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V.定态微扰论1. 证明:非简并定态微扰中,基态的能量二级修正永为负。答:已知,微扰论中,对能量为占;的牌态,能量二级修正I . 2_ V1 I丑瞅5 f f如范态为基态,占;最低,在上式的取和中,状打的任一项均有反?一敦,故&=永为负。2. 证明:定态微扰论中,能量的一级近似是总哈密顿算符H = HH对零级波因数的平均值.8答:设满足口外*外的正交归一化零级波函数以n 7表出。已知微”。则H = (n H以=(2晃园+ S丑小=虎+底/咨”正是能量一级近似.3. 能级简并没有解除的解是否必定是近似解?反之,近似解是否必定是能级简并的?答:能级简并与波方程的近似解这两个概念的意义是不同的,没有什么直接的关联.我们知道,能级简并主要是由于 体系哈密顿量具有某种对称性.只要保持这种对称以那么即使是精确解,其能级也是简并的.如氢原子.如果对称性受到彻底 破坏或部分破坏,那么一般说来,简并应当消除或部分消除.应用微扰法求解定态问题时,得到的解一般均是近似解非简并 态微扰的近似解,能级当然是非简并的简并态微扰法中由于微扰的作用.不管能级简并是否能解除,或解除多少,得到的解 一般也是近似解.口籽次12 2丑。二一厂孙+日洗部X4. 一维谐振子,其能量算符为 欢 2(1)丑 =4幽履己同冬1(2)试求各能级的微扰修正(三级近似),并和精确解比较。解:在口的本征函数、本征值记为欢评。如众所周知W=卸+ = 0,1,2, - - I 2)(3)在丑o表象(以必为基矢)中,的矩阵元中不等于0的类型为_+1 h 叶、+Lx = E+1 =-I 2他矶(4)因此,不等于0的微扰矩阵元有下列类型:1 丸 2 ST1丸(1允 fQ)/ 工工知二 w +=逾rar -、故 a.- ijk! -、G!-( a*孔孔 Hs =只心#=3用以=丁 J3 + D3 + 2)膈(6)按照非简并态能级三级微扰修正公式,能级的各级微扰修正为:理=H = k + 膈flIULI-!-(八 3(7)本题显然可以精确求解,因为玷成 1H =+2m dx 2丑可以写成(10)和式(1)比较,差别在于ITS,因此丑的本征值为= 压+ hs)= 压+ /1+丁再部M I 2; I 2;(11)切1J1 + /因为 ,将作二项式展开,即得:旦=1V ?3 + 1+-+膈2 8 16 I(12)和微扰论结果完全一致。5.氢原子处于基态.沿z方向加一个均匀弱电场E,视电场为微扰,求电场作用后的基态波函数(一级近似).能级(二级近似), 平均电矩和电极化系数.(不考虑自旋)解:加电场前,基态波函数为心曷(波尔半径)(1)满足能量方程M舟=*)(2)其中mW2%视外电场为微扰,微扰作势为由于妙为偶宇称,丑为奇宇称,所以一级能量修正为0,波函数的一级微扰修正满足方程国-砂,摘)二情-们/七-渔*/)()除了一个常系数外,喝/即球谐函数Ko,考虑到冏口和都是球对称的,易知必可表示成a%代入(5)式并、计及V钢)=门小睡印舟+舟寸何)8澎+V*。)其中1 /729V2/(r)cos= cos&/,lJ- Ff1FVcosN岬=cos= - cosLdr dr 气 drf (r由式(5)可得满足的方程r _x|f i:v)-mu为边界条件为一u处,用级数解法或试探法,不难求出式(7)的解为(8)玲=妒丑|网(10)按照微扰论公式,能级的二级修正为17将式(3),(9)代入上式,即得萨)=sE 俨)|z2/ (r)/r| 护)利用#的具体表示式(1),容易算出根据*和伊的对称性,易得玲=_第说因此 4(12)此即外电场引起的基态能级移动,它和E成正比电偶极矩算符为技=一况,其平均值为(D1)= s 仞 r = -e 例。)+ * r I *。)+ *1)原子的极化系数口由下式确定 W =或-oE2(15)(14)电子科技大学光电信息学院Copyright 2005
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