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第二章,推理与证明,21 合情推理与演绎推理,21.1 合情推理,自主预习学案,1归纳推理和类比推理,部分对象,全部对象,个别事实,归纳,部分,整体,某些类似特征,某些已知特征,这些特征,特殊,特殊,2合情推理,观察,分析,联想,归纳,类比,猜想,猜想,1(2018周口期末)下列表述正确的是( ) 归纳推理是由部分到整体的推理； 归纳推理是由一般到一般的推理； 类比推理是由特殊到一般的推理； 演绎推理是由一般到特殊的推理； 类比推理是由特殊到特殊的推理 A B C D,A,解析 根据题意，归纳推理，就是由部分到整体的推理故对错； 由所谓演绎推理是由一般到特殊的推理故对； 类比推理是由特殊到特殊的推理故对错， 则正确的是， 故选A,2鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的该过程体现了( ) A归纳推理 B类比推理 C没有推理 D以上说法都不对 解析 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理,B,互动探究学案,命题方向1 归纳推理,典例 1,规律总结 (1)由已知数式进行归纳推理的步骤 分析所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律或结构形式的特征 提炼出等式(或不等式)的综合特点 运用归纳推理得出一般结论,(2)归纳推理在图形中的应用策略,跟踪练习1 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( ) A26 B31 C32 D36,B,解析 有菱形纹的正六边形个数如下表： 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是65(61)31故选B,命题方向2 事物的相似性与类比,圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合；球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合这两个定义很相似于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质试将平面上的圆与空间中的球进行类比 解析 圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性据此，在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系： 弦 截面圆， 直径 大圆， 周长 表面积， 圆面积 球体积，,典例 2,等等于是，根据圆的性质，可以猜测球的性质如下表所示：,规律总结 运用类比推理要在合适的类比对象之间进行，可以从其形式、结构、维数等不同方向进行例如相等与不等的类比(解一元二次方程与解一元二次不等式的类比)，升维类比(圆与球、三角形与四面体)，概念与性质(分解因式与分解因数、等差数列与等比数列)等等,跟踪练习2 将平面图形与空间图形作类比，按可作类比的属性填空,命题方向3 类比推理,典例 3,思路分析 考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连接，把三角形分成三个三角形，利用面积相等来证明相应的结论在证明四面体中类似结论时，可考虑利用体积相等的方法证明相应的结论,1类比推理的思维过程大致为： 2类比推理的一般步骤： (1)通过观察、分析，找出两类事物之间的相似性或一致性 (2)通过类比、联想，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想) (3)通过推理论证，证明结论或推翻结论 一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠类比推理的结论既可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值,跟踪练习3 在RtABC中，若C90，则cos2Acos2B1，则在空间中，给出四面体性质的猜想,归纳推理具有从特殊到一般，从具体到抽象的认知功能，在求数列的通项公式或前n项和的问题中，经常用归纳推理得出关于前有限项的结论，此时要注意把它们的表达式的结构形式进行统一，以便于寻找规律，归纳猜想得出结论 其具体步骤是： (1)通过条件求得数列中的前几项； (2)观察数列的前几项寻求项的规律，猜测数列的通项公式,归纳推理在数列中的应用,已知数列an满足a11，an12an1(n1,2,3，) (1)求a2，a3，a4，a5； (2)归纳猜想通项an的表达式,典例 4,规律总结 (1)根据给出的几个具体等式归纳其一般结论时，要注意从等式的项数、次数、分式的分子与分母各自的特点及变化规律入手进行归纳，要注意等式中项数、次数等与等式序号n的关系，发现其规律，然后用含有字母的等式表示一般性结论 (2)解决数列中的归纳推理问题时，通常是将所给等式中的n取具体值1,2,3,4，然后求得a1，a2，a3，a4，的值或S1，S2，S3，S4，的值，根据这些结果进行归纳得到结果,在下列类比推理中，正确的有_ 把a(bc)与loga(xy)类比，则有loga(xy)logaxlogay； 把a(bc)与sin(xy)类比，则有sin(xy)sinxsiny 把实数a，b满足：“若ab0，b0，则a0”类比平面向量的数量积，“若ab0，b0，则a0”,类比不当致误,典例 5,错解 辨析 没有抓住类比推理的实质 正解 中，loga(xy)与sin(xy)都是一个整体，而a(bc)中a与bc是两个各自独立的部分，它们之间没有可类比性；中由a，b两数的积，类比到a，b两向量的数量积，类比形式正确，但类比结论错误；中，将平面上直线将三角形分成两部分的面积比、类比到空间中平面将三棱锥分成两部分的体积比，将角的两边，类比到二面角的两个面，类比形式正确，易证类比结论也是正确的 点评 进行类比推理时，要从其形式、结构、维数等类似特征入手，要抓住本质属性中相似或相同之处作类比,A,2根据给出的数塔猜测12345697等于( ) 19211 1293111 123941111 12349511111 1234596111111 A1111110 B1111111 C1111112 D1111113,B,
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