序列的收敛性与子序列的收敛性

序列的收敛性与子序列的收敛性摘要：本文研究序列的收敛性与子序列的收敛性之间的关系情况，分析和推导 Bolzano-Welerstrass 定理和一些结论，得出序歹U和子序歹U的收敛的几种判定方 法并应用丁控制收敛定理的一个重要推广，这对丁我们进一步了解序列与子序列 之间的关系有着一定的意义。关键词：序列；子序列；收敛；极限1引言在数学分析里，对丁序列的研究主要是极限问题，但没有较系统地讨论序列 的收敛性与子序列的收敛性的关系；本文主要分析序列与子序列之间的关系，从 中得出一些定理和结论，这对丁我们对序列收敛性判定和研究序列与子序列问的 关系具有很大的帮助。2序列和子序列的定义及其相互关系2.1序列和子序列的定义定义：若函数f的定义域为整个全体正整数集合 N+,则称f:N+-R 或 f(nnWN +为序列。因为正整数集合N+的元素可按照由大到小的顺序排列，故序列 f (n)也可以 写为1 , a 2 , a3, a4, n ,a ,或者简单地记为G，其中an称为该序列的通项。序列可分为有界序列，无界序歹0,单调序歹0,常序歹0或周期序歹0等。从序歹0an中将其项抽出无穷多项来，按照它们在原来序歹0中的顺序排成一歹U：a ， a，a， 乂得一个新|12k的序列妇贝,称为原来序列的子序歹0。易见妇页中的第k项是中的第项，所以总有贝k ,事实上taj本身 也是4的一个子序歹0,且是一个最大的子序歹0 ( nk=k时)。2.2序列与子序列之间的若干关系定理1 (Bolzano-Welerstrass ):若序列 以有界，则必存在收敛子序列 ank ,若序歹0 aQ无界，则必存在子序歹U ank,使ank t妙(或ank t e).证明：(1)不妨设中有无限多个不同的项，否则结论显然成立.用有限 覆盖定理(见注释)来证明结论.设序列a为一有界序列，则存在m,M ,使m _ an _ Mn =1,2,下面先证明在Im, M 中存在一点c,使该点任一邻域内有an中的无穷多 项.用反证法，若此断言不成立，则对任意aImM都存在一邻域 (a-d,a+5a),舞。0在此邻域内它有a中的有限项， A =(a -8a,a), a im,M 构成Im, M 1的一开区间覆盖.由有限覆盖定理，存在有限子覆盖,即存在a( j =1,2，k),使kLm,M 1ajj - ca*,ajj 、a*jTjjk依反证假设，U (a; -气,a* + q* )中至多含有an的有限项与 j 1jjm壬a M 伫，2，矛盾.据以上证明，存在an在(c-1,c+1 ), 乂在 c-1, c + ； j中，存在一项a%使 n2 n1 ,否则与c的任何邻域中有an的无穷项矛盾，同样我们可以在 c -1, c +1 |中找到一项an，使店n2在 c -1, c + 1 |中找到一项an使333. k kk贝贝4，最终得到一个序歹0 0 , 3 N1 , n摭n j使当n AN1时候，有zan b 0 , 3 N 0 ,使当nkkN2时，就有zank a一2乂取 N =maxN1,N2，当 k a N 时，就有 nk aN2 , 丁是有：z由b a = b annkz z0k _a N当时就有|、-a，因为冷是xj的子序列，故有nk k ,所以当k a N时，nv N ,从而有：Xnk a按照序歹0极限定义知Pm/n =a,即xnJ收敛且与、的极限相同.反之若序列&的任一子序列都收敛，且有相同的极限a,因为M本身为 自己的一个子序列，所以有nmxn =a.定理4：序歹U an收敛的充要条件是奇子序歹U a2k与偶子序歹0 a2k都收 敛，且它们的极限相等.证明：根据定理3,序歹U an的奇子序歹0 a2k与偶子序歹0 a2k,且它们的极限 相等.设lim a2k a = lim a2k =a .根据序歹0极限的定义，即kk_仁k1 w n, V2k T :灯，有 a2k一a 0jLk2 w N,寸2k Ak2,有 a2k a &.=N =maxk,k2. 丁 是，VnN,有an -a 0时，有垢0 - a住&0当 N =1 时,n 1 ,使1 a| 芝 %当N = n1时，有n n2，使xn2 - a芝雨当N =nj时，有命 命，使xnk a N&0由此可以得到七的一个子序列xn ，它的每一项xn都满足xn - a芝&0, nknkk故血不收敛丁 a ,且nk 中不存在收敛丁 a的子序列,这与已知矛盾，因此 lim xn =a成立。n_4序列与子序列定理的应用4.1定理3的应用利用定理3,可以用来判定一个序列不收敛的情况.即若对一个序列a，可以找到两个不可能有相同极限的子序列 七和a则有a必发散。nknk例4证明sin n发散。证明：因下述两区问长度均大丁 1,故必存在自然数nk和nk满足： 在 |2kn 十亶,23 +冬，nk 亡( 2k+1 卬，(2k+2 卬IL 44-p ，、. 2.，显然 n n2，及 n n2，且 sinnkJ , sinnk0 ，因此，sin nJ 和2slnn；是两个不可能有相同极限的子序列，这证明了slnn发散.4.2定理5的应用应用定理5,可以判断一个序列收敛。例5 (控制收敛定理的推广)设X为一随机变量，其分布函数为F(X), 乂设随机变量序列fn(xj满足fn (x j g(x ) , n 占1 , jg(x )dF(x ) 8 且 fn( x ) J f (x ),则有 Rl l mfn (x JdF (x)=J f (x )dF(x )成立.n ：RR引理1：设(fn )及f均为实值可测函数，且fn-乙f , (nT*)则存在子序 列(fn )，使魅一竺T f , (nT叫).引理2(控制收敛定理):设X为一随机变量，其分布函数为F(x),若随机 变量序列fn(x)满足以下成立：fn(x)%(x), nl, E(x)dF(x)的任一子序列 .RVfn(x)dF(x)i均收敛丁 Jf(x)dF(x),故由定理 5 知：nim . fn X dF X = f x dF x ._ RR证毕.参考文献：1 李成章，黄玉民.数学分析（上册）M.北京：科学教育出版社，2001.25.2 欧阳光中，姚允龙.数学分析（上册）M.上海：复旦大学出版社，1991.45.3 龚怀云，刘跃武，陈红斌，向淑晃.数学分析（上册），第一版M.西安交通大学出版社，2000.24.4 严加安.测度论，第二版M.北京：科学出版社，2000.34.5 华东师范大学数学系，数学分析（上册），第三版M.北京：高等教育出版社，2001.79.7