小学六年级数学错误资源有效利用的策略研究

把握数学本质 破解学习困难浅谈“乘法分配律”的教学指导策略上虞市百官小学 陈卓英 15968558440【内容摘要】乘法分配律是小学阶段学生比较难理解与应用的运算定律，本文尝试从分析学生的学习困难入手，研究提高乘法分配律教学有效性的方法，提出了前伸系统把握，注重前期渗透、中实立足本质，促进意义建构、后延后期延伸，提高简算意识三大解决策略。【关 键 词】乘法分配律 学习困难 数学本质 教学指导策略生成背景六年级的第二单元第四课时是分数乘法的简算，在批阅学生的课堂作业时，发现简便计算中以下两题“+”、“45（-）”错误率很高：题目错误原形错误率错例分析+=（+）（+）28.6%乘法分配律意义理解有误+=（）4.1%乘法分配律与结合律混淆45（-）45（-）=4532.7%没有简便计算45（-）=45-16.3%拆分错误在进行错题分析时，笔者就在心里想：为什么学生这么不容易掌握乘法分配律？原因到底出在哪里？学生在学习这一内容时会遇到哪些困难？这些困难又该如何解决？乘法分配律该如何进行教学才是有效的呢？原因分析笔者通过对教材、教师和学生三个层面的调查和分析，发现了产生这些问题的一些主要原因：教材层面笔者首先翻阅了人教版四年级下册的教材，发现教材对于这部分内容在编排上具有相对集中的特点，知识趣味性不强，练习量又远远不够，不利于学生在短时间内理解掌握甚至灵活运用，所以学生在第一次学习乘法分配律时不是很扎实。先入为主的错误学法，再加上小数、分数的存在，所以后面在学习五年级上册第一单元小数乘法的简便运算和六年级上册第二单元分数乘法的简便运算时，乘法分配律就成了学生的“老大难”。教师层面1.重外形，缺内在。大部分教师在教学乘法分配律时，将侧重点放到观察算式的外在形式，淡化内在算理的阐释，学生只会机械地记忆规律，不能理解规律的内涵本质。由此课后练习时总会出现这样的情况学生运用乘法分配律时往往将括号外的数只乘括号内的一个数。如：（32+48）5=325+48、482+48=482+1、325+485=32+485等类型的错误。2.重灌输，缺建构。大部分老师，在上乘法分配律这一课时，往往都会患同样的毛病：受功利性驱使，根本不顾学生已有的知识经验、知识生长点，而是另起炉灶，强迫学生建“空中楼阁”数学模型，即“硬逼”学生根据几个等式，发现规律性的内容、概括出乘法分配律，时间稍长，这种暂时的链接必断无疑。3.重题海，轻体验。学生缺乏对知识的深层体验，知识链一开始是断裂的，后来是很难接上的。即使是题海战术，也很难达到熟能生巧的目的。你会发现如果第一次接触乘法分配律时是哪几种错误或是哪几位同学不会，最终还是这几种错误，还是这几位同学不会。学生层面1.心理方面：中、高年级学生自尊心强，他们对于一些行为或心理问题会进行有目的地掩饰。当数学学习不佳，回答问题或作业出错，就会不懂装懂，回避困难。2.认知方面：一是感性积累少。对于加法、乘法的交换律和结合律，学生在正式学习之前就经常运用，积累了大量的感性经验，但学生在学习乘法分配律之前很少有这方面的感性积累与直接经验。尽管学生在学习笔算乘法（如两位数乘一位数、三位数乘一位数等）时也曾用到过乘法分配律，但那时还处于无意识的状态。二是内在算理糊。乘法分配律形式变化比较大，因为学生缺乏对乘法分配律内在算理的理解，所以乘法分配律一变式，学生就摸不着头脑了。如：3599+35、4.62.3+0.5423、55，这些都是乘法分配律中常见的不完整结构算式，学生由于不能深刻理解乘法分配律的算理，往往会无从下手。三是自主体验缺。课堂上学生只是从形式上感知了规律，未从实质上加以领悟。教学对策简算意识培养知惑而后解惑，方能对症下药。基于前面的原因分析，笔者认为，最终的源头还在于对“数学本质”的认识。所以笔者提出了三个层次的教学策略来破解学生学习乘法分配律时的困难。策略 前伸系统把握，注重前期渗透 中实立足本质，促进意义建构 后延后期延伸，提高简算意识一、系统把握，注重前期渗透。前面笔者已经提到学习乘法分配律不能建空中楼阁，应该注重学生已有的知识经验，找到知识的生长点，经过同化和顺应，构建认知结构。那么，学生已有的知识经验、知识的生长点是什么呢？怎样构建新的认知结构呢？ 笔者认为学生已有的知识经验是“几个几加几个几等于几个几，几个几减几个几等于几个几。”因为在低年级学了乘法的意义后，后继教材中都有所孕伏、渗透。所以我们在教学乘法分配律前，需要认真地研读教材的真正用意，系统地把握好教材，为学生的后继学习打好基础。1.充分理解乘法算式的意义在人教版第三册7的乘法口诀第78页练习题中有这样的题目：在教学这一题目时，我们不要只为计算而计算，需要最大限度地发挥练习题的多重价值。比如“76+7”可以先让学生计算出结果，接着老师可以问：“除了这种方法，我们还可以怎样算呢？”有些学生可能会根据算式的意义“6个7连加后，再加一个7，就等于7个7，所以可以用“77=49”来计算。这其实就是学习乘法分配律简便计算的基础。如果在做这题的时候，老师能让每个学生对乘法意义都理解到位，那到了四年级下册学习乘法分配律时，学生的困难会大大减少。2在具体情境中理解拆分人教版第六册笔算乘法第63页（下图）在学习两位数乘两位数笔算乘法时，老师就应该关注把12拆分成“10+2”，2412就是求2个24和10个24的和。学生有了把“一个数拆分成两个数相加的和的经验积累，到了学习乘法分配律时就不会感觉那么困难了。二、立足本质，促进意义建构。简算教学中，教师结合教学内容，联系现实生活中的实际问题创设情境，能很好地让学生从数学活动中去体验，从数学与生活原型中寻求支点，有利于解决数学内容的高度抽象性和小学生思维的具体形象性之间的矛盾，关键是提供怎样的情景和怎样利用这个情景。1.突出现实背景，为自主建构运算定律提供支点。学生对计算方法的选定，更多的是依赖于生活实践中积累的真实想法与最自然化的理解。新授中，我们出示例题：天气变冷了，李阿姨到批发市场去批发衣服，看中一件上衣56元，一件裤子44元，如果她想批8套这样的衣服，一共要多少元？你可以用哪些方法解答？ 面对这样的问题，有的学生可能会分别算出8件上衣和8条裤子各多少钱，再求一共多少钱，算式是568+448；还有的学生可能会先求出一套多少钱，再求一共多少钱，算式是（56+44）8。然后教师组织学生对两种解答方法进行分析比较，学生除了得出两种算法有相同的结果都可适用外，更重要的是还会惊喜地发现当上衣、裤子的单价正好可以凑成整十、整百时，把它们先合起来再乘显得简便，从而得到了一种优化的解题方案。我们在教学中，需要依托一些情景来帮助学生真正从模仿走向理解。2.注重意义感悟，为自主建构运算定律打下基础。44568原草坪扩建草坪在学生得出568+448=（56+44）8后，笔者没有停留于从计算层面上去发现并进一步举例验证，而是趁热打铁追问学生“如果不计算，你能用以前学过的知识来解释两种解法为什么相等吗”，接着以数形结合的思想引导学生根据乘法意义来理解两种解法相等之理。如可以呈现下面的情景：学校扩建草坪（如下图），求扩建后的草坪面积，在数形图帮助下明白8个56+8个44=8个100（56+44）的道理。在后继的练习中，我们有必要反复多样呈现这样的情景，然后再引导学生看着算式去想情景，不断地去思考算式的本意。3.逐步抽象概括，为自主建构运算定律搭建模型。在上个环节的基础上，笔者又安排了横向比较抽象、逐步符号抽象和新旧对比抽象等三次抽象过程。横向比较抽象（把上面例题中的“8套”改成“20套”，列成等式成立吗？为什么？）脱离了具体数的抽象，从中引导学生初步总结出乘法分配律；逐步符号抽象（将“20套”改成“c套”能列成等式吗？为什么？这里的c能表示哪些数？把“56元”改成“a元”，把“44元”改成“b元”，等式怎么变？）脱离了具体情境的抽象，从中引导学生进一步感悟乘法分配律的特征，并得到乘法分配律的字母表达式；新旧对比抽象（“a+b”在这里表示一套衣服的价钱，除此之外，还能表示哪些数量？沟通旧知“速度和”、“长宽和”等与新知间的联系。）脱离了具体数和具体情境的抽象，从中引导学生在沟通中完善关于运算定律的认知结构，并进一步加强对乘法分配律特征的认识。乘法分配律模型的建构在以上三次抽象中，水到渠成了。特别要强调的是，我们在引导学生发现运算定律、总结运算定律的时候，不能只重结果，忽略过程，要给学生留出自主探索的空间，让学生运用已有经验，在合作与交流中，把对乘法分配律的认识由感性逐步发展到理性，合理地建构知识。学生只有经过自己的观察、验证、经历，才会对乘法分配律有实实在在的理解。关于学生对乘法分配律的口头表述，不要提过高的要求，只要能抓住要领、基本讲清楚就可以了。三、后期延伸，提高简算意识。学习乘法分配律的最终落脚点可能不在内涵本质的理解，而在于运用乘法分配律进行简便运算，而简便计算教学的落脚点又在于形成自觉计算的意识和能力。1.理解为本，强化对比性运用乘法分配律进行简便计算要重在“悟”，不能“灌”。面对灵活多变的变式题，我们不能让学生去生搬硬套公式，需要寻找它的意义本源，寻找这些特例与运算定律之间的内在联系，然后组建新的认知结构。例如，简算32101与3299时，我们可以引导学生进行对比，32101表示101个32是多少，我们可以先算100个32是3200，再加上1个32，合起来就是3232；3299表示99个32是多少，我们可以先算100个32是3200，再减去1个32，得到3168。这样既进行了算式意义上的区分，又在内涵上架起了原式与乘法分配律间的内在联系。2.指导学法，拓展变式题学会了整数运算中的简算，但扩展到小数运算、分数运算中，又有学生感觉困难。在乘法分配律推广到小数、分数乘法中时，教师除了继续加强算理内涵的理解外，还要加强学法的指导。对于有的学生会在小数拆分时改变数的大小，笔者的要求是“拆分回头看”，拆分后与原数对照，能否还原。如，12.59.9=12.5（10-0.1），如果把9.9拆分成（9.9+1）就不对了。又如，99+就是99个加1个，在变式时可以运用倒推法把还原成1，并把1标在的上面，原式可以看成99+1的规范形式，并养成圈一圈乘法中的相同因数，便于看清分配的结构，正确列式。再如，7.20.5-1.22=7.22-1.22=（7.2-1.2）2=62=12，4.62.3+0.5423=4.62.3+5.42.3=（4.6+5.4）2.3=102.3=23。这里教师应教给学生运用小数乘法与除法之间的规律以及小数乘法中积的变化规律进行变形的方法，以达到乘法分配律的结构特点。3.优化算法，培养灵活性有相当一部分学生只是看到“简便计算”这一要求才会使用简算方法，没要求的就不用简算。针对这一现象，在进行练习设计时，我们应想方设法使学生认识到题中一旦涉及计算，不管有无简算要求，都要自觉激活简算的优化意识，选择合理灵活的方法，提高计算的效率和质量。如，（1）王大伯家果园里的苹果成熟了，卖给水果超市203千克苹果，每千克售价12元。一共能卖多少钱？（2）每位同学要用9本练习本，四（1）班有42人，四（2）班有39人，这两个班共需要多少本练习本？设计这样的练习，时刻向学生传达一种信息：简便计算不仅仅是“计算题”的专利，只要涉及计算的领域都要启动简算意识，特别是应用到解决实际的生活问题中。因为学习数学的最终目的就是要把它应用到生活中，并指导生活。4. 关注生成，体现价值性在教学中，我们要做有心人，有意识地引导学生明白优化思想和简算意识不只用在计算上，也可用在其他问题的解决上。如在学半圆的周长时，学生推导出了C半圆=r+2r，当要解决“已知半圆周长为20.56厘米，求该圆半径”这个问题时，学生有些束手无策，这时一学生语出惊人：“老师，我觉得半圆周长还可以这样计算：运用乘法分配律，提出公因数r，C半圆=(+2)r，这样解决这个问题就比较方便了。”这样一转化，此题就迎刃而解。另外，乘法分配律在形如2（x-7）=10-x的方程中也有渗透与运用。在问题解决过程中，通过乘法分配律这个媒介，生成新的、有价值的探究和思考，更应该值得我们去关注、肯定和鼓励。因为通过这样的思考，更能体现简算价值和简算意识培养的重要性。刘加霞教授曾说过：“把握数学的本质是一切教学法的根”。我们在看到问题表面的同时，更应追寻问题的根源，只有教师理解并把握了数学的本质，才能重新审视自己的课堂教学，从学生的角度考虑问题，从学生的问题出发，真正走进学生的内心世界，把握学生思维的脉络，把教学落到学生的困难处，帮助学生理解数学知识的本质，才能真正有效地落实课堂教学。 【参考文献】 1刘加霞，小学数学课堂的有效教学M，北京师范大学出版社，2008年6月。 2王金发，简便计算“心结”分析与矫正对策J，中小学数学（小学版），2011年第3期。 3赵双滨，设计中重引导，体验中促优化J，小学教学参考，2011年第10期。7