第4章 刚体的转动

第四章 刚体的转动刚体是一个理想化的力学模型，它是指各部分的相对位置在运动中（无论有无外力作用）均保持不变的物体。即运动过程中没有形变的物体。本章主要内容：刚体定轴转动定律；力矩和转动惯量；角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动动能定理。重点：基本概念（定轴转动、转动惯量、力矩、角速度、角加速度等）；刚体的定轴转动定律；转动惯量的计算。难点：刚体的定轴转动定律的应用第一节 刚体的平动、转动和定轴转动刚体运动研究的基础：刚体由无数个连续分布的质点组成的质点系，每个质点称为刚体的一个质量元。每个质点都服从质点力学规律。刚体的运动：平动和转动。任何复杂的运动为两者的叠加。一、刚体的运动1. 平动刚体上任一给定直线（或任意二质点间的连线）在运动中空间方向始终不变而保持平行。 平动 转动2. 转动如果刚体上所有的质点都绕同一直线作圆周运动，这种运动称刚体的转动，这条直线称转轴。（1）定轴转动：转轴相对参考系静止。 （2）定点转动：转轴上只有一点相对参考系静止，转动方向不断变动。（3）刚体的一般运动可以看作是平动和转动的叠加。二、刚体转动的角速度和角加速度定轴转动的特征：刚体上不同点的不同，但相同。如何更好地描述这些特征呢？1. 角位置，角坐标、角速度（标量）（1）角位置q：位矢与ox轴的夹角。（2）角位移dq：dt时间内角位置的增量。定轴转动的只有两个转动方向，对dq，我们规定：位矢从ox轴逆时针方向转动时角位置为正，反之，为负。（3）角速度w：2. 角速度和角加速度（矢量，后面应用）（1）角速度矢量一般情况下，角速度用矢量表示，而且，其方向与刚体的转动方向满足右手螺旋关系。质元的速度：（2）角加速度矢量：大小：方向：为加速转动，与同向； 为减速转动，与反向；3. 线量与角量的关系（第一章已经介绍）178、179页两个例题较容易，请自学。第九讲第二节 刚体的角动量 转动动能 转动惯量在讨论质点相对于空间某一定点的运动时，我们用角动量来描述物体的运动状态。角动量是一个很重要的概念，在转动问题中，它所起的作用和(线)动量所起的作用相类似。在研究力对空间的累积作用时，引出动能定理，从而得到机械能守恒定律和能量守恒定律。至于力矩对时间的累积作用，可得出角动量定理和角动量守恒定律；而力矩对空间的累积作用，则可得出刚体的转动动能定理，本节主要讨论的是绕定轴转动的刚体的角动量、转动动能、转动惯量。一、刚体的角动量：1. 质点的角动量如图，质量为m的质点位于A点，相对原点O的位矢为，并具有动量（速度）。定义：该质点对原点O的角动量为即 大小：方向：垂直于和（或）的平面，并遵守右手螺旋法则。单位：（千克二次方米每秒）注意：（1）质点的角动量是与和有关的，即与参考点O的选择有关。因此在讲述质点的角动量时，必须指明是对哪一参考点而言。（2）若质点在作半径为r的圆周运动，则对圆心O的角动量的大小为，方向与相同。（3）角动量的概念，在大到天体的运动，小到质子、电子的运动的描述中，都要应用到。例如，电子绕核运动，具有轨道角动量，电子本身还有自旋运动，具有自旋角动量等等。原子、分子和原子核系统的基本性质之一，是它们的角动量仅具有一定的不连续的量值。这叫做角动量的量子化。因此，在这种系统的性质的描述中，角动量起着主要的作用。2.刚体的角动量：如图（见书P180图4-7），以角速度w绕定轴Oz转动的一根均匀细棒，把细棒分成许多质点，其中第i个质点的质量mi绕轴作半径为r的圆周运动相对于O点的位置Ri，它对O点的角动量为： Li=Ri(mivi) 因vi垂直Ri，所以的Li大小Li=miRivi，方向如图（见书P180图4-7）；刚体对O点的总角动量（刚体绕定轴的角动量）L的方向和每个Lz的方向一致。Liz=Licos，因此：Lz=Licos=miRivicos=mirivi=(miri2) w式中(miri2) w 叫做刚体对OZ轴的转动惯量。则刚体的角动量和刚体的转动惯量表达式：J=miri2 Lz=Jw推广：如右图，一刚体以角速度w绕定轴Oz转动，则其上每一个质点都以相同的角速度绕轴Oz作圆周运动，任一质点对轴Oz的角动量为，于是刚体上所有质点对轴Oz的角动量，即刚体对定轴Oz的角动量为：，其中为刚体绕轴Oz的转动惯量，所以刚体对定轴Oz的角动量为：二、刚体转动惯量： 1. 定义刚体绕给定轴的转动惯量 J 等于刚体中每个质元的质量与该质元到转轴距离的平方的乘积之总和。它与刚体的形状、质量分布以及转轴的位置有关，也就是说，它只与绕定轴转动的刚体本身的性质和转轴的位置有关。2. 物理意义：转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。3. 单位：4. 转动惯量的计算：点线面体（1） 如果刚体上的质点是连续规则分布的，则其转动惯量可以用积分进行计算，即；（2）几何形状不规则刚体的J，由实验测定。（3）回转半径为刚体的总质量。5. 几种常见刚体的转动惯量见表4-2。(p.185，10个公式全部记忆三、刚体的转动动能：刚体转动时的动能，是组成刚体的各个质点的动能之和。设刚体上各质元质量速率到转轴的垂直距离当刚体以角速率w 绕定轴转动时，第i个质元的动能为。整个刚体的动能为 。因此，即刚体绕定轴转动的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度二次方的乘积的一半。其形式与质点动能的相似。平动与转动相应物理量的比较：平动： 平动动能 mv2/2 线动量mv转动： 转动动能 角动量Jw例4-1：（p.178） 例4-2：（p.179） 例4-3（P。182） 例4-4（P。184） 习题：P。219第2、4、6题第三节 力矩 刚体定轴转动定律 思考：刚体为什么会转动？刚体转动状态改变的规律是什么？一、力矩举例：门的转动 如图刚体的一个横截平面，可绕通过点O且垂直于该平面的转轴Oz旋转。作用在刚体内点P上的力亦在此平面内。从转轴与截面的交点O到力的作用线的垂直距离d叫做力对转轴的力臂，力的大小F和力臂d的乘积，就叫做力对转轴的力矩M： 为由点O到力的作用点P的矢径，q为径矢与力之间的夹角。上述力矩大小为：。力矩不仅有大小，而且有方向。1. 力矩的矢量式（1）力在垂直于转轴的平面内，大小：，方向：满足右手螺旋关系，垂直于与所构成的平面。（2）一般情况下，其中为平行转轴的分力，为垂直转轴的分力，这时只有能改变刚体的定轴转动状态，因此有：大小为：M=Frsin= Fd（3）单位：2. 合力矩 3. 注意（1）与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩；（2）与转轴平行的力对转轴不产生力矩；（3）刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。（4）对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效果。二、定轴转动定律1. 定律的推导如图所示，刚体上某一质点i，质量为，绕Oz轴作半径为的圆周运动。设质点i受外力和刚体中其它质点作用的内力的作用，并设这两种力均在与Oz轴相垂直的同一平面内。由牛顿第二定律，质点i的运动方程为：切向方程为：法向方程为：上式两边各乘以，得：外力矩 内力矩若考虑所有质点，则由可得令，它为刚体所受的外力矩，因为转动惯量，则有：2. 刚体定轴转动定律表述表述一：在总外力矩Mz的作用下，所获得的角加速度与总外力矩的大小成正比，并与刚体对此定轴的转动惯量成反比，这个关系叫刚体定轴转动定律。=Jd/dt表述二：刚体所受到的对某给定轴的总外力矩等于刚体对该轴的角动量的时间变化率Mz=d(J)/dt=dLz/dt。3. 讨论（1）和牛顿第二定律相比较，地位相当；（2）瞬时性。同一时刻对同一刚体，同一转轴而言。（3）定轴转动情况下，可以使用双向标量来处理。)三、平行轴定理刚体绕任何一轴的转动惯量J和绕通过其质心平行轴的转动惯量JC的关系：两轴平行； JC 为刚体绕质心轴的转动惯量； d为两平行轴间距离。思考：如何证明平行轴定理（利用质心的定义）。例4-5、4-6：（p.189-192） 作业：221页第11题，222第13、14题。第四节 定轴转动的动能定理本节通过考虑力对空间的累积作用而引出动能定理。一、力矩作功当刚体在外力矩的作用下绕定轴转动而发生角位移时，力矩对刚体作了功。1. 力矩所作的元功如图，设刚体在切向力的作用下，绕转轴转过的角位移为。则力的作用点位移的值为。由功的定义得力在这段位移内所作的功为考虑对转轴的力矩为，所以力矩所作的元功为：。可见，力矩所作的元功等于力矩与角位移乘积。2. 恒力矩所作的功即恒力矩对绕定轴转动的刚体所作的功，等于力矩的大小与转过的角度的乘积。3. 变力矩所作的功注意：上两式的是指作用在绕定轴转动刚体上诸外力的合力矩。即上两式研究的是合外力矩对刚体所作的功。4. 力矩的功率用于表示力矩作功的快慢。定义：单位时间内力矩对刚体所作的功，即： 可见，力矩的功率等于力矩与角速度的乘积。二、刚体绕定轴转动的动能定理合外力矩M对刚体作用使其绕定轴转过角位移时所作的元功为若J为常量，把转动定律代入得：在时间内，合外力矩使刚体的角速率从变到时，对刚体所作的功为即 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量刚体绕定轴转动的动能定理。三、刚体的重力势能：如果一个刚体受到保守力的作用取地面坐标系，对于一个质量为m的刚体，其重力势能是组成刚体的各个质点的重力势能之和，即：Ep=migh=gmihi,椐质心的定义，此刚体的质心高度为hc=mihi/m，上式改写为：Ep=mghc。一个不太大的刚体的重力势能与它的质量集中在质心时所具有的势能一样。例题：P195。4-7；P196。4-8。第五节 刚体的自由度 *刚体的平面平行运动一、 刚体的自由度：1、 自由度的定义：决定系统在窨的位置所需要的独立坐标数目。例一个行贿点在空间自由运动，它的位置需要三个独立坐标来决定，该质点就有三个自由度。2、 刚体自由度：刚体有六个自由度，三平动自由度，三个转动自由度A、 要指出刚体上某定点（例质点）的位置，需要三个独立坐标来决定（书图4-18）；B、 用两个独立坐标确定通过刚体内定点C的直线CA的方位；C、 因为刚体可绕直线CA转动，表征刚体的转动，还需用一个角度。 3、物体运动方程与自由度：物体有几个自由度，它的运动定律就可归结为几个独立的方程式。例质点数为N 的系统，每个质点能自由运动，则N个质点将有3N个自由度，与之对应的独立的方程式也有3N个。二、 刚体的平面平行运动：1、 刚体平面平行运动：刚体运动时，其中各点始终和某一平面保持的距离，或刚体中各点都平行于某一平面而运动。2、 平面平行运动刚体的自由度2 个平动自由度和一个转动自由度。3、 刚体平面平行运动方程：质心在OXY平面内运动，平动方程为：Fx=macx Fy=macy刚体在X轴、Y轴方向所受合力Fx 、Fy，刚体质量m；质心加速度acx，macy椐刚体绕通过质心并垂直于平面的轴的转动得：Mc=Jc4、 刚体的动能： 书P021图4-20，车轮在地面沿直线轨迹作纯粹滚动（无滑动），质心C前进的速度为vc，车轮半径R，每滚动一周，车轮质心前进的距离等于车轮周长，知：x =R对时间t求导得：dx/dt=Rd/dt,vc=R因vc=dx/xt =d/dt; 车轮看着随质心的平动和绕质心的转动的合成，则滚动时，轮边缘上任的速度是V=Vc+r计论：G点，Vc和r大小相等，方向相反，无滑动； RA B RB 同理，在A点Vc和r方向相同 vA=vc+R=2vc RB vB= vc 2+(R)21/2 =21/2vc C 质心为基点，刚休体的动能： Ek= mvc2/2+mi(ri )2 A RA RA = mvc2/2+J2/2 刚体质心的全部动能等于质心运动的平动动能与刚体对质心的转动动能的和例题：P203。4-9；P206。4-10 G第六节定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律一、刚体定轴转动的角动量定理1、 刚体定轴转动的角动量如图，一刚体以角速度w绕定轴Oz转动，则其上每一个质点都以相同的角速度绕轴Oz作圆周运动，任一质点对轴Oz的角动量为，于是刚体上所有质点对轴Oz的角动量，即刚体对定轴Oz的角动量为：，其中为刚体绕轴Oz的转动惯量，所以刚体对定轴Oz的角动量为：2. 刚体定轴转动的角动量定理 （1）刚体定轴转动定理的另一种表述因为作用在第i个质点上的合力矩应等于质点的角动量随时间的变化率，即包含有外力矩和内力矩，但对绕定轴Oz转动的刚体来说，刚体内各质点的内力矩之和应为零，即。故由上式可得作用于绕定轴Oz转动刚体的合外力矩M为：即刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚体绕此定轴的角动量随时间的变化率。注意： 上式更具普遍意义。即使转动惯量J因内力作用而发生变化时，前述的转动定律已不适用，但上式仍然成立。就如较之更普遍的情况一样。 我们在这里没有采用矢量描述，要注意实际上我们是使用了分量式，表达式中的有关物理量可正可负，为双向标量。（2）力矩对给定轴的冲量矩和角动量定理考虑在合外力矩M的作用下，在时间内，刚体的角速度由变为。由上式积分得：定义：力矩对给定轴的冲量矩（角冲量）为，则可得角动量定理：即当转轴给定时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。注意：对定轴转动的刚体来说，J1=J2；但上述定理适用于质点系，例如芭蕾舞演员，这时J1可以不等于J2。3. 刚体定轴转动的角动量守恒定律当时，得J = 恒量。即，如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩的所用，物体的角动量保持不变角动量守恒定律。书P210表4-2例子：（1）动画演示（2）在日常生活中，符合角动量守恒定律的例子也是很多的。例如，舞蹈演员、溜冰运动员等，在旋转的时候，往往先把两臂张开旋转，然后迅速把两臂靠拢身体，使自己对体中央竖直轴的转动惯量迅速减小，因而旋转速度加快。又如跳水运动员在空中翻筋斗时(如图)，跳水员将两臂伸直，并以某一角速度离开跳板，跳在空中时，将臂和腿尽量卷缩起来，以减小他对横贯腰部的转轴的转动惯量，因而角速度增大，在空中迅速翻转，当快接近水面时，再伸直臂和腿以增大转动惯量，减小角速度，以便竖直地进入水中。例4-11：（p.211） 例4-12：（p.212） 例4-13 例4-14习题：P。224 4-25 4-26 第三章、第四章例题讲解第一部分 公式对照表质点的直线运动刚体的定轴转动速度角速度加速度角加速度匀速直线运动匀角速转动匀变速直线运动v=v0+ats=v0+at2/2v2-v02=2as匀变速转动力F，质量m牛顿第二定律F=ma力矩M，转动惯量J转动定律M=Jb动量mv，冲量Ft（恒力）动量定理ft=mv-mv0（恒力）角动量Jw，冲量矩Mt（恒力矩）角动量定理Mt= Jw -J0w0（恒力矩）动量守恒定律角动量守恒定律平动动能常力的功动能定理转动动能常力矩的功动能定理第二部分 例题讲解例题一 质量分别为m1及m2 的二滑块，分别穿于二平行水平光滑的导杆上，二导杆间的距离为 d，再以一劲度系数为k1，原长为 d 的轻质弹簧连接二滑块。设开始m1时位于x1=0处，m2位于x2=l处，且其速度均为零，求释放后两滑块的最大速度分别是多少？解：选择二滑块及弹簧组成的系统为研究对象，则系统不受外力作用，只有内部保守力作功，因此系统机械能守恒及动量守恒。如图所示：t=0时刻：弹簧伸长量为：，初动能：EK=0；初始势能为：t时刻：设两滑块的速度分别为v1和v2，则系统动能，势能为EPt。由机械能守恒定律可得显然EPt=0时两个滑块的速度达到最大值，因此： （1）由动量守恒定律可得： （2）联立方程（1）和（2），即可解得：例题二 某弹簧不遵守胡克定律，若施力F，则相应伸长为x，力与伸长的关系为，求：（1）将弹簧从定长拉伸到定长时，外力需做的功。（2）将弹簧横放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一个质量为 2.17 kg 的物体，然后将弹簧拉伸到一定长，再将物体由静止释放，求当弹簧回到时，物体的速率。（3）此弹簧的弹力是保守力吗？解：（1）外力作的功为（2）根据动能定理有 （3）为保守力，因为其功只与弹簧的始末位置有关和运动过程无关。例题三 质量为m的木块置于一质量为M 的锲上，锲体倾角为并放在水平桌面上，所有表面都是光滑的，如图。如果系统由静止释放，任其自由运动，当木块滑下h高碰到桌面时，锲体的速度为多大？解：选桌面为参照系，建立如图（2）所示的坐标系。设 m 相对 M 速度为，M 相对桌面速度为，m相对桌面速度为，则有：图（1） 图（2），从而有：注意到水平方向动量守恒：解得： （1）系统机械能守恒： （2）将（1）代入（2）即得当木块滑下h高碰到桌面时，锲体的速度为： #例题四 两个质量分别为m1和m2的木块 A 和 B，用一质量可以忽略不计，劲度系数为 k 的弹簧联接起来，放置在光滑水平面上，使 A 紧靠墙壁，然后用力推木块 B 使弹簧压缩了 x0，然后释放。已知m1=m，m2=3m，求：（1）释放后，A、B 两木块速度相等时的瞬时速度的大小；（2）释放后，弹簧的最大伸长量。解：（引导学生思考分析外力释放后系统中物体的运动状态变化过程和遵循的规律）。（1）释放后，弹簧恢复到原长时，A 要离开墙壁，设此时B的速度为vB0，由机械能守恒得，。A 离墙后，系统在光滑水平面上运动，动量守恒和机械能守恒，有： （1） （2）当时，由（1）式可得：（2）弹簧有最大伸长量时：，代入（2）式得：例题五 如图，一个质量为 m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮的质量为M 、半径为 R，其转动惯量为，滑轮轴光滑。试求该物体由 静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。解：如图，选取向下为坐标轴正向，设物体下落的角速度为a，滑轮转动的角加速度为，根据牛顿第二定律和刚体定轴转动定律，对m： （1）对M： （2）又因为： （3）联立（1）、（2）、（3）解得：，可见物体作匀加速直线运动。由初始条件，得。例题六 如图所示，A、B两圆盘可分别绕O1，O2轴无摩擦地转动。重物C系在绳上（绳不伸长），且与圆盘边缘之间无相对滑动。已知 A、B 的半径分别为R1，R2，A 、B、C 的质量分别为m1，m2，m，求：重物 C 由静止下降 h 时的速度 v 。解法一：应用机械能守恒定律不打滑：有：考虑到： 得： 解法二：（应用牛顿第二定律和刚体定轴转动定理）作为课后作业。例题七 一质量为 m 的子弹，穿过如图所示的摆锤后，速率由 v 减少到v/2。若摆锤的质量为 M，摆杆的质量也为 M（均匀细杆），长度为 l，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，子弹的速度的最小值应为多少？解：（1）取摆锤、地球和子弹为系统，子弹穿过摆锤过程中，系统对转轴的角动量守恒：L子弹前L子弹后+L摆锤+L摆杆即： 得摆锤开始转动的角速度为（2）摆锤开始转动后机械能守恒，设摆锤在垂直位置低点为势能零点，则到达最高点时有：解得：即：例题八 两滑冰运动员，质量分别为MA=60千克，MB=70千克，它们的速率VA=7米/秒，VB=6米/秒，在相距1.5米的两平行线上相向而行，当两者最接近时，便拉起手来，开始绕质心作圆周运动并保持两者间的距离不变。求该瞬间：（1）系统的总角动量；（2）系统的角速度；（3）两人拉手前、后的总动能。这一过程中能量是否守恒？解：（1）建立坐标系，系统质心位置为:即：（1）系统的总角动量为（2）系统所受合外力矩为零，角动量守恒： 其中 系统的角速度 （3）拉手前、后系统的总能量分别为，能量守恒。例题九 设某机器上的飞轮的转动惯量为 J，其在制动力矩M=-k的作用下，角速度由0减小到0/2，问此过程所需的时间和制动力矩所作的功各为多少？解：由刚体转动定律：变形后两边积分得再由转动动能定理得： 例题十 质量为 M 的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘挂有质量为 m，长为 l 的匀质柔软绳索。设绳与圆盘的边缘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长之差为 s 时，绳的加速度的大小。解：建立坐标系如图，任一时刻圆盘两侧的绳长分别为x1， x2，选取取x1、x2的绳子及圆盘为研究对象，设绳子单位长度质量为，则对x1， （1）对x2， （2）对圆盘， （3）由角量和线量关系： （4）并注意到： （5）联立（1）、（2）、（3）、（4）、（5）得：布置作业复习消化今天的例题，检查对照本学期自己物理作业中的存在问题，进行修正。14