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曹乾 （东南大学 caoqianseu） 15 4 效用 复习题参考答案 1.课文中说课文中说课文中说课文中说 ， ，将某数字变为它的奇次幂是一种单调变换 将某数字变为它的奇次幂是一种单调变换将某数字变为它的奇次幂是一种单调变换将某数字变为它的奇次幂是一种单调变换 。 。那么 那么那么那么 ， ，将其变为它的偶次幂是单调 将其变为它的偶次幂是单调将其变为它的偶次幂是单调将其变为它的偶次幂是单调 变换吗变换吗变换吗变换吗 ？（？（？（？（ 提示提示提示提示 ： ：要考虑类似 要考虑类似要考虑类似要考虑类似 2)( uuf = 的情形的情形的情形的情形 。） 。） 。） 。） 【复习内容 】单调变换 。 【解题思路 】 作者范里安在教材中指出 ：“单调变换是将一组数字转换为另外一组数字的方法 ，这种方法 要保留转换前后数字的顺序不变 。 单调变换和单调函数是一回事 。 ”这段话 ，换一种表述 方法是 ：如果某既定偏好可用函数 ),( 21 xxuu = 进行刻画 ，则可以对函数 u 进行复合 （构造 复合函数 ）比如 ),()( 21 xxufuf = ，但要保证这个复合函数是正单调函数 （即单调递增的 函数 ）， 即对 ),( 21 xxuu = 进行正单调变换 。所以说正单调变换和正单调函数是一回事 。 因此 ，我们对原效用函数并不要求它是单调递增的 ，但对这个函数进行正单调变换后得到的 新效用函数一定是单调递增的 。原因在于正单调变换和正单调函数是一回事 。 也正因为此 ，题目中的 “将某数字变为它的奇次幂是一种单调变换 ”这种说 法并不严格 ，因 为当幂指数等于 1 时，这正是原效用函数本身 ，但它不是正单调变换 ，否则这意味着要求原 效用函数必须为单调的 。而我们未必一定要求原效用函数是单调的 ，尽管我们通常这么要求 。 所以 ，幂指数应将 1 除外 。 通常情况下 ， 0),( 21 = xxuu ，因此 2)( uuf = 是（正的 ）单调变换 ，也就是说 2)( uuf = 是单调递增的函数 。 但是 ，也有可能存在 0),( 21 = xxuu 的情形 。举个例子 ，给某消费者两种商品 ，但这 两种 商品都是他非常讨厌的 ，由于这种情形下 ，他的效用不可能为正 ，即 0),( 21 = xxuu 。所 以该情形下 2)( uuf = 就不是 （正的 ）单调变换 ，但它是 （负的 ）单调变换 ，但根据我们的 目的 ，我们不考虑负单调变换的情形 。 【参考答案 】见上述解题思路中的最后两段文字 。 2.下列哪些是单调变换下列哪些是单调变换下列哪些是单调变换下列哪些是单调变换 ？（？（？（？（ 1） ） 132 = vu ；（ ；（ ；（ ；（ 2） ） 2/1 vu = ；（ ；（ ；（ ；（ 3） ） 2/1 vu = ；（ ；（ ；（ ；（ 4） ） vu ln= ； ； （ （ 5） ） veu = ；（ ；（ ；（ ；（ 6） ） 2vu = ；（ ；（ ；（ ；（ 7） ） 2vu = （ （其中 其中其中其中 0v ）；（ ）；（ ）；（ ）；（ 8） ） 2vu = （ （其中 其中其中其中 0=dvdu 。以下题目的原因请类推 。 （ 2） 0v 时是 （正的 ）单调变换 ， 0v 的假设 ，否则 vu ln= 无定义 ）。 曹乾 （东南大学 caoqianseu） 16 （ 5）是单调变换 。 （ 6） 0v 时是单调变换 ， 0v 时不是 。 （ 7）和（ 8）请见 （ 6）。 3.课文中有个结论课文中有个结论课文中有个结论课文中有个结论 ， ，即如果偏好是单调的 即如果偏好是单调的即如果偏好是单调的即如果偏好是单调的 ， ，那么经过原点的对角线与每条无差异曲线只能有 那么经过原点的对角线与每条无差异曲线只能有那么经过原点的对角线与每条无差异曲线只能有那么经过原点的对角线与每条无差异曲线只能有 一个交点一个交点一个交点一个交点 。 。你能严格证明这个结论吗 你能严格证明这个结论吗你能严格证明这个结论吗你能严格证明这个结论吗 ？（？（？（？（ 提示提示提示提示 ： ：如果它与某条无差异曲线有两个交点 如果它与某条无差异曲线有两个交点如果它与某条无差异曲线有两个交点如果它与某条无差异曲线有两个交点 ， ，结 结结 结 果会如何果会如何果会如何果会如何 ？）？）？）？） 【复习内容 】单调偏好的定义 ；无差异曲线的特征 【参考答案 】 反证法 。假设这条对角线与一条 无差异曲线交于两个不同的点 ： ),( 21 xx ； ),( 21 yy 。由于这 两个点在同一条无差异曲线上 ，因此 ),(),( 2121 yyxx 。另外 ，这两个点都在该对角线上 ， 因此必有 2211 , yxyx 或者 2211 , yxyx ，由于偏好是单调的 ， 这意味着 ),(),( 2121 yyxx f 。显然 ),(),( 2121 yyxx f 和刚才得到的 ),(),( 2121 yyxx 矛盾 。 所以如果偏好是单调的 ，那么经过原点的对角线与每条无差异曲线只能有一个交点 。 4.效用函数效用函数效用函数效用函数 2121 ),( xxxxu += 表示什么类型的偏好表示什么类型的偏好表示什么类型的偏好表示什么类型的偏好 ？ ？效用函数 效用函数效用函数效用函数 2121 1313),( xxxxv += 呢呢呢 呢？ ？ ？ 【复习内容 】单调变换 ；完全替代类型的偏好 【参考答案 】 对效用函数 ),( 21 xxu 作单调变换 2)( uuf = ，可得新的效用函数 212)( xxuuf += ；不妨 令 2121 ),( xxxxw += 。 对 效 用 函 数 ),( 21 xxv 作 单 调 变 换 vvg 131)( = ， 可 得 新 的 效 用 函 数 ),(131)( 2121 xxwxxvvg =+= 。 由 于 单 调 变 换 不 改 变 原 有 的 偏 好 关 系 ， 因 此 可 知 2121 ),( xxxxu += ， 2121 1313),( xxxxv += 和 2121 ),( xxxxw += 这三个效用函数代表的偏好关系是相同的 。而 我们已知道 2121 ),( xxxxw += 表示 1:1 完全替代的偏好类型 。所以 2121 ),( xxxxu += 和 2121 1313),( xxxxv += 都表示 1:1 完全替代的偏好类型 。 5. 效 用 函 数效 用 函 数效 用 函 数效 用 函 数 2121 ),( xxxxu += 表 示 什 么 类 型 的 偏 好表 示 什 么 类 型 的 偏 好表 示 什 么 类 型 的 偏 好表 示 什 么 类 型 的 偏 好 ？ ？ 效 用 函 数效 用 函 数效 用 函 数效 用 函 数 221 2 121 2),( xxxxxxv += 是是是 是 ),( 21 xxu 的单调变换吗的单调变换吗的单调变换吗的单调变换吗 ？ ？ 【复习内容 】拟线性偏好 ；单调变换 。 【参考答案 】 2121 ),( xxxxu += 表示拟线性的偏好类型 。 曹乾 （东南大学 caoqianseu） 17 因为 0,0 21 xx （消费数量不能为负 ）， 所以 0),( 2121 += xxxxu ，对效用函数 ),( 21 xxu 做单调变换 2)( uuf = （请参考第 2 题第 （ 6 ）小题的答案 ）， 可得 221 2 1 2)( xxxxuf += ，而这正是效用函数 ),( 21 xxv ，因此 221 2 121 2),( xxxxxxv += 是 ),( 21 xxu 的单调变换 。 6.假设效用函数为假设效用函数为假设效用函数为假设效用函数为 2121 ),( xxxxu = 。 。它表示什么类型的偏好 它表示什么类型的偏好它表示什么类型的偏好它表示什么类型的偏好 ？ ？函数 函数函数函数 22121 ),( xxxxv = 是是是 是 ),( 21 xxu 的单调变换吗的单调变换吗的单调变换吗的单调变换吗 ？ ？ 2 1 2 121 ),( xxxxw = 是是是 是 ),( 21 xxu 的单调变换吗的单调变换吗的单调变换吗的单调变换吗 ？ ？ 【复习内容 】柯布 道格拉斯型偏好 ；单调变换 【参考答案 】 （ 1） 2121 ),( xxxxu = 表示柯布 道格拉斯型偏好 。 （ 2）判断一个函数是否为另一个函数的单调变换 ，有时使用一个小技巧反而更方便 。这个 小技巧就是第 7 题的结论 ，即对一个效用函数进行单调变换不会改变边际替代率 。 2121 ),( xxxxu = 的边际替代率 1 2 2 1 12 x x MU MUMRS = ； 2 2 121 ),( xxxxv = 的边际替代率 1 2 2 1 12 2 x x MU MUMRS = ，二者不等 ，因此 2 2 121 ),( xxxxv = 不是 ),( 21 xxu 的单调变换 。 （ 3）因为 0),( 2121 = xxxxu （请参考第 2 题第 （ 6）小题的答案 ）， 所以对该函数作单 调变换 4)( uuf = 可得 2122214 ,()( xxwxxuuf = ）， 所以答案为 :是。 7.你能说明为什么对一个效用函数进行单调变换不会改变边际替代率你能说明为什么对一个效用函数进行单调变换不会改变边际替代率你能说明为什么对一个效用函数进行单调变换不会改变边际替代率你能说明为什么对一个效用函数进行单调变换不会改变边际替代率 ？ ？ 【复习内容 】单调变换 ；边际替代率的序数性质 【参考答案 】 假设我们对某个效用函数进行单调变换 ，比如 ),(),( 2121 xxufxxv = 。我们计算一下 该效用函数的 12MRS 。使用链式法则 2 1 2 1 2 1 12 / / / / / / / / xu xu xu xu uf uf xv xvMRS = = = 因为分子和分母中的 uf / 可以约去 ，这表明效用函数进行单调变换不会改变边际替代率 。 这也就是说边际替代率具有序数性质 。 曹乾 （东南大学 caoqianseu） 18 5 选择 复习题参考答案 1.如果两种商品是完全替代的如果两种商品是完全替代的如果两种商品是完全替代的如果两种商品是完全替代的 ， ，求商品 求商品求商品求商品 2 的需求函数的需求函数的需求函数的需求函数 。 。 【复习内容 】完全替代 ；需求函数 【解题思路 】如果计算量较少 ，最好画图分析 。即按照教材中所说的 ：画出预算线和若干无 差异曲线 ，找到位置最高的那条无差异曲线和预算线的触及点 。请读者自行画图 。 【参考答案 】 不妨假设两种商品的价格为 21, pp ；收入为 m 。 由于商品 1 和 2 是完全替代的 ，但题目未告知它们之间的替代比率 ，不妨假设商品 1 和 2 的的替代比率为 b:1 ，即 1 单位商品 1 可以替代 b 单位商品 2。 如果 12 pbp ，则消费者只会购买商品 1，因此此时商品 2 的需求量为 0；如果 12 pbp ， 则消费者只会购买商品 1，因此此时商品 2 的需求量为 0；如果 12 pbp ，则消费者只会购 买商品 2，此时商品 2 的需求量为 2/ pm 。如果 12 pbp = ，则预算线上的任何一点 都是最优 选择点 。 3.假设某消费者每喝一单位咖啡总是放两单位的糖假设某消费者每喝一单位咖啡总是放两单位的糖假设某消费者每喝一单位咖啡总是放两单位的糖假设某消费者每喝一单位咖啡总是放两单位的糖 ， ，如 如如 如果糖和咖啡的价格分别为 果糖和咖啡的价格分别为果糖和咖啡的价格分别为果糖和咖啡的价格分别为 21, pp ， ，收 收收 收 入为入为入为入为 m， ，分别计算出他购买的咖啡和糖的数量 分别计算出他购买的咖啡和糖的数量分别计算出他购买的咖啡和糖的数量分别计算出他购买的咖啡和糖的数量 。 。 【复习内容 】完全互补 ；最优选择 。 【解题思路和参考答案 】 曹乾 （东南大学 caoqianseu） 19 令 21, xx 分别表示糖和咖啡的购买量 。 由题意可知 21 2xx = （ 1） 预算线为 mxpxp =+ 2211 （ 2） 联立 （ 1）和（ 2）可解得 ： .2;2 2 21 2 21 1 pp mx pp mx +=+= 4.假设你对冰淇淋和橄榄有高度的非凸偏好假设你对冰淇淋和橄榄有高度的非凸偏好假设你对冰淇淋和橄榄有高度的非凸偏好假设你对冰淇淋和橄榄有高度的非凸偏好 （ （即凹偏好 即凹偏好即凹偏好即凹偏好 ）， ）， ）， ）， 正如教材中描述的那样正如教材中描述的那样正如教材中描述的那样正如教材中描述的那样 ， ，这两种 这两种这两种这两种 商品的价格分别为商品的价格分别为商品的价格分别为商品的价格分别为 21, pp ， ，收入为 收入为收入为收入为 m 。 。求最优消费束 求最优消费束求最优消费束求最优消费束 。 【复习内容 】凹偏好 ；最优选择 。 【解题思路与参考答案 】 凹偏好情形下 ，端点消费束好于平均消费束 ，注意 ，此时由无差异曲线和预算线相切条件解 出的切点解 ，不仅不是最优的 ，反而是最差的 。 因此 ，最优选择是角点解 （ corner solutions）， 如下图所示 ，最优选择为 )0,/( 1pm 当然 ， )/,0( 2pm 也为最优选择 。此时的图形读者自行画出 。 5.如果某消费者的效用函数为如果某消费者的效用函数为如果某消费者的效用函数为如果某消费者的效用函数为 42121 ),( xxxxu = ， ，计算 计算计算计算 他花费在他花费在他花费在他花费在 商品商品商品商品 2 上的资金支出占他的收上的资金支出占他的收上的资金支出占他的收上的资金支出占他的收 入的比例入的比例入的比例入的比例 。 。 【复习内容 】柯布 道格拉斯效用函数 ；最优选择 。 【解题思路和参考答案 】请读者务必学习本章的附录部分 。附录部分提供了详细的分析 。我 们只给出其中一种解题方法 。 由题意可知 ，消费者面临的最大化问题为 . max 2211 4 21, 21 mxpxpts xx xx =+ 构造拉格朗日函数 )(),( 221142121 mxpxpxxxxL += ，其一阶条件为 ： 曹乾 （东南大学 caoqianseu） 20 0142 1 = pxxL 04 2321 2 = pxxxL .02211 =+= mxpxpL 由前两个式子可得 2 1 1 2 4 p p x x = ，即 1122 4 xpxp = ，将其代入预算方程 mxpxp =+ 2211 可知 mxp 5111 = ， mxp 5422 = 。这就是说消费者将 1/5 的收入花费在商品 1 上，将 4/5 的收入花 费在商品 2 上。 6.如果对某消费者来说如果对某消费者来说如果对某消费者来说如果对某消费者来说 ， ，无论征收所得税还是消费税 无论征收所得税还是消费税无论征收所得税还是消费税无论征收所得税还是消费税 ， ，他的状况是一样的 他的状况是一样的他的状况是一样的他的状况是一样的 。 。那么他有什么样 那么他有什么样那么他有什么样那么他有什么样 的偏好类型的偏好类型的偏好类型的偏好类型 ？ ？ 【复习内容 】税收类型对消费者福利的影响 【分析思路 】 本题的解题思路就是猜 。通过教材中的学习可知 ，对于一般形状的无差异曲线 (即偏好为良 好性状时 )，某消费者相对更喜欢所得税一些 。因为与征收消费税相比 ，征收所得税能使消 费者位于更高的无差异曲线上 ，即他的状况更好一些 。请参考教材图 5.9。 因此 ，题目中的消费者 ，他的偏好必然是特 殊类型的 。根据教材中介绍的几种特殊类型的偏 好，多猜几次并简单画图分析一下 ，就可知道他的偏好是完全互补类型的 。事实上 ，也只有 完全互补类型的偏好 ，才能出现题目中所说的现象 。 猜中了答案后 ，要分析一下原因 。首先注意以下两个事实 ：一是如果你对某种税收的规避能 力越强 ，你的状况越好 ；二是从宽泛意义上来说 ，任何两种商品之间总存在着替代性和互补 性。现在考虑这样的问题 ：如果对你消费的两种商品中的其中一种征收消费税 ，那么这两种 商品的替代性越强 （即互补性越弱 ）还是越弱时 ，你对税收的规避能力越强 ？答案显然为替 代性越强时 。如果两商品 价格相同 ，且为 1： 1 完全替代 ，则政府对商品 1 征收消费税 ，对 你的状况毫无影响 ，因为此时你可以选择消费商品 2。 因此题目可以转化为下列问题 ：政府征收所得税 ，你无法规避 ；什么样情形下 ，政府对某种 商品征收消费税你也无法规避 ？答案为这两种商品为完全互补时 。因为两商品若为完全互补 的，可以把它们视为一种商品 。 【参考答案 】 当消费者的偏好为完全互补类型时 ，政府无论征收所得税或消费税 ，他的状况是一样的 。 如下图所示 。如果暂时理解不了这个图也不要紧 ，等学完了第 8 章斯勒茨基方程后再来看这 个图就会豁然开朗 。 曹乾 （东南大学 caoqianseu） 22 6 需求 复习题参考答案 1.如果某消费者只消费两种商品如果某消费者只消费两种商品如果某消费者只消费两种商品如果某消费者只消费两种商品 ， ，而且他总是将钱全部花完 而且他总是将钱全部花完而且他总是将钱全部花完而且他总是将钱全部花完 ， ，那么这两种商品能都是劣等商 那么这两种商品能都是劣等商那么这两种商品能都是劣等商那么这两种商品能都是劣等商 品吗品吗品吗品吗 ？ ？ 【考察内容 】劣等商品的概念 。 【参考答案 】 第一种方法 。 不妨假设该消费者的收入增加 ，增加了 m 。如果他仍然将 m 花完 ，则至少有一种商品的 购买量增加 。根据劣等商品的定义可知 ，这种商品显然不是劣等商品 。由此可见 ，两种商品 不可能都是劣等商品 。 第二种方法 （反证法 ）。 假设这两种商品都为劣等商品 ，由劣等 商品的定义可知 0),( 21 + 。 由 此 可 知 ， 2121 taytaytbxtax + ， 因 此 ),(),( 2121 tytyutxtxu 。根据位似偏好的定义可知 ， 2121 ),( bxaxxxu += 为位似偏好 。证毕 。 3.说明柯布说明柯布说明柯布说明柯布 道格拉斯类型的偏好是位似偏好 道格拉斯类型的偏好是位似偏好道格拉斯类型的偏好是位似偏好道格拉斯类型的偏好是位似偏好 。 。 【考察内容 】柯布 道格拉斯类型的偏好 ；位似偏好 。 【参考答案 】 假设柯布 道格拉斯效用函数为 aa xxxxu = 12121 ),( 。 曹乾 （东南大学 caoqianseu） 23 则 ),()()(),( 21121121112121 xxtuxtxxxtttxtxtxtxu aaaaaaaa = 。 因此 ，若 ),(),( 2121 yyuxxu ，则 ),(),(),(),( 21212121 tytyuyytuxxtutxtxu = ，根据位 似偏好的定义 ，可知柯布 道格拉斯类型的偏好是位似偏好 。证毕 。 4.收入提供曲线对于恩格尔曲线来说收入提供曲线对于恩格尔曲线来说收入提供曲线对于恩格尔曲线来说收入提供曲线对于恩格尔曲线来说 ， ，正如价格提供曲线对于什么曲线 正如价格提供曲线对于什么曲线正如价格提供曲线对于什么曲线正如价格提供曲线对于什么曲线 ？ ？ 【考察内容 】收入提供曲线 ；恩格尔曲线 ；价格提供曲线 ；需求曲线 。 【参考答案 】需求曲线 。 收入提供曲线和恩格尔曲线都是描述收入变动对商品需 求影响的工具 。 收入提供曲线是收入增加时 ，预算线向外平移 ，预算线平移时会产生一系列需求束 ，将这些 需求束连接起来就得到了收入提供曲线 。简单地说 ，收入提供曲线说明了不同收入水平下的 相应的需求束 。 由收入提供曲线可得到恩格尔曲线 。如果我们在上述商品束中 ，关注其中一种商品 （比如商 品 1）的需求与收入变动的关系 ，这就是恩格尔曲线 。当然 ，由两种商品的恩格尔曲线也可 以得到收入提供曲线 。 价格提供曲线和需求曲线都是描述价格变动对商品需求影响的工具 。 价格提供曲线 ：假设只有一种商品 （比如商品 1）价格变动 （商品 2 的价格和消费者的 收入 都不变 ）， 则预算线会随商品的价格变动而转动 ，每一条无差异曲线与相应的预算线相切 ， 把最优点 （即切点 ）连接起来就得动了价格提供曲线 。简单地说 ，价格提供曲线说明了不同 价格水平下相应的需求束 。 由价格提供曲线可得到需求曲线 。在上述需求束中 ，如果我们仅商品 1 的需求与它自身价格 变动的关系 ，这就是商品 1 的需求曲线 。当然 ，由两种商品的需求曲线也可以得到价格提供 曲线 。 5.如果消费者对某两种商品的偏好是凹的如果消费者对某两种商品的偏好是凹的如果消费者对某两种商品的偏好是凹的如果消费者对某两种商品的偏好是凹的 ， ，他会同时消费这两种商品吗 他会同时消费这两种商品吗他会同时消费这两种商品吗他会同时消费这两种商品吗 ？ ？ 【考察内容 】凹偏好 【参考答案 】不会 。凹偏好情形下的最优解为角点解 （ corner solutions） ,因此必然有一种商 品的消费量为 0。请参考第 4 章复习题的第 4 题的解答 。这两个题目完全一样 。 6.汉堡包汉堡包汉堡包汉堡包 （ （ hamburgers） ）和葡萄干 和葡萄干和葡萄干和葡萄干 夹心夹心夹心夹心 小面包小面包小面包小面包 (buns)是互补的还是替代的是互补的还是替代的是互补的还是替代的是互补的还是替代的 ？ ？ 【考察内容 】互补 ；替代 【参考答案 】此题涉及西方人的饮食习惯 。在美国 ，很多人将汉堡包和葡萄干小面包搭配着 吃，因此它们是互补的 。但对于一些人来说 ，它们也可能是互相替代的 。 7.完全互补情形下 ，商品 1 的反需求函数是什么样子的 ？ 曹乾 （东南大学 caoqianseu） 24 【考察内容 】完全互补 ；反需求函数 【参考答案 】假设商品 1 和商品 2 的按 a:b 的比例互补 （ baxx = 2 1 ）， 即 a 单位商品要和 b 单 位商品搭配 。由此可知 21 xxab = 将其代入预算方程 mxpxp =+ 2211 可得商品 1 的反需求函 数为 2 1 11 )( pa b x mxp = . 8.判断对错判断对错判断对错判断对错 。 。如果需求函数为 如果需求函数为如果需求函数为如果需求函数为 11 px = ， ，则反需求函数为 则反需求函数为则反需求函数为则反需求函数为 11 /1 px = . 【考察内容 】需求函数 ；反需求函数 。 【参考答案 】 错误 。由 11 px = 可知其反需求函数为 111 )( xxp = 。 曹乾 （东南大学 caoqianseu） 29 8 斯勒茨基 方程 复习题参考答案 1.假设消费者对两种商品的偏好是完全替代类型假设消费者对两种商品的偏好是完全替代类型假设消费者对两种商品的偏好是完全替代类型假设消费者对两种商品的偏好是完全替代类型 。 。在此情形下 在此情形下在此情形下在此情形下 ， ，你能变动价格使得需求 你能变动价格使得需求你能变动价格使得需求你能变动价格使得需求 总变动全部由收入效应引起吗总变动全部由收入效应引起吗总变动全部由收入效应引起吗总变动全部由收入效应引起吗 ？ ？ 【复习内容 】斯勒茨基替代效应和收入效应 ；完全替代 【解题思 路与参考答案 】 教材中的那个完全替代的例子表明 ，需求的变动完全由替代效应引起 。本题的旨意是打 破你的思维惯性 。 我们知道 ，替代效应 ，粗略地说 ，是指当一种商品比如商品 1 价格变动后 ，如果商品 1 相对 （商品 2）更贵 ，则消费者会减少商品 1 的消费 （即用商品 2 替代商品 1）； 如果商 品 1 相对更便宜 ，则消费者会增加商品 1 的消费 ，即用商品 1 替代商品 2，也就是说减 少商品 2 的消费 。本题要求替代效应为 0，即什么情形下不能再减少商品 2 的消费 ？答 案显然为商品 2 的消费量已经为 0，因为我们要求消费量不能为负 。 这就是说如果两种商品是 1： 1 完全替 代的 ，而且商品 1 的价格低于商品 2 的价格 ，则 消费者只会消费商品 1。现在令商品 1 的价格下降 ，消费者仍然只会消费商品 1，但商 品 1 消费量的增加完全由收入效应引起 ，因为商品 2 的消费量原本已为 0，不可能再用 商品 1 替代商品 2。由下图表示 。 上图表示 ， 1： 1 完全替代情形下 ，因为商品 1 的价格低于商品 2，消费者只会消费商品 1， 现在商品 1 的价格下降 ，消费者仍然只会消费商品 1。 商品 1 消费量的增加全部由于预算线平移 （由虚线表示的预算线平移到最终预算线 ）引起 ， 这正是收入效应 。所以该情况下 ，商品 1 消费量的总变动完全由收入效应引起 。 2.偏好为凹的情形下偏好为凹的情形下偏好为凹的情形下偏好为凹的情形下 ， ，替代效应还为负吗 替代效应还为负吗替代效应还为负吗替代效应还为负吗 ？ ？ 【复习内容 】凹偏好 ；替代效应 曹乾 （东南大学 caoqianseu） 30 【解题思路与参考答案 】 注意对替代效应的理解 。最好这样理解 “替代效应恒为负 ”：如果存在替代效应 （即替 代效用不为 0）， 则替代效应使商品需求量的变动方向与价格变动方向相反 。 如果你注意到了完全替代类型的偏好 （效用函数为线性函数 ）既是凹偏好又是凸偏好 （请 根据定义自行证明 ）， 那么你至少已经举出一个凹偏好情形下替代效应为负的例子 。请 参考教材本章中的那个完全替代的例子 。 其实 ，即使在凹偏好的情形下 ，替代效应也恒为负 。 可以画图分析 ，见下图 。该图 形与教材图 8.5 几乎完全相同 ，区别在于此处我们用凹偏 好（无差异曲线向下凹 ）代替了图 8.5 的线性无差异曲线 ，解释几乎也相同 。 由于凹偏好意味着端点束好于平均束 ，因此凹偏好情形下必有一种商品的消费量为 0 （请参考第 6 章复习题第 5 题）。 在我们画出的上图中 ，起初商品 1 的消费量为 0，消 费者只消费商品 2。现在假设商品 1 价格下降后 ，商品 1 相对商品 2 更便宜 ，则消费者 只会消费商品 1，商品 2 的消费量为 0。在图形中可以可出 ，商品 1 需求量的总变动完 全由预算线转动引起 ，也就是说需求量总变动完全由替代效应引起 。商品 1 价格下降 ， 替代 效应使商品 1 需求量增加 ，因此替代效应符号为负 。 3.在教材汽油税的例子中在教材汽油税的例子中在教材汽油税的例子中在教材汽油税的例子中 ， ，如果退税的依据是他们汽油初始消费量 如果退税的依据是他们汽油初始消费量如果退税的依据是他们汽油初始消费量如果退税的依据是他们汽油初始消费量 x 的多少的多少的多少的多少 ， ，而不是最 而不是最而不是最而不是最 终消费量终消费量终消费量终消费量 x， ，结果会如何 结果会如何结果会如何结果会如何 ？ ？ 【复习内容 】征税与退税对消费的影响 【解题思路与参考答案 】 如果政府按初始汽油消费量退税 ，则对于汽油消费量为 x 的某个既定的消费者来说 ，这 意味着他得到的退税额 tx，其中 t 为单位税额 。 曹乾 （东南大学 caoqianseu） 31 由于征税相当于汽油价格提高 ，但现在政府给他 “补贴 ”（退税 ） tx元，因此该消费者 恰好还能买得起原来的需求束 。从教材中可知将预算线变动分解为转动和平移 ，分别对 应着替代效应和收入效应 。政府的上述做法恰好相当于抵消了收入效应 ，因此总效应等 于替代效应 ，而替代效应恒为负 ，又因征税相当于汽油价格提高 ，所以他的汽油需求量 会减少 。 最容易的理解思路是首先分析政府只征税 不退税不退税不退税不退税 的情形 。图形分析如下 ，如果政府只征 税不退税 ，这就等价于汽油 (商品 1)价格升高 。假设原需求束为 X，价格升高后需求束 变为 Z。我们要将需求量的变动分解为两部分 。 商品 1 价格升高 ，为了得到纯替代效应 ，必须 假定假定假定假定 补偿他一些资金使得他恰好还能买得 起原需求束 ，补偿金额为 tx。这样原预算线 （黑线 ）转动 转动转动转动 到补偿预算线 （蓝色虚线 ）， 此时需求束为 Y。由于商品 1 价格升高 ，他的收入相当于 减少减少减少减少 ，因此将补偿预算线向左 平行移动平行移动平行移动平行移动 到最终预算线 ，此时需求束为 Z。由图可以看出 ，替代效应和收入效应都使汽 油的需求量下降 。 然而在本题中 ，政府 的确给与的确给与的确给与的确给与 消费者补贴 （退税额为 tx）， 因此如果继续上面的变化过 程，可以看到最终预算线又返回到补偿预算线 ，因此此时消费束为 Y。这就表明商品 1 价格升高的收入效应被政府的退税政策抵消了 ，剩下的是纯粹的替代效应 。 4.在上题中在上题中在上题中在上题中 ， ，政府退税总额大于还是小于它的税收收入 政府退税总额大于还是小于它的税收收入政府退税总额大于还是小于它的税收收入政府退税总额大于还是小于它的税收收入 ？ ？ 【复习内容 】征税与退税对消费者的影响 【参考答案 】由上题可知道 ，对汽油征税后又退税 ，消费者对汽油的消费量会下降 ，即 xx ，所以 txxt r ，这意味着第 1 期的消费更贵 ，因此消费者在第 1 期的选择应该是不消费 ，而这是不 可能的 ，因为不吃不喝他活不到第 2 期。 但这个结论并非绝对 。因为如果 0=r 时，即两个时期消费的价格相等时 ，完全替代的偏好 仍然是可能的 。请读者补充原因 。 曹乾 （东南大学 caoqianseu） 37 4.某消费者最初为放款人某消费者最初为放款人某消费者最初为放款人某消费者最初为放款人 ， ，利 利利 利率下降后他仍然选择作为放款人 率下降后他仍然选择作为放款人率下降后他仍然选择作为放款人率下降后他仍然选择作为放款人 ， ，他的状况变好还是变坏了 他的状况变好还是变坏了他的状况变好还是变坏了他的状况变好还是变坏了 ？ ？ 如果利率下降后他决定变为借款人如果利率下降后他决定变为借款人如果利率下降后他决定变为借款人如果利率下降后他决定变为借款人 ， ，他的状况变好还是变坏了 他的状况变好还是变坏了他的状况变好还是变坏了他的状况变好还是变坏了 ？ ？ 【复习内容 】利率变动的比较静态分析 【参考答案 】 第一问的答案很直观 ，他的状况必定变坏 ，除非他讨厌钱 。第二问的答案需要稍微想一下 。 我们借助图形把这两个问题说一遍 。 如果该消费者最初为放款人 （左图 ）， 则他的选择一定位于 1m 点的左边 。不妨用 X 表示他 的最初选择 。当利率下降后 ，预算线变得更平坦 。如果他还继续作为放款者 ，那么在新预算 线上 ，他的选择也必定位于 1m 点的左边 ，不妨假设他的新选择为 Y。 由于 Y 在原预算线下方 ，这意味着利率下降前 ，消费者原本可以选择 Y，但他没选 Y 而是 选择了 X，根据显示偏好理论可知 ，消费者一定更喜欢 X。但在利率下降后 ， X 已经买不起 ， 所以消费者的状况变差 。 如果利率下降后 ，该消费者决定变为借款人 （由图 ）， 这意味着他的选择 1m 点的右边 ，不妨 记为 Z。当消费者选择 X 时，他买不起 Z；当他选择 Z 时，他买不起 X。因此 ，此种情况下 ， 我们无法比较 X 和 Z 哪个更好 ，也就是说消费者的状 况变好还是变坏 ，我们无法判断 。 5.若利率为若利率为若利率为若利率为 10%， ，一年后的 一年后的一年后的一年后的 100 元钱的现值是多大元钱的现值是多大元钱的现值是多大元钱的现值是多大 ？ ？如果利率是 如果利率是如果利率是如果利率是 5%呢呢呢 呢？ ？ ？ 【复习内容 】现值 【参考答案 】 91.90%101 1%10 =+=PV 元； 24.95%51 1%5 =+=PV 元。 曹乾 （东南大学 caoqianseu） 53 16 均衡 复习题参考答案 1.如果某市场的供给曲线是水平的如果某市场的供给曲线是水平的如果某市场的供给曲线是水平的如果某市场的供给曲线是水平的 ， ，那么补贴将有什么效应 那么补贴将有什么效应那么补贴将有什么效应那么补贴将有什么效应 ？ ？如果供给曲线是垂直的呢 如果供给曲线是垂直的呢如果供给曲线是垂直的呢如果供给曲线是垂直的呢 ？ ？ 【复习内容 】特殊情形下 （供给曲线水平时以及供给曲线为垂直时 ）的市场均衡 ；税收 （补 贴）的转嫁 ；比较静态分析 如果某行业的供给曲线是水平的 ，这意味着该行业在 某既定的价格水平处能提供它想提供的 任何数量 ，但是如果市场价格低于上述价格水平 ，它的供给量为零 。在这种情形下 ，价格完 全由供给曲线决定 ，销量完全由需求曲线决定 。如果某行业的供给曲线是垂直的 ，这意味着 它供给的数量是固定不变的 。此种情形下 ，均衡价格完全由需求曲线决定 。 税收 （补贴 ）转嫁程度取决于供给曲线相对于需求曲线的斜率 。 【参考答案 】 假设政府向生产者给与补贴 。其实补贴和税收类似 ，都是对交易行为进行的 ，因此涉及转嫁 。 为了分析的方便 ，我们假设给与生产者补贴 ，这样 ，补贴影响的是供给曲线的移动 。当然你 也可以假设补贴是 补贴给消费者的 ，但该情形下 ，补贴影响的是需求曲线的移动 。 在供给曲线水平 （即具有完全弹性 ）的情形下 ，如果对生产者给与补贴 ，则供给曲线向下移 动，则消费者支付的价格下降了 ，下降额度恰好等于单位补贴 b 。供给价格和补贴前的供给 价格相等 ，消费者最终获得了全部补贴 （见下图 A）。 供给曲线垂直 （即完全无弹性 ）的情形下 ，如果我们 “将供给曲线向下移动 ”，则我们什么 也没改变 。供给曲线沿着自身向下移动 ，商品的供给数量没变 。由上图 B 可知 ，政府给予 生产者补贴后 ，消费者支付的价格仍然为 *p ，因此生产者 （供给者 ）得到了全部补贴 。 2.假设需求曲线是垂直的但供给曲线是向上倾斜的假设需求曲线是垂直的但供给曲线是向上倾斜的假设需求曲线是垂直的但供给曲线是向上倾斜的假设需求曲线是垂直的但供给曲线是向上倾斜的 ， ，如果征税 如果征税如果征税如果征税 ， ，那么谁是税收的最终承担 那么谁是税收的最终承担那么谁是税收的最终承担那么谁是税收的最终承担 者者者 者？ ？ ？ 曹乾 （东南大学 caoqianseu） 54 【复习内容 】市场均衡 ；税收转嫁 ；比较静态分析 税收转嫁程度取决于供给曲线和需求曲线的相对倾斜程度 。谁越平坦 （谁的弹性越大 ）意味 着谁对税收的规避能力越强 ；谁越陡峭 （谁的弹性越小 ）意味着谁的税收规避能力越弱 。 【参考答案 】 请见上图 。由于需求曲线是垂直的 ，即需求曲线完全无弹性 ，这意味着需求者对税收的规避 能力为 0；而供给曲线是向上倾斜的 ，意味 着供给者具有一定的税收规避能力 。 为方便论述 ，假设政府对消费者征税 ，则需求曲线会向下移动 。由于本题中的需求曲线为垂 线，因此需求曲线向下移动意味着需求曲线 “原地不动 ”。征税之前生产者得到的价格为 p*， 征税之后 ，生产者得到的价格仍为 p*，这意味着税收完全由消费者承担 。 3.假设所有消费者都认为红铅笔和蓝铅笔是假设所有消费者都认为红铅笔和蓝铅笔是假设所有消费者都认为红铅笔和蓝铅笔是假设所有消费者都认为红铅笔和蓝铅笔是 1:1 完全替代的完全替代的完全替代的完全替代的 ， ，假设红铅笔的供给曲线是向上 假设红铅笔的供给曲线是向上假设红铅笔的供给曲线是向上假设红铅笔的供给曲线是向上 倾斜的倾斜的倾斜的倾斜的 。 。令红铅笔和蓝铅笔的价格分别为 令红铅笔和蓝铅笔的价格分别为令红铅笔和蓝铅笔的价格分别为令红铅笔和蓝铅笔的价格分别为 rp 和和和 和 bp 。 。如果政府只对红铅笔征税 如果政府只对红铅笔征税如果政府只对红铅笔征税如果政府只对红铅笔征税 ， ，结果将 结果将结果将结果将 是怎是怎是怎是怎 样的样的样的样的 ？ ？ 【复习内容 】完全替代 ；需求具有完全弹性 ；征税的效应 【参考答案 】 假设政府对每支红铅笔征税 t 元。由于红铅笔的供给曲线是向上倾斜的 ，也就是说供给具有 一定的价格弹性 ，生产者通常承担部分税收 ，除非红铅笔的需求具有完全弹性 （需求曲线水 平）， 这种情形下生产者才会承担全部税收 。 不妨假设消费者承担的税额为 at ，其中 a 为常数且 1,0a 如果 br patp + ，则消费者只 会购买蓝铅笔 ，这时生产红铅笔的企业会退出市场或者改成生产蓝铅笔 。 如果 br patp =+ ，那么消费者对红铅笔和蓝铅笔的需求是任意的 ，这意味着在这种情形下 ， 红铅笔的需求曲线为一条水平线 。既然是一条水平线 ，这说明此时红铅笔的需求具有完全弹 性。因此 ，税收将由生产者完全承担 ，即 0=a 。 曹乾 （东南大学 caoqianseu） 55 4.美国石油需要量中大美国石油需要量中大美国石油需要量中大美国石油需要量中大 约有一半是进口的约有一半是进口的约有一半是进口的约有一半是进口的 。 。假设外国石油生产者能够以 假设外国石油生产者能够以假设外国石油生产者能够以假设外国石油生产者能够以 25 美元每桶的价格美元每桶的价格美元每桶的价格美元每桶的价格 供给美国想要的任何数量供给美国想要的任何数量供给美国想要的任何数量供给美国想要的任何数量 。 。如果对美国对进口的国外石油征收 如果对美国对进口的国外石油征收如果对美国对进口的国外石油征收如果对美国对进口的国外石油征收 5 美元每桶的税美元每桶的税美元每桶的税美元每桶的税 ， ，美国国 美国国美国国美国国 产产产 产 石油价格将会怎样变化石油价格将会怎样变化石油价格将会怎样变化石油价格将会怎样变化 ？ ？ 【复习内容 】供给具有完全弹性 ；征税的效应 【参考答案 】美国国产石油价格将为 30 美元 /桶。 题目中 “假设外国石油生产者能够以 25 美元每桶的价格供给美国想要的任何数量 ”这 句话意味着 ，国外石油的供给曲线是一条水平线 ，即 p=25。 由于美国对石油的需求不可能具有完全弹性 ，最有可能是具有通常的负斜率 ，因此综合 以上的供给曲线和需求曲线可知 ，政府对国外石油的征税 5 美元 /桶，完全由美国国内的消 费者承担 。这意味着进口石油在美国的市场价格 （含税价 ）位 30 美元 /桶。 由于对于美国国内的消费者来说 ，进口石油和国产石油是完全替代的 ，因此国产石油价 格必然也为 30 美元 /桶。这是因为若国产石油价格低于 30 美元 /桶，则消费者只会消费国产 石油 ，因此将国内价格一直抬升到 30 美元为止 ；若美国国产石油价格高于 30 美元 /桶，则 国内石油的需求量为零 。 5.假设供给曲线是垂直的假设供给曲线是垂直的假设供给曲线是垂直的假设供给曲线是垂直的 ， ，那么征税引起的净损失是多少 那么征税引起的净损失是多少那么征税引起的净损失是多少那么征税引起的净损失是多少 ？ ？ 【复习内容 】供给完全缺乏弹性 ；征税效应 【参考答案 】征税引起的净损失为零 。 由于供给曲线 是垂直的 ，这意味着供给完全缺乏弹性 ，在需求曲线具有正常斜率的情况下 ， 税收完全由生产者承担 ，税收没有影响企业的产量 。既然没有影响企业的产量 ，因此征税引 起的净损失为零 。 如果你喜欢用总剩余的变动衡量税收的净损失 ，这种方法也可以 。不妨假设政府对生产者征 税，那么供给曲线会 “向下 ”移动 ，由于供给曲线垂直 ，“向下 ”移动意味着供给曲线的位 置根本没发生变化 。 曹乾 （东南大学 caoqianseu） 102 27 寡头垄断 复习题参考答案 1.假设有两假设有两假设有两假设有两 个企业个企业个企业个企业 ， ，这两个企业面对的需求函数为线性的 这两个企业面对的需求函数为线性的这两个企业面对的需求函数为线性的这两个企业面对的需求函数为线性的 ， ，即 即即 即 bYaYp =)( ， ，再假设每个 再假设每个再假设每个再假设每个 企业的边际生产成本都恒为常数企业的边际生产成本都恒为常数企业的边际生产成本都恒为常数企业的边际生产成本都恒为常数 c 。 。求古诺均衡的产量 求古诺均衡的产量求古诺均衡的产量求古诺均衡的产量 。 。 【复习内容 】古诺均衡 我们只分析最简单的古诺模型 ，即只有一个时期而不是多时期的模型 。在这个模型中 ， 每个企业必须预测对方选择的产量 。给定它对其他企业产量的预测 ，每个企业选择自己的利 润最大化产量 。于是我们可以求解预测产量的均衡 ，即在均衡时 ，每个企业发现它对对方的 曹乾 （东南大学 caoqianseu） 103 预期是正确的 。 假设一开始企业 1 预期企业 2 的产量为 ey2（上标 e 表示预期 ）。 如果企业 1 决定生产 1y 单位产品 ，则它可以预期到总产量为 eyyY 21 += ，这个总产量将使市场价格为 ).()( 21 eyypYp += 企业 1 的利润最大化问题为 ).()(max 1121 1 ycyyyp e y + 对于企业 2 产量的任何一个预测 ey2 ，企业 1 都会相应作出产量的最优选择 1y 。我们将 企业 2 的预期产量与企业 1 的最优产量选择之间的关系 ，用下式表示 )( 21 eyfy = . 这个函数就是我们前面分析过的反应函数 。注意 ，这里的反应函数将一个企业的最优产量决 策看成它对另外一个企业决策 预期 （ belief）的函数 。 类似地 ，我们可以推出企业 2 的反应函数 : )( 12 eyfy = . 现在 ，我们知道每个企业在选择自己的产量水平时 ，都是 假设假设假设假设 对方的产量为 ey1 或 ey2 的。 但是要注意 ， ey1 或 ey2 只是预期值 ，一般来说它们和两企业的实际最优产量是不相等的 ，即 eyy 11 ， eyy 22 。 我们最终想找到一个产量组合 ),( *2*1 yy 使得 ：企业 1 在假定企业 2 的产量为 *2y 时，它 选择最优产量就是 *1y ；而且企业 2 在假定企业 1 的产量为 *1y 时，它选择的最优产量就是 *2y 。 也即是说 ，产量组合 ),( *2*1 yy 满足 )( *21*1 yfy = )( *12*2 yfy = . 这样的一组产量组合叫做一个 古诺均衡 。在古诺均衡中 ，给定每个企业对另外一个企 业的预期产量 ，每个企业都实现了利润最大化 ；而且 ，这些预期产量在均衡时恰好就是实际 最优产量 ：每个企业实际选择的最优产量就是另外一个企业对它估计的预期产量 。 【参考答 案】 假设在均衡时两个企业的产量分别为 1y 和 2y 。 根据古诺均衡的两个特点 （一是均衡时 ，每个企业选择的产量都使得自己的利润最大化 ；二 是均衡时 ，每个企业实际选择的最优产量恰好等于另外一个企业对它估计的预期产量 。） 可 知 )( 211 yfy = )( 112 yfy = . 这两个函数分别为企业 1 和 2 的反应函数 ，因此关键是求出反应函数 。 曹乾 （东南大学 caoqianseu） 104 企业 1 的利润最大化问题是 11211121 )()()(max 1 cyyyybaycyyyp y +=+ 这个最大化问题的一阶条件为 02 21 = cbybya 整理可得企业 1 的反应函数 ).(21)( 2211 bycabyfy = 类似地可以求出企业 2 的反应函数 ).(21)( 1112 bycabyfy = 联立以上两个式子可得 b cayy 321 = . 因此 ，古诺均衡时每个行业的产量为 bcayy 321 = ，行业产量为 b cayy 3 )(221 =+ . 2.假设一个卡特尔中每个企业的边际成本都相等假设一个卡特尔中每个企业的边际成本都相等假设一个卡特尔中每个企业的边际成本都相等假设一个卡特尔中每个企业的边际成本都相等 ， ，而且恒为某个常数 而且恒为某个常数而且恒为某个常数而且恒为某个常数 。 。如果该卡特尔已实现 如果该卡特尔已实现如果该卡特尔已实现如果该卡特尔已实现 了行业利润的最大化了行业利润的最大化了行业利润的最大化了行业利润的最大化 ， ，那么这
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