巧解圆中最值问题(共5页)

巧解圆中的最值问题 求最值是常见的数学问题，几何最值又是各地中考中的热门话题.随着直线型问题逐渐被我们熟悉，圆中的最值问题也走进了我们的视野. 基本模型 如图1、2，平面内有一定点和一动点,点的运动轨迹是圆，连结并延长，分别交圆于两点，则为的最小值，为的最大值，即最小值为，最大值为. 类型1 定点定长定圆例1 如图3，在中，将绕顶点顺时针旋转，得到，分别是的中点，连结，则旋转时长度的最大值是( ).(A) (B) (C) (D) 分析连结，点是定点，点是动点，欲求长度的最大值，就得知道的运动轨迹.在这里，可以利用点是斜边的中点，得出是定值，到定点的距离等于定值，由圆的定义可以联想到运动轨迹是圆.再结合基本模型，可以得出长度的最大值为，所以选D. 例2 (2015年宁波考纲)如图4，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，过，画直线，并连结. (1)求二次函数的解析式和直线的解析式. (2)点是线段上的一点，过点作内接正方形，使得边落在轴上，点在上，交轴于点. 求该正方形的边长; 将线段延长，交抛物线于点，那么点是的中点吗?请说明理由. (3)在(2)的条件下，将线段绕点旋转，在旋转的过程中，点始终为的中点，请直接写出线段的最大值.分析 (1)二次函数解析式为直线解析式为(2)，不是；(3)本题中，是定点，是动点，取的中点，连结，由题意，得所以的运动轨迹是一个以为圆心，为半径的圆，所以的最大值为类型2 定线定角定圆例3 (2016年宁波考纲)如图5，在等腰中，点为等腰所在平面内一点，且满足，则的取值范围为 . 分析 根据条件可知线段是定值，且所对的张角是定值，根据同弧所对的圆周角相等可知，动点的运动轨迹在过点三点的圆周上(不与重合). 又因为，所以恰好是直径。连结并延长交圆分别为，故最小，最大，所以的取值范围为 例4 (2013年武汉中考题)如图6，、是正方形的边上两个动点，满足，连结交于点，连结交于点。若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是 。 分析在确定动点的轨迹时，需要我们先去证明。因为，易证，得到，由正方形对称性可知，得到，所以. 再考虑到、是边上两个动点，所以动点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆，连接，故可求得长度的最小值是. 例5 (2016年宁波考纲)如图7，半径为3 , 的顶点，在上，点在内，且，当点在圆上运动时，的最小值为（ ）(A) (B) (C) (D) 分析 是定点，是动点，确定点的运动轨迹是本题的难点.延长交圆于点,连结并延长，交圆于点，连结. 因为，所以为定值，即为定值. 因为半径为3，所以，符合定线定角定圆这种类型，故点的运动轨迹是过三点的圆弧且在内部. 不妨设圆心为，连结，因为所以易得所以为直角三角形，且因为所以所以最小值为例6 (2016年宁波考纲)边长为3的等边的顶点在轴的正半轴上移动，顶点在射线上移动，则顶点到原点的最大距离为 . 分析 此题定点是点，动点是点，尽管是确定的，但由于点都是在动的，故确定点的运动轨迹时难度仍较大. 不妨换个角度来看问题，正难则反，把正看成是不动的，此时平面直角坐标系在动，原点在运动时满足，而所对的边是不变的，符合定线定角定圆这种类型，所以点的运动轨迹是过点三点的圆弧(优弧上)，取圆心，连结 因为，所以 , 即是边长为2的正三角形，.连结并延长，交圆于点，此时最大，最大值为 从上面的几个例子中可以发现，模型中难度最大的就是如何判断动点的运动轨迹是一个圆.尽管不外乎利用定点定长和定线定角来定圆这两种类型，但在实际的解题过程中，会遇到各种困难，这时就需要我们利用题目的已知条件，挖掘潜在的结论，把隐藏在里面的圆还原出来.