大学定积分习题精讲

第6章 定 积 分6. 1 定积分的概念与性质1概念 定积分表示一个和式的极限其中：，；几何意义：表示，所围曲边梯形面积的代数和可积的必要条件：在区间上有界可积的充分条件：（可积函数类）（1）若在上连续，则存在；（2）若在上有界，且只有有限个第一类间断点，则必存在；（3）若在上单调、有界，则必存在。2. 性质（1） ； （2） ； （3） ； （4） （5） （6）若， 则推论1：若， 则推论2： （7）若， 则（8）若在上连续，在上不变号，存在一点 特别地，若，则 通常称为在上平均值（9）若在上连续，则其原函数可导，且（10）若在上连续，且，则6. 2 定积分的计算1. 换元法 2. 分部法 ，或3. 常用公式（1）（2），其中，为连续偶函数（3），其中（4）（5）（6） （7）（8）（9）（10）6. 3 广义积分1. 无限区间的积分（无穷积分），若极限存在，则原积分收敛；，若极限存在，则原积分收敛；，必须右边两积分都收敛，原积分才收敛；，具有相同敛散性；，即收敛积分和仍收敛2. 无界函数的积分（瑕积分）（），若极限存在，则原积分收敛；（），若极限存在，则原积分收敛；（），两积分都收敛，原积分才收敛；，具有相同敛散性；，即收敛积分和仍收敛3函数 性质：； ；（为自然数）； 6. 4 定积分的应用1直角坐标下平面图形的面积（1）由，及轴所围的平面图形的面积（2）由，及轴所围的平面图形的面积（3）由，及轴所围的平面图形的面积（4）由参数方程表示的曲线所围面积可作换元处理2极坐标下平面图形的面积一般若平面图形的边界是圆或圆弧，可考虑用极坐标求解。（1）由，所围的平面图形的面积（2）由闭合曲线所围的平面图形，若极点在图形内部，则面积3平行截面面积已知的立体体积已知平行截面面积为，或，则其体积，或 （1）一曲线绕坐标轴一周的旋转体体积，（2）两曲线绕坐标轴的一周的旋转体体积，（3）曲边梯形面积绕轴和一周的体积分别为，曲边梯形面积绕轴和一周的体积分别为，4定积分在经济分析中的应用（1）由边际函数求原函数原经济函数为其边际函数的不定积分；原经济函数的增量为其边际函数的定积分，即，（2）由边际函数求最优问题最低成本：， 最大收益：， 最大利润：， （3）资本现值和投资问题资本现值：纯收入贴现值：其中，收入率，按连续复利的折算因子，投资时间，投资额6. 5 典型例题解析1变限积分的求导与应用解题思路 （1）利用公式（2）若被积函数含积分限变量，需用变量代换化为变限积分的一般形式求解；（3）变限积分的变量也可以是函数，必须用隐函数求导法求解；（4）变限积分是由积分限位置变量决定的函数，它与积分变量无关。利用变限积分的求导同样可以分析函数的特性。例1 求下列函数的导数（1）解法1 令，当时，；当时，. 解法2 解法3 其中，为的原函数，在积分运算中作为参变量。注意：一般被积函数是抽象函数，可经变量代换后求导，具体函数可直接求导，例如（3）解 令 ，当时，；当时，（5），求解 （6）设，其中具有二阶导数，且，求解 ， 例2 设，求（1）将的极大值用表示出来；（2）将（1）的看作的函数，求为极小值时的值。解（1），令，得当时，极大值为当时，极大值为（2）当时，令，得，故时，为极小值；当时，单调下降，无极值。2利用定积分定义求和式的极限解题思路 若将积分区间等分，取，则令，则 例3 求下列极限（1） 解 其中，将等分，（2）解法1 ，又 ；故 解法2 由于，则（3）解法1 由于 且 ； 故由夹逼定理知 原式解法2 由于，则（4），其中连续，并求解 原式3. 利用定积分的性质求极限解题思路 （1）若极限含定积分，可利用定积分的中值定理求解；或利用定积分的估值性质建立不等式，用夹逼定理求解；（2）若极限含变限积分，可利用罗必达法、夹逼定理和周期函数的定积分性质求解。例4 求下列极限（1）解法1 ， 解法2 由定积分的第一中值定理有，（2）解 由于，则例5 设在上连续，且，求解法1 由于在上连续，必有，则 解法2 由定积分的第一中值定理有，例6 确定常数的值，使 解 由于 ， 例7 设，求解 4利用定积分定义求定积分解题思路 （1）若将区间等分，取，则；（2）若取，则定积分的值与小区间端点的函数值无关；（3）利用定积分的几何意义求定积分。例9 用定义求解 将区间等分，分点坐标为()，取，则例10 设在上连续，用定义证明： 改变连续函数在有限个点处的函数值，既不影响其可积性，也不影响其积分值； 证 设，取分点坐标为则，有，于是5利用换元法求定积分解题思路 （1）计算定积分时，必须考虑积分变元的变化范围和应用牛莱公式的条件。（2）应用第一类换元法（凑微分法）直接求解；（3）若被积函数含，分别令，；（4）作变量代换时须相应改变积分限。一般地，积分区间为，令；积分区间为，令。（5）被积函数为，或型积分变量代换条件：积分上下限不变或换位，变换前后形式为 ；或 例11 下列积分计算是否正确，为什么？（1）解 不正确，必须考虑积分变元的变化范围 （2）解 不正确，时，分子、分母同为零，不是恒等变形（3）解 不正确，时，在上无界（4）解 不正确，时，在上不连续，不可导例12 求下列定积分（1）解 （2）解 令，；，（5）解法1 令，；，解法2 利用公式求解（6）解 令，；，例13 求下列定积分（1）解法1 令，；， 解法2 利用公式 （2）解 （3）解 令，；，（4）解 由公式 6利用分部法求定积分解题思路 一般计算方法与不定积分分部法类似。（1）若被积函数含，将，取作，其余部分取作；（2）若被积函数含变限积分，将变限积分取作，其余部分取作；或将原积分化为二重积分，再改变积分次序求解。例14 求下列定积分（1）设在上二阶连续可微，求解 （2）设，求解法1 解法2 （3）设在上连续，且，求解法1 由于，则解法2 7利用公式求定积分解题思路 利用恒等变形和变量替换法将积分或部分积分化为已知公式标准型求解例16 求下列定积分（1）解 原式其中，（2）解 令，则 其中， （3）解法1 解法2 由于，即，则8利用积分区间的对称性计算定积分解题思路 （1）若被积函数是奇、偶函数，用奇偶函数的定积分性质求解（2）若被积函数不是是奇、偶函数作负代换求解；（3）若，为连续偶函数，则，注意，可直接验证，则， 例17 已知 ，试求值。解 令，则由于为奇函数，故取，可使积分为，即例18 设在上连续，为偶函数，且，为常数，证明：（1）；（2）求解证（1） 令，又，故有 解（2） 因为，所以，当时，即。由（1）的结论有例19 求下列定积分（3）解 由于为奇函数，故 （4） 解 ，即，于是9分段函数及含绝对值号函数的定积分解题思路：（1）以函数分段点将积分区间分为相应子区间，利用定积分的对区域可加性求解；（2）当被积函数是给定函数的复合函数时，用变量代换化为给定函数的形式求解；（3）令绝对值表达式为零，去掉绝对值符号，再用分段函数积分法求解。例20 求下列定积分（1），其中解 设 ，当时，；当时，（3）解 令，则当时，；当时，；当时，故 10含定积分、变限积分方程的求解解题思路 （1）若方程含定积分，令定积分为，方程两边再取相同积分限的定积分求解；（2）若方程含变限积分，方程两边求导化为微分方程求解。例21 求解下列各题（1）设是连续函数，且，求解 设，则，两边取到 的定积分 （2）设，求，解 两边求导 当时，得 （3）已知是连续函数，且满足，求使达到极大与极小值时的取值。解 令，则 ， ， （4）设函数在内可导，其反函数为，且满足方程，求解 当时，对等式求导得，又，则 当时，由可知，得，故（5）设函数，满足，且，求解 ，得微分方程 11利用定积分定义，性质和几何意义有关命题的证明技巧解题思路 （1）利用已知不等式将函数改写为和式的极限，再由定积分的定义求证；（2）当函数单减时，曲边梯形的面积个窄条矩形面积之和；例22 设为正值连续函数，求证证 利用已知不等式 ； 例24 证明下列各题（1）设在连续，且对任意有，（常数）证明：为周期函数。证 （2）设在连续，且对任意正数积分与无关，求证：，为常数。证 因为与无关，所以 取， （3）设，其中在上连续，单调递增，且，证明：在上连续且单调递增。证 当时，显然连续，又故在处连续，从而在上连续，由于单调递增，则，故单调递增12应用介质定理、微分和积分中值定理的命题解题思路 （1）若结论不含，则将结论改写为的形式，左边设为辅助函数，用介质定理、微分和积分中值定理求解；（2）若结论含，将结论左边改写为某微分中值定理的标准形式（右边含），再由此作辅助函数（有时需将所含定积分化为积分上限的函数），用微分和积分中值定理求解；（3）若结论为含的微分方程，可由观察法或解方程求出辅助函数，用微分和积分中值定理求解。例27 设在上连续，且，证明方程，在内有且仅有一个实根。证 存在性：设，由题设知在上连续，且； 由零点定理必有 ，唯一性：，故在内单调增加，零点唯一例28 设，在上连续，证明至少，使得（1）； （2），证（1） 由于设，显然在上连续，在内可导，且，由罗尔定理至少，使得，即（2） 设，显然，在上满足柯西条件，则，例29 设在上连续，在内可导，且满足，（），证明：至少存在一点，使得证 由于 ，设又在上连续，在内可导，且由罗尔定理有，使得 例30 设在上连续，求证：在内至少存在两点，使得证法1 令，则，且，又由积分中值定理有 ，于是，对在，上分别应用罗尔定理得，；，证法2 令，则，且若在内无零点，则在内不变号，矛盾，故必有，由罗尔定理有，使得 13定积分不等式的证明常用定理：定积分的比较定理，估值定理，函数单调性判别法，微分与积分中值定理，泰勒公式；常用不等式：，柯西不等式：常用等式：， 解题思路 （1）利用换元法、分部法或周期函数的定积分性质直接求证；（2）若仅知被积函数连续：作辅助函数，将结论所含定积分化为变限积分，移项使右边为零，左边即为辅助函数，再用函数单调性或求证。（3）若已知被积函数可导，且至少有一端点：将函数化为变限积分，即，或求证； （4）若已知被积函数二阶可导：将被积函数按泰勒公式展开并缩放，利用定积分比较定理求证。例32 设，（1）当为正整数，且时，证明：；（2）求证（1），； ，（2），由夹逼准则 例33 设在上连续且单调递减，证明：当时，证法1 由定积分对区域的可加性和中值定理有 证法2 令，则， ，故例35设,在上连续，且满足关系式，证明：.证 设，则， 又， 故 或，有 例36 设在上连续，在内可导，且，证明：证法1 证法2 由拉格朗日定理有， ， 同上（略）例37 设在上有连续二阶导数，且，证明：证 在内必有最大值。设，由拉氏定理有 从而 其中最后一步运用了公式，例38 证明下列不等式（1）设在上有连续导数，且，证明：证 ，（2）证明：，证 令，由柯西不等式 （3）设在上连续，且，证明证 同理有 例39 证明下列各题（1）设在上连续且，证明：证 将在展开为一阶泰勒公式，在与之间其中，（2）若，证明：证法1 将在展开为一阶泰勒公式，并注意到 左边得证其中，将，分别在处展开为一阶泰勒公式，并注意到，有 右边得证证法2 由左边不等式，设 故单调不减， 左边得证由右边不等式，设 故单调不减， 右边得证综上所述 14广义积分的计算解题思路 分清积分的类型。一般将无穷积分，瑕积分化为常义积分，再取极限求解；混合型广义积分则须拆分积分区间，按无穷积分和瑕积分分别求解。例40 计算下列广义积分（1）解 （2）解 当时， 当时，（3）解 ，由定积分周期函数的性质有例41 计算下列广义积分（已知）（1）解 令，则其中，（2）解 例43 设，求值解 ，例46 求函数的最大值与最小值。解 由，只需求在的最大值与最小值，令 （唯一极值）且；，故为极大值即最大值又，所以；例47 证明积分与无关，并求该积分的值令， 例48 设函数在有界且导数连续，证明证 要证，即证，设，则 16利用函数和函数计算广义积分解题思路 利用换元法或分部法将积分化为函数或函数，用函数或函数的性质求解例49 已知，计算，解 例50 利用函数和函数计算下列积分（）（1）解 令， （2） 解 令，17定积分在几何方面的应用解题思路 （1）将无限分割，小曲边梯形宽为，高为，则面积微元，再将这无穷多个小曲边梯形面积微元“加”起来得曲边梯形的面积；（2）将无限分割，小区间宽为，截面积为，则体积微元，再将这无穷多个圆形薄片体积微元“加”起来得曲边梯形的面积绕轴一周的体积；（3）将无限分割，小曲边扇形圆心角为，半径为，则面积微元，再将这无穷多个小曲边扇形面积微元“加”起来，得曲边扇形的面积。例51 设曲线，围成图形的面积等于由，围成图形的面积，记，求及解 例 51 例 52 例52 求由，所围平面图形绕直线旋转一周所得旋转体体积。解 由，及轴所围图形绕轴一周的旋转体体积公式为，则所求体积为例55 已知抛物线，（，）在第一象限内与直线相切，且抛物线与轴所围图形面积为，问，为何值时，达到最大值，并求最大值。解 令，得，例 55两曲线相切 （有唯一解），则 令 ，得（唯一驻点），当时，；当时，故例58 已知，求与其渐近线及轴所围区域的面积。解 例 59例59 设在上满足条件：，与平行于轴的线段（为轴交点，为曲线交点）及轴所围图形面积，求解 下凹,，任取点，则； 由，得，故例62 设，求与轴所围封闭图形的面积解 由于为奇函数，可知为偶函数，则 ，故与轴的交点为，。当时，；当时，。或 例 63 (1) 例 63 (2) 例63 利用极坐标计算下列图形的面积（1）求双纽线所围图形的面积解 原式 （2）求由双曲线及直线，所围图形的面积解 原式 例64 求星形线，绕轴一周旋转而成的立体体积解 原式参数方程，例 6418定积分在经济分析中的应用例66 某商品的边际成本函数（万元/百台），边际收益函数（万元/百台），求（1）若固定成本（万元），求总成本函数与总利润函数；（2）当产量为多少时，利润最大？（3）求最大利润时的总成本与总收益。解（1）（2） （唯一驻点）（3）（万元）（万元）例67 由于折旧等因素，某设备转售价格是时间（周）的减函数（元），其中是设备的最初价格，在任何时间设备启用就能产生的利润。问设备使用多长时间后转售出去能使利润最大？解 设设备使用了周后出售，则利润函数为； 令，得唯一驻点，故例68 假设当鱼塘中有公斤鱼时，每公斤鱼的捕捞成本是元，已知鱼塘中现有鱼公斤，问从鱼塘中捕捞公斤鱼需花费多少成本？解 设已经捕捞了公斤鱼，再捕捞公斤鱼的成本为（元）例69 对某企业一笔投资，经测算该企业在年中可以按每年元的均匀收入率获得收入，若年利率为，按连续复利计，求（1）该投资的纯收入贴现值；（2）收回投资的时间？解（1）总收入现值为 纯收入现值为 （2）收回投资的时间