一阶惯性环节的另一种离散形式

一阶惯性环节的传递函数为：c、_Y(s)_1G(-) = X(-) = tTTT其中X(s、和Y(s、分别为一阶惯性环节的输入和输出，T为时间常数。借助拉普拉斯逆变换和 离散化方法，可以写出其离散条件下的时域迭代式为：Tdty = y + Xn+1 T + dt n T + dt 九+1其中dt为离散系统的采样周期，筍和儿分别为一阶惯性环节的在第个采样周期的输入和输 出。上式能很方便的应用于绝大部分离散控制系统中，但是在某些特殊场合还不够方便。考虑一阶惯性环节的阶跃响应，即设：kX(s)=-s其中k为阶跃幅值。带入G(-)并进行拉普拉斯逆变换，得:T y(t) + y(t) = 0这是一个二阶线性齐次微分方程，可直接写出其通解为：y(t) = Cl + C2-e(亦即x(0 ) = %),终值为y(8)= X1其中C、C2均为系数。再设阶跃响应初值为y(0) = %0 (亦即x(o+) = x)，贝y：得到上述假设对应的特解：y(t)=叫 + (% 叫) e T上述方程描述了 0时刻一阶惯性环节输入由心阶跃为%时，输出随时间的变化规律。 假设x(t)在t = t0时刻又发生阶跃变化，由x(r0 )=叫变成了x(r0+) = %2,如后图所示。 贝相应的，后续曲线方程变为：y/(t) = C + C，2 e = %2 + (叫 2) e T初值由y0变成了 W0。由于输出曲线必然是连续的，则有： y%) = y(r0)得：叫=% + % 叫)(1e亍)或：C，1 = X2匕2=。2 g叫)由以上就是当x(t)连续变化时，一阶惯性环节输出方程系数的迭代关系式。当x(t)未变化时，即： 贝：(Cf = c 1 1= C2这表明，实际应用时无需考虑X(t)是否有变化，只需逐次迭代计算C和c2即可。另外，也可将曲线y(t)看作t0时刻开始的一段初值为y(r0)，终值为%2的全新阶跃响应曲 线，则曲线方程可写为：y(t) = %2 +(y(t0) - x2) e-芍0此方程形式上与前述方程不同，但整理后会发现完全相同。特别的，当0时刻阶跃响应趋稳，y(t0)趋近于叫时，可将曲线y(t)看作t0时刻开始的一 段初值为%，终值为%2的全新阶跃响应曲线，则曲线方程变为：y(t) =x2 + (叫-x2) e-牛最后，可将上述方程和迭代式写成离散形式：Ci(n)=%)=0，1-)C2(0) = 0C2(n) = C2(n-1) - (%(n) - %(n-1) =2 )ndty(n) = C(n) + C2(n) e- T 仇二。,1)上述离散形式可用于指定了一阶惯性环节的初值和终值的场合。但是对于单片机等应用 对象，指数计算可能会是一个问题。