某商品的每包重量.若要求,则需要把控制在什么范围内.解 设,则. .28. 设服从自由度为的分布,即有密度.求的密度.解1 当时,.当时, .因而.解2 设,则. 设, ,则有反函数, ,其中.因而有密度 .29. 由统计物理学知道分子运动的速率遵从麦克斯威尔(Maxwell)分布,即密度为.其中参数.求分子的动能的密度.解1 当时,.当时, .因而.解2 设,则. 设, ,则有反函数, ,其中.因而有密度 .30. 设服从上的均匀分布,.求的分布.解 有密度.有分布函数 .31. 质点随机地落在中心在原点,半径为的圆周上,并且对弧长是均匀地分布的.求落点的横坐标的概率密度.解 设落点极坐标是,则服从上的均匀分布,有密度.设落点横坐标是,则,的分布函数为.当时,.当时,.当时.因而落点的横坐标有概率密度.34. 设随机变量服从在上的均匀分布,求的分布.解 设,则. 设, ,则有反函数, ,其中.因而有密度 .36. 设和独立,密度分别为和,求的密度.解 .37. 设系统由两个相互独立的子系统联接而成,联接的方式分别为串联,并联和备用(当系统损坏时,系统开始工作),如图7.1所示.和的寿命为和,分别有密度和,其中且.请就这三种联接方式分别写出系统的寿命的密度.解 ,独立,分别服从参数为和的指数分布,因此分别有分布函数和. 1) 联接的方式为串联时, , . 2) 联接的方式为并联时, , . 3) 联接的方式为备用时, . 因此, 当时, , 当时, .38. 相互独立,.证明.(提示:称为函数,由微积分的知识知)解 (见命题A.2.1)43. 设独立,都服从参数为的威布尔分布,即都有密度.证明仍服从威布尔分布.证 有分布函数 , .设,则有分布函数 . , 接下来的证明过程可以有两种。其一： 与有相同的形式，从而仍服从威布尔分布.其二： 因而有密度函数,从而仍服从威布尔分布.10练习训练
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