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本资料为共享资料 来自网络 如有相似概不负责3.3空间两点间的距离公式学习目标重点难点1通过特殊到一般的过程推导出空间两点间的距离公式2灵活运用空间两点间的距离公式解决有关问题.重点：空间两点间的距离公式的推导及其应用难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导疑点：如何建立空间直角坐标系解决立体几何问题.1长方体对角线长一般地，如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么对角线长d.2空间两点间的距离公式给出空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|.特别地，点A(x，y，z)到原点的距离公式为|OA|.预习交流1(1)空间两点A(1，2,1)，B(3,2，1)间的距离是_(2)点A(2，1,2)到原点的距离为_，到y轴的距离为_，到yOz平面的距离为_提示：(1)2(2)322预习交流2已知点P(x，y，z)，如果r为定值，那么x2y2z2r2表示什么图形？提示：由为点P到原点的距离，结合x2y2z2r2知点P到原点的距离为定值|r|，因此r0时，x2y2z2r2表示以原点为球心，|r|为半径的球面；r0时，x2y2z2r2表示原点1求空间两点间的距离设有长方体ABCDABCD，如图所示，长、宽、高分别为|AB|4 cm，|AD|3 cm，|AA|5 cm，分别以AB，AD，AA所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(1)求A，B，C，D，A，B，C，D的坐标；(2)求这个长方体的对角线AC的长度思路分析：首先写出各点的坐标，然后利用空间两点间的距离公式求AC的长度. 解：(1)由题意可知A(0,0,0),B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,3,0)，A(0,0,5)，B(4,0,5)，C(4,3,5)，D(0,3,5)(2)方法一：|AC|5.方法二：|AC|5.1已知A(x,2,3)，B(5,4,7)，且|AB|6，求x的值解：由两点间的距离公式可得|AB|6.即(x5)216，解得x1或x9.所以x的值为1或9.2如图，正方体OABCDABC的棱长为a，|AN|2|CN|，|BM|2|MC|.求MN的长解：以O为原点，分别以OA，OC，OD所在的直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图过N作NEOA于点E，则NEOC，ANE为等腰直角三角形又|AN|2|CN|，|EN|OC|，|OE|OA|，点N的坐标为.同理作MFBC于F，则MFxOy平面，且|MF|CC|，易得F.M.|MN|.空间中任意两点间的距离的计算，其关键在于明确这两点的坐标在此基础上，利用坐标间的关系代入求解在求解过程中，有时也会利用图形特征，结合平面几何的知识直接求解2求空间中点的坐标(1)在z轴上求一点，使它到点A(4,5,6)与到点B(5,0,10)的距离相等；(2)已知点P到原点O的距离为2，且它的x坐标，y坐标，z坐标都相等，求该点的坐标思路分析：(1)解答的关键是设出点的坐标为P(0,0，z)，利用|PB|PA|，求z；(2)利用|OP|2及xyz，求解点的坐标解：(1)由题意可知，设该点的坐标为P(0,0，z)，则|PA|，|PB|.又|PA|PB|，所以z6，所以所求点的坐标为(0,0,6)(2)由题意可设P点的坐标为(x，y，z)所以|OP|2.又xyz，所以2.所以xyz2或xyz2.所以该点的坐标为(2,2,2)或(2，2，2)(1)给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为；(2)已知A(1,2，1)，B(2,0,2)，在xOz平面内的点M到A点与到B点等距离，求点M的坐标满足的关系式解：(1)设点P的坐标是(x,0,0)，由题意知，|P0P|，即，整理得(x4)225，解得x9或x1.所以，P点的坐标为(9,0,0)或(1,0,0)(2)设M的坐标为(x,0，z)，则有，得2x6z20，即x3z10.已知点在坐标轴上(或者在坐标平面内)，又满足某些条件，求该点的坐标时，一般根据点所在的位置，先设出点的坐标，再由已知条件列出方程求解在设点的坐标时，一般根据点的特征设参数，这样不但可以减少参数，也能简化计算3空间两点间距离公式的应用已知A(1,1,2)，B(4，5，6)，C(7,6,8)，试判断ABC的形状，并求该三角形的面积思路分析：先利用空间中两点的距离公式求三边的长，再比较各边长的关系，从而判断三角形的形状，然后求出面积解：由两点间的距离公式得|AB|5，同理|AC|5，|BC|，所以ABC是等腰三角形，BC边中点是D，于是BC边上的高|AD|.于是ABC的面积S.已知三角形的三顶点A(1，2，3)，B(1，1，1)，C(0,0，5)，试证明它是直角三角形证明：因为|AB|3，|BC|3，|AC|3，所以|AB|2|AC|29918|BC|2，所以ABC是直角三角形已知空间中三点的坐标，判断三角形的形状，可考虑利用空间中两点间的距离公式求出三边，从三边的关系上考虑解决1若已知A(1,1,1)，B(3，3，3)，则|AB|为()A4 B2 C4 D3解析：|AB|4.答案：A2坐标原点到下列各点的距离最小的是()AE(1,1,1) BF(1,2,2)CG(2，3,5) DH(3,0,4)解析：|OE|，|OF|3，|OG|，|OH|5.答案：A3点B是点A(1,2,3)在yOz平面内的投影，则|AB|为()A. B. C1 D3解析：B(0,2,3)，|AB|1.答案：C4在z轴上与点A(4,1,7)和点B(3,5，2)等距离的点C的坐标为_解析：由题意设C(0,0，z)，由题意知，解得z，故点C的坐标为.答案：5已知三点A，B，C的坐标分别是A(3，2，1)，B(1，3，2)，C(5，4,5)，求证：A，B，C三点共线证明：由点A，B，C的坐标，得：|AB|，|AC|2，|BC|，所以|AC|AB|BC|，所以A，B，C三点共线
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