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一元二次方程的复习一、知识结构：二、知识回顾1、一元二次方程的定义：一元二次方程的一般式：2、一元二次方程的解法有：、3、一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式：其中配方法的步骤为：4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式为：方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根方程ax2+bx+c=0有两个相等的实根2方程ax2+bx+c=0没有实数根5、一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根x1,x2与系数的关系为专题（一）一元二次方程的概念例1、下列方程中是x的一元二次方程的有（）（1）x2cx11-+1=0（2）+2x=（3）x+3=0(4)x2=1aax5(5)mx2+x+n=0(6)(x+2)2-1=(x+1)2（7）x2+2x4-5=0（8）px2+qx-1=0（9）xy-x+1=0归纳：方程ax2+bx+c=0是一元二次方程的三个要素：（1）（2）（3）。例2、（1）已知关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值是第1页x（2）关于x的方程（m+2）2+3m2x+m2-4=0有一个根为0，则2m2-4m+3的值是（3）已知关于x的方程(a2-9)x2+(a-3)x+5=0,当a=时是一元一次方程，当a时是一元二次方程。（4）关于x的方程(m-3)xm2-7-x+3=0是一元二次方程，则m=归纳：方程ax2+bx+c=0是一元一次方程的条件为；是一元二次方程的条件是。例3、（1）不解方程2x2+(3-4)x-23=0,求两根之和与两根之积。（2）已知方程2x2+mx+3=0的一个根是12，求另一个根及m的值。（3）设方程4x2-7x-3=0的两根为x1,x2,不解方程求下列各式的值。（x1-3）（x2-3）x+1x-xx2x+1x+11122（3）已知a,b满足方程a2-2a-1=0，b2-2b-1=0，求a例4、（1）求以(3+1),(3-1)为根的一元二次方程。（2）求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x2+2x-3=0的各根的负倒数。b+的值。ba（4）已知m,n是一元二次方程x2-3x+1=0的两根，求代数式2m2+4n2-6n+2019的值。5例（1）若关于x的方程x2-2(a-1)x-(b+2)2=0有两个相等的实根。求a2019+b3的值。求作以a,b为根的一元二次方程。（2）在斜边为10的RtABC中，C=900，两条直角边a,b是方程x2-mx+3m+6=0的两根，求m的值。（3）已知关于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-12)=0求证：无论k取何值，这个方程总有实数根。若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边的长b,c恰好是这个方程的两根，求ABC的周长。第2页（4）ab1，且5a2+2005a+7=0,7b2+2005b+5=0，求ab例6（1）不解方程，判断下列方程根的情况的值。5x(5x-2)=-12x2=3x-24x(x+1)-3=0(10)x2-6x-7=0(11)2(2)设m为实数，求证方程(x-1)(x-2)=m2有两个不相等的实数根。（3）a为何值时，方程2ax2+(8a+1)x+8a=0有两个实数根。专题二：一元二次方程的解法例1、用适当的方法解下列方程：（1）2x2+4x-9=0（配方法）(2)3x2=-6x+8（配方法）(3)9(x-3)2-49=0（4）（2x-3）2=9（2x+3）2(5)x2-8x+6=0(6)(x+2)(x-1)=10（13）x2-625=0(7)2x2-5x-2=0(8)(2x-1)2+3(1-2x)=0(9)(1-3x)2=16(2x+3)2(14)3x2-23x+1=011x2-x-=0(12)(4x-1)2-3(1-4x)-4=0362例2（1）已知一个直角三角形的两直角边的长恰是方程2x2-8x+7=0的两根，则这个直角三角形的斜边长是（2）已知三角形的两边长分别是1和2，第三边的长为2x2-5x+3=0的根，则这个三角形的周长是（3）当x=时，x2+3x与x+15既是最简根式又是同类根式。（4）t=2-3x2+12x-9，则t的最大值为，最小值为。例2、已知二次三项式9x2-(m+6)x+m-2是一个完全平方式，求m的值。例3（1）若(2x-1)2=1-m有实数解，则m-1=（2）函数y=x4+x2+1的最小值是（3）已知a+b-2a-1-4b-2=3c-3-1c-5,则a+b+c=2第3页专题（三）一元二次方程的应用例1、某商店如果将进货为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，通过一段时间的摸索，该店主发现这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，每降价0.5元，其销售量就增加10件。（1）你能帮助店主设计一种方案，使每天的利润达到700元吗？（2）将售价定为每件多少元时，能使这天所获得的利润最大？最大利润是多少？例2、在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长）用28米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边）设AB=x米（1）若花园的面积为192m2,求x的值（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值。例3、如图，正方形ABCD的边长为12，划分成1212个小正方形格。将边长为n（n为整数，且2n11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式黑白相间的摆放，第一张nn的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的nn个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n-1)(n-1)的正方形。如此摆放下去，最后直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止。请你认真观察思考后回答下列问题：（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，完成摆放时所用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2当n=2时，求S1:S2的值是否存在使得S1=S2的n的值，若存在，求出n,若不存在，说明理由。4、已知ABC中，C90，AC=3，BC=4，点E在AC上，E与A、C均不重合.若点F在AB上，且EF平分ABC的周长，设AE=x，用含x的代数式表示AEF;若点F在折线ABC上移动，是否存在直线EF将ABC的周长与面积同时平分？第4页
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