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数学归纳法平遥中学平遥中学 史宏刚史宏刚 nn-1k+1k321问题问题1 1：一个盒子里有十个乒乓球，请几个同学从一个盒子里有十个乒乓球，请几个同学从盒中分别摸出一个球，并判断乒乓球的颜色盒中分别摸出一个球，并判断乒乓球的颜色,由此由此猜想这盒子中所有乒乓球的颜色猜想这盒子中所有乒乓球的颜色 1)1)这个猜想对吗？这个猜想对吗？2)2)怎样判断这个猜想是对的？怎样判断这个猜想是对的？3)3)为什么可以一个一个摸出来看？为什么可以一个一个摸出来看？4)4)如果是无限的呢？如果是无限的呢？情境一、情境一、“摸球实验摸球实验”容易验证容易验证 a a1 1=1,a=1,a2 2=1,=1,a a3 3=1,=1,如果由此作出结论：如果由此作出结论：对于一切对于一切nNnN*，a an n=(n=(n2 2-5n+5)-5n+5)2 2=1=1都成立，那么就都成立，那么就错了，因错了，因a4=1,a5=251 【结论】由上面两个例子看出：由几个特殊的事例由上面两个例子看出：由几个特殊的事例得出一般的结论有时是对的，有时是错的，只有经得出一般的结论有时是对的，有时是错的，只有经过严格的证明，不完全归纳得出的结论才是正确的过严格的证明，不完全归纳得出的结论才是正确的情境二：情境二：问题问题2 2：一个数列的通项公式是一个数列的通项公式是a an n=(n=(n2 2-5n+5)-5n+5)2 21 1）分别求）分别求a a1 1 ；a a2 2；a a3 3；2 2）由此猜想出）由此猜想出a an n的值？这个猜想正确吗？的值？这个猜想正确吗？完全归纳法完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推把研究对象一一都考查到了而推 出结论的归纳法称为完全归纳法；出结论的归纳法称为完全归纳法；不完全归纳法不完全归纳法:根据事物的部分根据事物的部分(而不是全部而不是全部)特例得出一般结论的推理方法特例得出一般结论的推理方法.归纳法：由一些特殊事例得出一般结论的推理方归纳法：由一些特殊事例得出一般结论的推理方法，法，分为分为完全归纳法完全归纳法和和不完全归纳法不完全归纳法。不完全归纳法的缺憾之处：仅根据一系列有限的不完全归纳法的缺憾之处：仅根据一系列有限的特殊事例得出一般结论是要冒很大风险的，因为特殊事例得出一般结论是要冒很大风险的，因为有可能产生不正确的结论。有可能产生不正确的结论。问题问题3 3在数列在数列an 中，中，a1=1,先计算先计算a2,a3,a4的值，再推测通的值，再推测通项项an 的公式的公式.nnnaaa11解：解：naaaan1,41,31,21432问题问题4 4对小于对小于6的自然数的自然数n，不等式，不等式 成立成立吗吗？)97(673nn解解：264 49n=5222 7n=4180 1n=3138 n=296 n=16(7n+9)大小关系4917137n对小于对小于6的自然数的自然数n,不等式成立不等式成立.（不完全归纳法）（不完全归纳法）（完全归纳法）（完全归纳法）下面看一个比较熟悉的数学问题：下面看一个比较熟悉的数学问题：等差数列的通项公式：等差数列的通项公式：回顾等差数列通项公式推导过程：回顾等差数列通项公式推导过程：1(1)naand 213214311 23 (1)na a da a d ada a d ada and 猜 想问题问题5 5：这个猜想对吗？这个猜想对吗？怎样证明？怎样证明？有没有更好的方法呢？有没有更好的方法呢？归纳与证明：归纳与证明：第一个正式研究此课题的是意大利科学家莫罗利科第一个正式研究此课题的是意大利科学家莫罗利科如何证明由不完全归纳法得到的一般结论？如何证明由不完全归纳法得到的一般结论？条件条件1 1：第一块要倒下：第一块要倒下;条件条件2 2：当前面一块倒下时，后面一块必须倒下：当前面一块倒下时，后面一块必须倒下 请请思思考考：满满足足什什么么样样的的条条件件才才能能使使骨骨牌牌全全部部倒倒下下？n nn n-1 1k k+1 1k k3 32 21 1是否满足这两个条件就可以保证所有是否满足这两个条件就可以保证所有的骨牌倒下？的骨牌倒下？多米诺骨牌2010.flv问题问题6 6 由 条 件2 由条件1 由 条 件2 由 条 件2 第第1 1块倒下块倒下 第第2 2块倒下块倒下 第第3 3块倒下块倒下 第第n n块倒下块倒下 所有的骨牌全部倒下所有的骨牌全部倒下 由条件 2 骨牌是骨牌是1 1块，块，2 2块，块，,无数块无数块,而而我们要证的等差数列的通项公式也是我们要证的等差数列的通项公式也是要证明要证明 成立成立,那么是否那么是否可将多米诺骨牌游戏的原理类比到与可将多米诺骨牌游戏的原理类比到与正整数有关的数学命题上？正整数有关的数学命题上？1,2,nn多米诺骨牌游戏的原理多米诺骨牌游戏的原理 与正整数有关的数学命与正整数有关的数学命题题 (1)(1)第一块要倒下第一块要倒下 (1)n=1(1)n=1时命题成立时命题成立 (2)(2)当前面一块倒下时，当前面一块倒下时，后面一块必须倒下后面一块必须倒下;(2)(2)假设假设n=k(k1,kn=k(k1,k N N*)成立，则成立，则n=k+1n=k+1时结论也时结论也成立。成立。根据根据(1)(1)和和(2),(2),可知无论可知无论多少块骨牌都能全部倒多少块骨牌都能全部倒下下 根据根据(1)和和(2),可知对任意可知对任意的正整数的正整数n*，命题都成立，命题都成立v(1)n=1时命题成立；时命题成立；v(2)假设假设n=k(k1,kn=k(k1,k N N*)成立，成立，v则则n=k+1n=k+1时结论也成立。时结论也成立。v我们把用这种模式来证明与正整数有关我们把用这种模式来证明与正整数有关的数学命题叫作数学归纳法。的数学命题叫作数学归纳法。进一步总结数学归纳法的两个步骤：进一步总结数学归纳法的两个步骤：下面解释一下用数学归纳法来证题是可行的，有效的：下面解释一下用数学归纳法来证题是可行的，有效的：由 条 件2 由条件1 由 条 件2 由 条 件2 n=1n=1成立成立n=2n=2成立成立n=3n=3成立成立所有的正整所有的正整数数n n都成立都成立 2.2.假设假设n=kn=k成立的依据成立的依据 根据第根据第1 1步，步，n=1n=1成立，取成立，取k=1k=1，这时假设，这时假设n=k=1n=k=1成立就不是假成立就不是假设而是一个已经成立的事实了，再根据第设而是一个已经成立的事实了，再根据第2 2步，由步，由n=k=1n=k=1成立成立就可推出就可推出n=k+1=1+1n=k+1=1+12 2成立，再取成立，再取k k2 2，这时假设，这时假设n=k=2n=k=2成立成立就不是假设而是一个已经成立的事实了；如此取下去，每一就不是假设而是一个已经成立的事实了；如此取下去，每一个假设个假设n=kn=k成立都是有依据的。成立都是有依据的。所以用数学归纳法来证明数学问题是有效的和可靠的，所以用数学归纳法来证明数学问题是有效的和可靠的，大家可以放心大胆使用大家可以放心大胆使用!1.1.推理过程：推理过程：例：例：用数学归纳法证明：如果用数学归纳法证明：如果aan n 是一个等差数是一个等差数列，那么列，那么a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d对于一切对于一切nNnN*都成立。都成立。证明证明:(1):(1)当当n=1n=1时时,左边是左边是a a1 1,右边是右边是a a1 1+0d=a+0d=a1 1,等式等式 是成立的。是成立的。(2)(2)假设当假设当n=k(kn=k(k 1,k kN N*)时等式成立，时等式成立，就是就是 a ak k=a=a1 1+(k-1)d+(k-1)d那么，那么，a ak+1k+1=a=ak k+d+d =a =a1 1+(k-1)d+d+(k-1)d+d =a =a1 1+(k+1)-1d+(k+1)-1d这就是说，当这就是说，当n=k+1n=k+1时，等式也成立。时，等式也成立。因此因此,根据根据(1)(1)和和(2)(2)可断定可断定,等式对于任何等式对于任何nNnN*都都成立。成立。证明思路：先证明证明思路：先证明“第一项满足公式第一项满足公式”再证明命题再证明命题“若某一项满足公式若某一项满足公式，则下一项也满足公式则下一项也满足公式”（证题基础）（证题基础）（递推关系）（递推关系）条件条件结论结论练习：练习：用数学归纳法证明：多边形的内角和为用数学归纳法证明：多边形的内角和为 (2)180nan 对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当们常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0(例如例如n n0 0=1)=1)时命题成立，然后假设当时命题成立，然后假设当n=k(kNn=k(kN*,kn,kn0 0)时命题成立时命题成立证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法时命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法.（1）证明当）证明当n取第一个值取第一个值n0(例如例如n0=1或或2）时结论正确；）时结论正确；（2）假设）假设n=k(kN*,kn0)时结论正确时结论正确,证明当证明当n=k+1 结论正确；结论正确；数学归纳法：数学归纳法：证题步骤证题步骤：注意：第一步中n可取的第一个值不一定是1;第二步是证明一个命题,必须要利用假设的结论证明n=k+1时 结论正确;小结：小结：1 1 本节的中心内容是本节的中心内容是:归纳法和数学归纳法归纳法和数学归纳法;2 2 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分为归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分为:完全归纳法和不完全归纳法二种完全归纳法和不完全归纳法二种归纳法的本质：归纳法的本质：归纳法的作用：归纳法的作用：发现规律发现规律归纳法的缺陷：归纳法的缺陷：具有不可靠性具有不可靠性3 3 由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确,因而必须作出证明，证明可用数学归纳法进行因而必须作出证明，证明可用数学归纳法进行;特殊到一般特殊到一般4 数学归纳法数学归纳法(1)(1)基本思想：基本思想：归纳法归纳法完全归纳法完全归纳法不完全归纳法不完全归纳法数学归纳法穷举法穷举法可能错误，如何避免？两个步骤一结论，两个步骤一结论，递推基础不可少，递推基础不可少，归纳假设要用到，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。结论写明莫忘掉。递推的思想递推的思想适用范围：适用范围：与正整数有关的数学命题与正整数有关的数学命题(2)(2)两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不 能成立；能成立；(3)(3)在证明递推步骤时，在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须使用归纳假设，必须进行恒等变换。必须进行恒等变换。作业：作业：用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：1 1、1+2+3+n=n(n+1)/2(nN1+2+3+n=n(n+1)/2(nN*)；2 2、1+2+21+2+22 2+2+2n-1n-1=2=2n n-1(nN-1(nN*)；3 3、首项为、首项为a a1 1，公比为，公比为q q的等比数列的通项公式为：的等比数列的通项公式为：a an n=a=a1 1q qn-1 n-1 (nN(nN*)作业解答作业解答练习练习2 2、用数学归纳法证明：、用数学归纳法证明：1+3+5+1+3+5+(2n-1)=n+(2n-1)=n2 2证明证明:(1):(1)当当n=1n=1时时,左边左边=1,=1,右边右边=1,=1,等式是成立的。等式是成立的。(2)(2)假设当假设当n=kn=k时等式成立，就是时等式成立，就是 1+3+5+1+3+5+(2k-1)=k+(2k-1)=k2 2那么，那么，1+3+5+1+3+5+(2k-1)+2(k+1)+(2k-1)+2(k+1)-1-1 =k =k2 2+2(k+1)-1+2(k+1)-1 =(k+1)=(k+1)2 2即，当即，当n=k+1n=k+1时，等式也成立。时，等式也成立。因此因此,根据根据(1)(1)和和(2)(2)可断定可断定,等式对于任何等式对于任何nNnN都都成立。成立。75311 1、1+2+3+1+2+3+n=n(n+1)/2(nN)+n=n(n+1)/2(nN)；证明证明:(1):(1)当当n=1n=1时时,左边左边=1,=1,右边右边=1,=1,等式是成立的。等式是成立的。(2)(2)假设当假设当n=kn=k时等式成立，就是时等式成立，就是 1+2+3+1+2+3+k=k(k+1)/2+k=k(k+1)/2那么，那么，1+2+3+1+2+3+k+(k+1)+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)k(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k+1)+1/2 =(k+1)(k+1)+1/2这就是说，当这就是说，当n=k+1n=k+1时，等式也成立。时，等式也成立。因此因此,根据根据(1)(1)和和(2)(2)可断定可断定,等式对于任何等式对于任何nNnN*都都成立。成立。2 2、1+2+21+2+22 2+2+2n-1n-1=2=2n n-1(nN)-1(nN)证明证明:(1):(1)当当n=1n=1时时,左边左边=1,=1,右边右边=1,=1,等式是成立的。等式是成立的。(2)(2)假设当假设当n=kn=k时等式成立，就是时等式成立，就是 1+2+21+2+22 2+2+2k-1k-1=2=2k k-1-1那么，那么，1+2+21+2+22 2+2+2k-1k-1+2+2k k=2=2k k-1+2-1+2k k =2 =22 2k k-1-1 =2 =2k+1k+1-1-1这就是说，当这就是说，当n=k+1n=k+1时，等式也成立。时，等式也成立。因此因此,根据根据(1)(1)和和(2)(2)可断定可断定,等式对于任何等式对于任何nNnN*都都成立。成立。
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