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第 十二 章 微分方程 内容概要 名称 主要内容 基本概念 微 分方程，方程的阶，方程的解； 通解；特 解，初始条件 常见微分方 程及其解法 一阶微分方程 可分离变量型 齐次微分方程 可化为齐次 的 微分方程 一阶线性微分方程 贝努利方程 全微分方程 高阶微分方程 可降阶的高阶方程 高阶线性 微分方程 方程解的结 构 理论 齐次线性微分方程解法 非齐次线性微分方程解法 欧拉方程 其他 刘维尔公式，常数变异法，微分方程组求解，微分方程的应用 12.1 微分方程的基本概念 内容 概要 名称 定义 微 分方程 表示未知函数， 未知函数的导数或 微分 与自变量 的 关系的 方程 。未知函数是一元函数 的微分方程称为 常微分方程；未知函数是多元函数的 微分方程称为 偏微分方程 。 微分 方程的阶 微 分 方 程 中 出 现 的 未 知 函 数 最 高 阶 导 数 的 阶 数 。 n 阶 微 分 方 程 形 如 0),( )( nyyyxF ，其中 )1(, nyyyx 可以不出现， )(ny 必须出现 。 微分 方程的解 代入微分方 程使微分 方程成为恒等式的函数 。确切的说，设函数 )(xy 在 区间 I 上有 n 阶连续导数，如果在区间 I 上， 0)(,),(),(,( )( xxxxF n ， 则称 函数 )(xy 是微分方程 0),( )( nyyyxF 的解。 通解 n 阶微分方程 的 含有 n 个相互独立的 任意常数 的解 。 特 解 不含任意常数的方程的解为特解 。 初始条件 确定微分方程 通 解中任意常数的条件 。 所有解 通解以及不能包含在通解中的解 。 积分曲线 微分方程解的图形 。 课后习题全解 1 指出下列微分方程的阶数： 知识点： 微分方程阶的定义 （ 1） 034)( 2 xyyyyx ； 解 ： 出现的未知函数 y 的最高阶导数的阶数为 1， 方程的阶数为 1。 注 ： 通常会有同学误解成未知函数 y 的幂或 y 的导数的幂。 例：（错解）方程的阶数为 2。 ( 2)(y ) （ 2） 02 2 yxyyx ； 解 ： 出现的未知函数 y 的最高阶导数的阶数为 2， 方程的阶数为 2。 （ 3） 025 xyyyx ； 解 ： 出现的未知函数 y 的最高阶导数的阶数为 3， 方程的阶数为 3。 （ 4） 0)()67( dyyxdxyx 。 思路： 先化成形如 0),( )( nyyyxF 的形式，可根据题意选 x 或 y 作为因变量 。 解 ： 化简得 yx xydxdy 76 ， 出现的未知函数 y 的最高阶导数的阶数为 1， 方程的阶数为 1。 2 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解 ： 知识点： 微分方程的解的定义 。 思路： 将所给函数及其相应阶导数代入方程验证 方程 是否成立。 （ 1） yyx 2 ， 25xy ； 解 ： 将 xy 10 ， 25xy 代入原方程 得 左边 yxxx 25210 2右边， 所以 25xy 是所给微分方程的解 。 （ 2） xCxCyyy s i nc o s,0 212 ； 解 ： xCxCy coss i n 21 ， 将 xCxCy s i nc o s 2212 ， xCxCy s incos 21 ， 代入原方程得 ： 左边 yy 2 )s i nc o s(s i nc o s 2122212 xCxCxCxC 右边 ， 所以 xCxCy s inc o s 21 是所给微分方程的解 。 （ 3） 2 212 ,022 xCxCyx yyxy ； 解 ： 将 221 xCxCy ， xCCy 21 2 ， 22Cy ， 代入原方程得 ： 左边 = 0)(242222 2 22121 22 x xCxCx xCCCx yyxy 右边 所以 221 xCxCy 是所给微分方程的解 。 （ 4） 0)( 2121 yyy xx eCeCy 21 21 ； 解 ： 将 xx eCeCy 21 21 ， xx eCeCy 21 2211 ， xx eCeCy 21 222211 ， 代入原方程得 ： 左边 yyy 2121 )( )()( 212121 2121221121222211 xxxxxx eCeCeCeCeCeC 0 右边 ， 所以 xx eCeCy 21 21 是所给微分方程的解 。 3. 验证由方程 xyy ln 所确定的函数为微分方程 02)( 2 yyyyxyxxy 的解； 解 ： 将 xyy ln 的两边对 x 求导得 ： y yxy 11 ， 即 xxyyy 。 再次求导得 ： )(1 )()( )1()( 22 2 2 yyyyyxxxyxxy yyyxxxy yxyyxxyyy 。 注意到由 y yxy 11 ， 可得 1 yxy yx ， 所以 )2(1)1(1 2 yyyyx xxyyyyyyxxxyy ， 从而 02)( 2 yyyyxyxxy ， 即由 xyy ln 所确定的函数是所给微分方程的解 。 注 ： 在验证等式的过程要依据题目采用灵活方法 ,不必将函数及各项导数依次代入验证 。 4. CCxy 1 （ C 是任意常数）是方程 01 yyyx 的通解，求满足初始条件 20 xy 的 特解。 解 ： 将初始条件 20 xy ， 代入通解得 C12 ，从而 21C ， 所以所求特解为 221 xy 。 5. xexCCy )( 21 （ 21,CC 为任意常数）是方程 02 yyy 的通解，求满足初始条件 2,4 00 xx yy 的特解。 解 ： 将 40xy ， 代入 通解 得 41C ， 所以 xx exCeCy )4( 22 ， 将 20 xy ， 代入 上式 得 42 2 C ，所以 22C ， 所 以所 求特解为 xexy )24( 。 6.设函数 )()1( 2 xuxy 是方程 3)1(1 2 xyxy 的通解 ， 求 )(xu 。 解 ： 由题意得 )()1(2)()1( 2 xuxxuxy ， 即 )()1(1 xuxxy ， 代入所给微分方程得 )()1(2)()1( 2 xuxxux )()1( xux = 3)1( x ， 即 xxu 1)( ， 积分得 ： dxxxu )1()( = Cxx 22 (C 为任意常数 )即为所求 。 7 曲线上点 ),( yxP 处 的法线与 x 轴的交点为 Q ， 且线段 PQ 被 y 轴平分 ，试写出该 曲线满足的微 分方程。 解 ： 设曲线为 )(xyy ， 则曲线上点 ),( yxP 处的法线斜率为 y1 ， 由题目条件知 PQ 中点的横坐标为 0 ， 所以 Q 点的坐标为 )0,( x ， 从而有 yxxy 10 ， 即 02 xyy 为该曲线满足的微分方程。 8.求连续函数 )(xf 使它满足 xxxfdttxf s in)()(1 0 。 思路： 利用变上下限积分的求导公式逐次消去积分符号，并逐步根据积分相应的值定出微 分方程的初始条 件。 解 ： 令 txu ， 则 xdtdu ， 且有 0,0 ut ， xut ,1 ， 原方程化简为 xxxfduxufx s i n)(1)( 0 ， 即 xxxxfduufx s i n)()( 2 0 ， 两边关于 x 求导 得 xxxxxfxxfxf coss i n2)()()( 2 ， 化简 得 xxxxf c o ssin2)( ， 两边积分得 dxxxxxf )c o ss i n2()( Cxxx sinco s 即为所求函数。 12.2 可分离变量的微分方程 内容概要 名称 标准形式 解法或通解公式 可分 离变 量型 形如 )()( ygxfdxdy 解法 :设 0)( yg ， 整理为 dxxfdyyg )()(1 ， 两边积分 得 方程通解为 dxxfdy yg )()(1 （通常为隐函数形式）； 若 0)( 0 yg 得 0yy 也为原方程的解 。 齐次 微分 方程 形如 xydxdy 解法 ： 令 xyu ， 即 uxy ，则 dxduxudxdy ，代入原方程得 )(udxduxu ， 分 离 变 量 得 xdxuudu )( ， 两 端 积 分 xdxuudu)( ， 求出积 分后 再用 xy 代替 u 便得所给齐次方程的 通解 。 可化 为齐 次的 微分 方程 形如 222 111 cybxa cybxafdxdy 解法：联立 00 222 111 cybxa cybxa ， 1.方程组有解， 求得 交点 ),( 00 yx ，作平移变换 00yyY xxX ， 即 00yYy xXx ，则有 dxdydXdY ， 原 方 程 就 化 为 齐 次 方 程 , 22 11 YbXa YbXafdXdY 求得通解再回代 0 0yyY xxX 即得原方程通 解； 2.方程组无解，做变量代换 ybxau 11 ，则 dxdybadxdu 11 ， 原 方程化为可分离变量方程，求得通解再回代即可 。 课后习题全解 2 指出下列微分方程的通解： 知识点 ： 可分离变量微分方程的解法 。 （ 1） 0ln yyyx ； 解 ： 分离变量得 dxxdyyy 1ln1 ， 两边积分得 dxxdyyy 1ln1 ， 求解得 Cxy lnlnlnln ， 从而 Cxy lnlnln ，即 Cxyln ， 故通解为 Cxey 。 注 ： 积分出现对数形式时，绝对值符号可以忽略，并不影响结果的正确性。例： Cxy lnlnlnln 改写为 Cxy lnln)ln(ln ，从而 Cxy ln)ln(ln ，即 Cxyln ， 故通解为 Cxey 。 （ 2） 0)1()1( 22 dyxydxyx ； 解 ： 分离变量得 dx x xdyy y 11 22 ， 两边积分 dxx xdyy y 11 22 ， 即 122 1ln211ln21 Cxy ， 化简得 1222 )1)(1( Cexy ， 故通解为 Cxy )1)(1( 22 ， 其中 C 为任意常数 。 （ 3） 01 2 dyxxydx ； 解 ： 分离变量得 dx xxdyy 211 ， 两边积分得 dxxxdyy 211 ， 即 121ln Cxy ， 故通解为 212 xeCy ， 其中 12 CeC 为任意非零常数 。 而 0y 显然也为原方程的解 ， 所以通解为 21 xCey ， C 为任意常数。 注： 解题过程中任意常数出现 e 的幂的形式，通常需考察常数取零时是否为方程的解，拓展任意常数的范 围可否包括零。 (4) dxedxxdy y ； 解 ： 分离变量得 dxxdye y 111 ， 两边积分得 dxxdye y 111 ， 即 Cxe y lnln1ln ， 故通解为 Cxe y 1 。 注： 其中 Ceeeddyeedye y y y y y y 1ln1 )1(111 (5) ydxdyx 1tan ； 解 ： 分离变量得 xdxdy y cot1 1 ， 两边积分得 xdxdyy c o t1 1 ， 即 Cxy lns inln1ln ， 故通解为 xCy sin1 。 （ 6） yd ydxyxyd ydx 2； 解 ： 分离变量得 dx xdyy y 1112 ， 两边积分 得 dxxdyy y 1112 ， 即 12 1ln1ln21 Cxy ， 化 简得： 122 2 )1( 1 Cexy ， 故通解为 22 )1(1 xCy ， 其中 C 为任意常数 。 注 ： 本题与课 本答案不一致！课本答案错误。 （ 7） dyyxxyydxx )1( 22222 ； 解 ： 分离变量得 dx x xdyyy 11 2 22 ， 两边积分得 dxxdyyy )111()1( 2 ， 即 Cxxyy a r c t a n2ln 2 ， 故通解为 Cxxyy a r c t a n2ln 2 其中 C 为任意常数。 (8) 2s in2s in yxyxy ； 解 ： 变形为 2s i n2c o s22s i n2s i n yxyxyxy ， 分离变量得 dxxdy y 2c o s 2s in2 1 ， 两边积分得 dxxdy y 2c o s 2s i n2 1 ， 即 2s in24tanln xCy ， 故 02sin y 时的通解为 2s in24tanln xCy ； 当 02sin y 时 , Ky 2 ， K 为整数 。 注 : 1、三角函数和差化积公式： 2c o s2s i n2s i ns i n yxyxyx ； 2s i n2c o s2s i ns i n yxyxyx ； 2c o s2c o s2c o sc o s yxyxyx ； 2s i n2s i n2c o sc o s yxyxyx 。 2、 在解题过程中 ,求通解可忽略特解情 形 。 2. 求下列齐次方程的通解 ： 知识点 ： 齐次微分方程的解法 。 （ 1） 022 yxyyx ； 解 ： 原方程变为 2)(1 xyxydxdy 。 令 xyu ， 则原方程化为 21 uudxduxu ， 即 dx xduu 11 1 2 ， 两边积分得 Cxu lnarcsin ， 将 xyu 代入上式得原方程的通解 为 Cxxy lnarcsin 。 注 ： 本题与课本答案不一致，课本答案有误。 (2) xyydxdyx ln ； 解 ： 原方程变为 xyxydxdy ln 。 令 xyu ， 则原方程化为 uudxduxu ln ， 即 dxxduuu 1)1(ln1 ， 两边积分得 Cxu lnln1lnln ， 即 1 Cxeu ， 将 xyu 代入上式得原方程的通解 为 1 Cxxey 。 (3) 0c o s)c o s( dyxyxdxxyyx ； 解 ： 原方程变为 xyxydxdy sec 。 令 xyu ， 则原方程化为 uudxduxu se c ， 即 dxxudu 1cos ， 两边积分得 Cxu lnsin ， 将 xyu 代入上式得原方程 的通解 Cxxy lnsin 。 (4) xyey xy ； 解 ： 令 xyu ， 则原方程化为 uedxduxu u ， 即 uedxdux ， 分离变量得 dxxdue u 1 ， 两边积分得 1ln Cxe u ，即 xCu lnln ， 将 xyu 代入上式得原方程的通解 xCxy lnln ， 即 xCxy lnln 。 注： 也可将 1ln Cxe u 中的 1C 改写为 C ，与后面出现的 C 保持一致 (5) 0)()( 2222 dyyxyxxdxyxyxy ； 解 ： 原方程变形为 2 2 )(1 )(1 x y x y x y x y x y dx dy 。 令 xyu ， 则原方程化为 2 211 uu uuudxduxu ， 即 2 31 22 uu uudxdux ， 分离变量得 dxxduuu uu 21 3 2 ，即 dxxduuu 2111 2 ）（ ， 两边积分得 Cxuu lnln2a r c t a nln ，即 ueuCx arctan2 ， 将 xyu 代入上式得原方程的通解 xyeCxy arctan 。 3.求下列各初值问题的解 ： 知识点 ： 可分离变量 ，以及齐次型微分方程求 解。 思路 ： 求得通解的条件下代入初始条件 ， 解出其中的任意常数 ， 代入通解即得所求特解 。 (1) 0,0 11 0 xydyxydxyx ； 解 ： 分离变量得 dxxxdyyy )1()1( ， 两边积分得 dxxxdyyy )()( 22 ， 即 Cxxyy 3232 3232 ， 由 00 xy 得 0C ， 所以 所求 特 解为 3232 3232 xxyy 。 (2) xyyxy 21xy ； 解 ： 令 xyu ， 则原方程化为 uudxduxu 1 即 dxxudu 1 ， 两边积分得 Cxu ln21 2 ， 将 xyu 代入上式得原方程的通解 )(ln2 22 Cxxy ， 由 21xy 得 2C ， 故所求特解为 )2(ln2 22 xxy 。 注： 课本所给答案不含绝对值符号，根据通解的定义也是允许的。 4.化下列方程为齐次方程，并求出通解 ： 知识点 ：对于形如 222 111 cybxa cybxafdxdy 的方程 解法。 （ 1） 42 52 yx xydxdy ； 解 ： 联立 042 052 yx xy ，解之得 21yx ， 做平移变换 21Yy Xx ，则 dXdYdxdy ， 代入原方程得 X YX Y YX XY dX dY 2 12 2 2 。 令 uXY ， uXY ， 代入原方程得 uudXduXu 2 12 ， 即 uudXduX 2 12 ， 分离变量得 dXXduu u 112 2 ， 即 dXXduuu 1)11.2311.21( ， 两边积 分得： CXuu ln21ln1ln231ln21 ， 化简得： 23)1(1 XuCu 。 将 uXY 代入得 ： 3)( XYCXY ， 将 1xX ， 2yY 回代得 原方程通解 3)1()3( xyCxy 。 （ 2） 0)14()1( dyxydxyx ； 解 ： 原方程化简为 14 1 yx yxdxdy ， 联立 014 01yx yx ，解之得 01yx ， 做平移变换 Yy Xx 1 ，则 dXdYdxdy ， 代入原方程得 X YX Y YX YX dX dY 41 1 4 。 令 uXY ， uXY ， 代入原方程得 uudXduXu 411 ， 即 14 14 2 uudXduX ， 分离变量得 dXXduuu 114 14 2 ， 即 dXXduuu u 1)14 114 4( 22 ， 两边积分得 ： 2ln2a r c t a n21)14l n (21 2 CXuu ， 化简得 CuuX 2a r c t a n)14(ln 22 。 将 uXY 代入 得 CXYXY 2a r c t a n4ln 22 ， 将 1xX ， yY ， 回代得 原方程通解 Cx yxy 12a r c t a n)1(4ln 22 。 5.利用变量代换的方法求 0)433()( dyyxdxyx 的通解 ； 思路： 先化成形如 222 111 cybxa cybxafdxdy ，由于 2 1 2 1 bbaa ，所以联立 00 222 111 cybxa cybxa 无解。 做变换 ybxau 11 即可求得通解。 解 ： 原方程化简为 433 yx yxdxdy ， 联立 0433 0yx yx 无解，无法应用平移变换。 令 yxu ，则 dxdydxdu 1 ， 代入原方程得 uuuudxdu 34 24341 ， 分离变量得 dxduuu 42 43 ， 即 dxduu )42 223( ， 两边积分得 Cxuu 2ln23 。 将 yxu 代入得 22ln)(23 Cxyxyx ， 化简得 Cyxyx 2ln23 即为所求通解。 6. 质量为 g1 的质点受外力作用作直线运动 ，该 外力和时间成正比 ， 和质点运动的速度成反比 。 在 st 10 时 ， 速度等于 scmv /50 ， 外力为 2/4 scmgF ， 问运动 1 分钟后的速度是多少？ 解 ： 已知 vtkF ， 并且当 st 10 时 ， scmv /50 ， 2/4 sgcmF ， 故 50104 k ， 从而 20k ， 因此 vtF 20 。 又由牛顿定律 maF ， 即 vtdtdv 201 ， 故 tdtvdv 20 ， 即为 速度与时间应满足的微分方程 。 两边积分得 Ctv 22 1021 ， 即 Ctv 220 2 。 由初始条件 st 10 时 ， scmv /50 ， 有 C 22 10105021 ，解得 250C ， 因此 50020 2 tv 。 当 st 60 时 ， c m /s3.2695006020 2 v 即为所求。 7.求一曲线的方程，该曲线通过点 )1,0( 且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。 解 ： 设曲线方程为 )(xfy ，切点为 ),( yxP ， 则与原点连线斜率为 xy ， 由题意得曲线 满足的微分方程为 yxdxdy ， 即 xdxydy ， 两边积分得 222 22 Cxy ， 方程 通解为 Cyx 22 。 又 曲线通过点 )1,0( ， 代入通解得 C10 ， 所以所求曲线方程为 122 yx 。 8 设有连结点 )0,0(O 和 )1,1(A 的一段向上凸的曲线弧 AO 对于 AO 上任一点 ),( yxP 曲线弧 PO 与直线段 OP 所围图形的面积为 2x 求曲线弧 AO 的方程 。 解 ： 设曲线弧 AO 的方程为 )(xyy ，由题意知满足下面方程 2 0 )(21)( xxxydxxyx ， 方程为积分形式的方程，需化为微分方程。 两 边求导得 xxyxxyxy 2)(21)(21)( ， 即 4xyy 为齐次方程。 令 xyu 则有 4 udxduxu ， 即 dxxdu 4 ， 两边积分得 Cxu ln4 。 将 xyu 代入上式得方程的通解 Cxxxy ln4 。 由于 )1,1(A 在曲线上 ， 即 1)1( y ，代入通解求得 1C ， 从而 所求 曲线 方程为 xxxy ln4 。 注： 积分化为微分形式的方程，往往利用变上下限积分的求导公式逐次消去积分符号。 9 某林区现有木材 10 万立方米，如果每一瞬时木材的变化率与当时木材数成正比，假使 10 年内这林区 能有 20 万立方米，是确定木材数 p 与时间 t 的关系。 解 ： 由题意得 kpdtdp 且 20,10 100 tt pp 。 方程为可分离变量类型，分离变量 kdtdp p 1 ， 两边积分得通解为 ktCep 。 代入初始条件得 102ln,10 kC ， 所以所求函数关系为 10210 tp 。 10 在某池塘养鱼，该池塘内最多能养鱼 1000 尾，在时刻 t ，鱼数 y 是时间 t 的函数 )(tyy ,其变化 率与鱼数 y 及 1000-y 成正比。已知在池塘内放养鱼 100 尾， 3 个月后池塘内有鱼 250 尾，求放养 t 月后 池塘内鱼数 )(ty 的公式。 解 ： 由题意得： )1000( ykydtdy （ k 为比例系数 ） 且 2 5 0,1 0 0 30 tt yy 。 可分离变量类型方程 kdtdy yy )1 0 0 0( 1 ， 两边积分得 通解为 ktCe yy 100010 00 。 代入初始条件得 30003ln,91 kC ， 所以所求函数关系为 3 3 39 31000 t ty 。 12.3 一阶线性微分方程 内容 概要 名称 标准形式 解法或通解形式 一阶 线性 微分 方程 形如 )()( xQyxPdxdy ， 若 0)( xQ 称为一阶线 性齐次微分方程，否则称为 一阶线性非齐次微分方程。 解法： 1.齐次线性方程 0)( yxPdxdy 是可分离变量方程 ，通解为 )( dxxPCey ； 2. 非齐次线性方程的通解为 )( )()( CdxexQey dxxPdxxP ， 或 dxexQeCey dxxPdxxPdxxP )()()( )(。 贝努 利型 形如 nyxQyxPdxdy )()( (n0， 1) 解法 ： 方程的两边 同除以 ny ，得 )()( 1 xQyxPdxdyy nn ， 令 nyz 1 ， 得 )()1()()1( xQnzxPndxdz ，解 得线性微分方程 的解 ， 回代即得原方程通解 。 1.求下列微分方程的解 ： 知识点 ：一阶线性微分方程的解法。 (1) xxydxdy 42 ； 解 ： xxP 2)( ， xxQ 4)( ， 代入公式得 )4( 22 Cdxexey xd xxd x )4( 22 Cdxexe xx )2( 22 Cee xx 22 xCe ， 原方程通解为 22 xCey 。 (2) 221 xyxdxdy ； 解 ： xxP 1)( ， 22)( xxQ ， 代入公式得 2 121 Cdxexey dxxdxx )12( 2 Cdxxxx CxxCxx 32 )( 。 (3) 3)2(2)2( xydxdyx ； 解 ： 原方程变形为 2)2(221 xyxdxdy 。 其中 21)( xxP ， 2)2(2)( xxQ ， 代入公式得 )2(2 21221 Cdxexey dxxdxx 21)2(2)2( 2 Cdxxxx )2()2()2) (2( 32 xCxCxx , 即为原方程通解。 (4) 22 42)1( xxyyx ； 解 ： 原方程变形为 1412 2 2 2 x xyx xy 。 其中 12)( 2 x xxP ， 14)( 2 2 x xxQ ， 代入公式得 )14( 12 2 212 22 Cdxe x xey dxx xdxx x )34(11)1(1411 3222 22 CxxCdxxx xx 即为原方程通解。 (5) 02)6( 2 ydxdyxy ； 思路： 微分方程中函数关系可以依解题方便来定。本题中若将 y 看作 x 的函数，不便解题 ， 若将 x 看作 y 的函数，则可改写成一阶线性微分方程 )()( yQxyP dydx ，通解公式为 )( )()( CdyeyQex dyyPdyyP 。 解 ： 原方程变形为： yx ydydx 213 。 令 yyP 3)( ， yyQ 21)( ， 代入公式得 )21( 33 Cdyeyex dyydyy )121( 33 Cdyyyy 323 21)21( CyyCyy 即 为原方程通解 。 (6) dyexdyyydx y )1( ； 思路 ：同题（ 5） 解 ： 原方程变形为 yexy ydydx y 1 。 令 yyyP 1)( ， yeyQ y)( ， 代入公式得 原方程通解为 )( )11()11( Cdye yeex dyy ydyy ) 2(11 2 CeeyCdyyeyeey yyyyy )2( 1 yy Ceey 。 (7) yyxdxdy 2s inc o s 1 ； 思路 ： 同题（ 5） 解 ： 原方程变形为 yyx dydx 2s inc o s ， 即 yyx dydx 2s inc o s 。 令 yyP cos)( ， yyQ 2sin)( ， 代入公式得 )2sin( c o sc o s Cdyyeex yd yyd y )c o ss i n2()2s i n( s i ns i ns i ns i n CdyyeyeCdyyee yyyy )s i n2( s i ns i n Cydee yy )s i n2s i n2( s i ns i ns i n Cydeyee yyy yyyy CeyCeyee s i ns i ns i ns i n 2s i n2)2s i n2( 。 (8) 0)2( 222 ydxdyyxyx ； 解 ： 原方程变形为 1)21( 2 xyydydx 。 令 1)(,21)( 2 yQyyyP ， 代入公式得 )21()12( 22 Cdyeex dyyydyyy )1( 2 112 Cdy yeey yy yyy eCyyCeey 122112 )( 。 （ 9） )()()( xfxfyxfy ； 解 ： )()( xfxP ， )()()( xfxfxQ ， 代入公式得 )()( )()( Cdxexfxfey dxxfdxxf )( )()( )()( )()( Cdexfe Cdxexfxfe xfxf xfxf )()( )()()( Cxdfeexfe xfxfxf )()()()( 1)()( xfxfxfxf CexfCeexfe 。 2.求下列微分方程满足初始条件的特解 ： (1) 83 ydxdy ， 20 xy ； 解 ： 由通解公式 得 )8( 33 Cdxeey dxdx xxxxx CeCeeCdxee 33333 38)38()8( 。 由 20 xy ， 得 32C ， 故所求特解为 )4(32 3xey 。 (2) xxydxdy sectan ， 00 xy ； 解 ： 由通解公式 得 )s e c( t a nt a n Cdxexey x d xx d x )(c o s1)c o ss e c(c o s1 CxxCx d xxx 。 由 00 xy ， 得 0C ， 故所求特解为 xxy sec 。 3. 求一曲线的方程 ， 这曲线通过原点 ， 并且它在点 ),( yx 处的切线斜率等于 yx2 。 解 ： 由题意知 yxy 2 ， 并且 00 xy ， 由通解公式得 )2()2( CdxxeeCdxxeey xxdxdx )22( Cexee xxx 22 xCe x 。 由 00 xy ， 得 2C ， 故所求曲线的方程为 )1(2 xey x 。 4 设连续函数 )(xy 满足方程 xx edttyxy 0 )()( ，求 )(xy 。 解 ： 方程两边关于 x 求导 ， 得 xexyxy )()( ， 为一阶线性非齐次微分方程 。 利用公式得 通解为 )()( CdxeCdxeeey xdxxdx )( Cxex 。 由 10 xy ， 得 1C ， 故所求曲线的方程为 )1( xey x 。 5。 求下列伯努利方程的通解 ： 知识点 ： 伯努利方程的解法 。 (1) 23 xyxyy ； 解 ： 原方程可变形为 x yxdxdyy 1312 ， 令 dxdyydxdzyz 21 , ， 代入原方程得线性方程 ： xxzdxdz 3 。 代入通解公式得 )( 33 Cdxexez xd xxd x 即 )( 22 23231 Cdxxeey xx 31)31( 222 232323 xxx CeCee ， 原方程的通解为 311 223 xCey 。 (2) 0ln33 4 xxyyyx ； 解 ： 原方程可变形为 x yxdxdyy ln1311 34 ， 令 dxdyydxdzyz 43 3, ， 代入原方程 化简 xzxdxdz ln31 为一阶线性非齐次微分方程， 通解为 ln3 11 Cdxexez dxxdxx ， 即 )43ln23(1ln31 223 CxxxxCx d xxxy ， 原方程的通解为 xCxxxy 43ln2313 。 (3) 4)21(3131 yxydxdy ； 解 ： 原方程可变形为 )21( 311311 34 xydxdyy ， 令 dxdyydxdzyz 43 3, ， 代入原方程得线性方程 12 xzdxdz 。 通解为 )12( Cdxexez dxdx ， 即 xxx CexCdxexey 12)12(3 ， 原方程的通解为 121 3 xCey x 。 (4) yxyxxdxdy 1ln 2 ； 解 ： 原方程可变形为 xxyxdxdyy ln1 12 ， 令 dxdyydxdzyz 21 , ， 代入原方程得线性方程 ： xxzxdxdz ln1 。 通解为： ln 11 Cdxex xez dxxdxx ， 即 )1ln(ln 21 Cxx xxCdxx xxy ， 原方程的通解为 Cxxy 1ln1 。 注 ： Cxx xxdxx xxxddxx x 1ln1ln1lnln 22 。 (5) 3422 yxyxy ； 解 ： 原方程可变形为 23134 2 xyxdxdyy ， 令 31yz ， dxdyydxdz 3431 ， 代入原方程化简得一阶线性微分方程： 23132 xzxdxdz 。 利用公式求通解得 31 32232 Cdxexez dxxdxx ， 即 )71(31 3732343231 CxxCdxxxy ， 所以 原方程的通解为 32331 71 Cxxy 。 (6) 1)()( 23 xyxxyxdxdy ； 解 ： 令 xyu ， 1dxdydxdu ， 原方程可变形为 23uxxudxdu ， 即 312 xxudxduu ， 令 1uz ， dxduudxdz 2 ， 代入原方程 化简 得 一阶 线性方程 3xxzdxdz 。 利用公式求通解得 3 Cdxexez xdxxdx ， 即 )2( 22222321 22222 CeexeCdxexeu xxxxx 。 原方程的通解为 221 22)( xCexxy ， 即 122 )2( 2 xCexxy 。 注： Ceexxdeexdexdxex xxxxxx 22222222223 222222 2)2(2 6.作适当的变换求下列方程的通解 ： 思路 ： 经过变量代换 ， 某些方程可以化为变量可分 离的方程 ， 或化为已知其求解方法的方程通常用到 的有 xyu ， yxu ， 2yu 等等 。 (1) 0)s in ( yxxdxdyx ； 解 ： 令 yxu ， 则原方程化为 0s in)1( uxdxdux ， 即 udxdux sin 为可分离变量方程， 求通解得 xCuu cotcsc 。 将 yxu 代入上式得 ： 原方程的通解 xCyxyx )c o t ()c s c ( 。 (2) 11 yxdxdy ； 解 ： 令 yxu ， 则原方程化为 111 udxdu ， 即 ududx ， 两边积分得 1221 Cux 。 将 yxu 代入上式得 ： 原方程的通解 12)(21 Cyxx ， 即 Cxyx 2)( 2 )2( 1CC 。 (3) 0)()( 22 dyyxxdxxyy ； 解 ： 原方程变形为 )1( )1( xyx xyydxdy ， 令 xyu ， xuy ， 2x udxdux dxdy ， 代入原方程化简得 1 )1( uuuudxdux ， 即 12 2uudxdux 为 可分离变量类型方程 ， 求通解得 uexCu 1 2 。 将 xyu 代入上式得 ： 原方程的通解 为 xyxeCy 1 。 (4) y xxydxdy 2 sin2 ； 解 ： 原方程变形为 xxydxdyy sin2 2 ， 令 2yu ， dxdyydxdu 2 ， 代入原方程化简得 xxudxdu sin ， 即 xxudxdu sin 为一阶线性微分方程。 求得通解 )s i n()s i n( 22 22 Cx d xeeCdxxeeu xxx d xx d x 。 原方程通解为 )s i n( 222 22 Cx d xeey xx 。 注： 1.课本答案有误； 2. xdxe x sin22 积分没有办法有初等函数表示 ，可保留。 (5) yyxdxdyy s i ns i nc o sc o s 2 ； 解 ： 令 yu sin ， dxdyydxdu cos ， 代入原方程化简得 uxudxdu cos2 ， 即 xuudxdu cos2 为贝努里微分方程。 令 1uz ， dxduudxdz 2 ， 代入原方程得 xzdxdz cos 为一阶线性微分方程， 利用通解公式得 )2 )c o s( s i n()c o s(1 CxxeeCdxxeez xxdxdx 化简得 xCexxz 2 c o ss in ， 即 xCexxu 2 c o ss i n1 ， 原方程的通解为 xCexxy 2 c o ss i n)( s i n 1 。 12.4 全微分方程 内容 概要 名称 标准形式 解法及通解 全微 分方 程 形如 0),(),( dyyxQdxyxP 若存在可微函数 ),( yxu 使得 dyyxQdxyxPdu ),(),( 解法： 1. y),(),(),( 00 0 CdyxQdxyxPyxu yyxx 或 y),(),(),( 00 0 CdyxQdxyxPyxu yyxx ),( 00 yx 为选 定的一点，通常取 )0,0( 。 判定方法：若 xQyP ，则为 全微分方程 2.积分因子： 当 xQyP ，若 存在一函数 0),( yx 使 0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx 成为全微分方程， 则 称 ),( yx 为积分因子 。 3.常用积分因子 ,1,1,1,1 222222 xyyxyxxyx 2yx 4.观察法找积分因子：记住常用 )2( 22 yxdydyxdx ； )(2 xydx ydxxdy ； )(ln xydxy ydxxdy ； )( a r c t a n22 xydyx yd xxd y ； )l n (21( 2222 yxdyx y d yx d x 课后习题全解 1判别下列微分方程中哪些是全微分方程，并求其通解 ： 知识点 ：全微分方程的判定 ，全微分方程的求解 。 (1) 0)( 2 xdydxyx ； 解 ： 这里 yxP 2 ， xQ
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