第六章 二次曲面的一般理论

第六章 二次曲面的一般理论教学目的：本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面 奇向、主径面与主方向等重要概念，从不同角度对二次曲面进行了分类.研究了二次曲面的几何性质，并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式， 化二次曲面的一般方程为规范方程，对二次曲面进行了分类和判定，是二次曲面理 论的推广和扩充.教学重难点：通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为 规范方程,既是重点又是难点.基本概念二次曲面：在空间，由三元二次方程ax2+ a y 2 + a z 2 + 2axy +2axz + 2ayz +2ax +2ay +2az + a = 0(1)11223312132314243444所表示的曲面.虚元素:空间中，有序三复数组(x,y,z)叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点二次曲面的一些记号F(x, y, z)三a x 2 + a y 2 + a z 2 + 2 a xy + 2 a xz + 2 a yz + 2 a x + 2 a y + 2 a z + a11223312132314243444F (x, y, z)三 a x + a y + a z + a1 11121314F (x, y, z)三 a x + a y + a z + a2 12232324F (x, y, z)三 a x + a y + a z + a3 13233334F (x, y, z)三 a x + a y + a z + a4 14243444(x, y, z)三 a x2 + a y2 + a z2 + 2a xy + 2a xz + 2a yz112233121323(x, y, z)三 a x + a y + a z1 111213(x, y, z)三 a x + a y + a z2 122223中 (x, y, z) = a x + a y + a z3 132333中(x, y, z) = a x + a y + a z4 142434即有恒等式成立:F(x, y,z) = xF(x, y,z) + yF2(x, y, z) + zF3(x, y, z) + F4(x, y, z)而由中(x, y, z)的系数矩阵为中(x, y, z)三 x%(x, y, z) + y 2( x, y, z) + zO 3( x, y, z)f aiia12a13a14 二次曲面F(x,y,z)的系数矩阵：A =a12a22a23a24aaaa13233334、a 14aaa /442434A*f ai1ai2ai3aaa12 2223、aaa.13 2333二次曲面(1)的矩阵A的第一，第二第三，与第四行的元素分别是F(x,y,z),F2(x, y, Z)，*, y, z)，3, y, z)的系数。aaaaaa aaa111213I =a +a +aI = 1112+1113+2223I = aaa11122332 aaa aaa3122223122213332333aaa132333aaaa11121314aaaaK =aaaaaaI =122223241114 +2224 +3334 ,4aaaa1aaaaaa13233334144424443444aaaa14243444aaaaaaaaa111214111314222324K 二=aaa+ aaa+ aaa2122224133334233334aaaaaaaaa142444143444243444 6.1二次曲面与直线的相关位置F(x, y, z) = a x2 + a y2 + a z2 + 2a xy + 2a xz 1122331213+ 2 a yz + 2 a x + 2 a y + 2 a z + a(1)、x = x + X与过点(x , y , z )的直线 y = y + Yt (2) 0000z = z + Zt0将(2)代入(1)得(X, Y,Z)t2 + 2XF (x , y , z ) + YF (x , y , z ) + ZF (x , y ,z )1 + F(x , y , z ) = 0 100020003000000(3)现讨论直线(2)与二次曲面(1)相交的各种情况：1. (X, Y, Z)丰0,这时方程(3)是一个关于t的二次方程，它的判别式为：A = 1XF (x , y , z ) + YF (x , y , z ) + ZF (x , y , z )L (X, Y, Z)F(x , y , z )10002000300000010 A 0,有两不等实根，直线与二次曲面有两不同实交点；20 A = 0,有两相等实根，直线与二次曲面有两相互重合实交点；30 A 0,有两共轭虚根，直线与二次曲面有两共轭虚交点2. (X, Y, Z) = 010 XF (x , y ,z ) + YF (x , y , z ) + ZF (x , y ,z )丰 0，直线与二次曲面有唯一交 100020003000点；20 XF (x , y , z ) + YF (x , y , z ) + ZF (x , y , z ) = 0 ,但 F(x , y , z )丰 0 直线与 100020003000000二次曲面无交点30 XF (x , y , z ) + YF (x , y , z ) + ZF (x , y , z ) = 0,且 F(x , y ) = 0，直线与二 10002000300000次曲面有无穷交点,直线在二次曲面上. 6.2二次曲面的渐进方向与中心1. 二次曲面的渐进方向定义5.2.1:满足(X,Y,Z) = 0的方向X : Y : Z称为二次曲面的渐进方向，否 则称为非渐进方向.对于给定的二次曲面 F(x, y,z) = a x2 + a y2 + a z2 + 2a xy + 2a xz1122331213+ 2 a yz + 2 a x + 2 a y + 2 a z + a(1)、x=x0+xt和过点(x , y , z )的直线 y = y + Yt(2)0000z = z + Zt0当X : Y : Z为曲面(1)的渐进方向时，直线(2)与曲面(1)总有两个交点; 当X : Y:Z为曲面(1)的渐进方向时，直线(2)与(1)或者只有一个交点，或 者没有交点，或者整条直线在曲面上。2. 二次曲面的中心当X: Y: Z为二次曲面的非渐进方向时，即当(X, Y)三 a11 X 2 + 2a12 XY + a 2Y 2 丰 0x = x0+ Xt以非渐进方向为方向的直线b = y0 + Yt与二次曲面交于两个点，由这两点决 z = z + Zt 0定的线段叫二次曲面的弦.定义6.2.2:若点C是二次曲面的通过它的所有弦的中点,C是二次曲面的对称 中心,那么点C叫做二次曲面的中心.定理6.2.1若点C(x ,y ,z )是二次曲面的中心，其充要条件是： 000F (x , y , z )三 a x + a y + a z + a = 01 00011 012 013 014v F (x , y , z )三 a x + a y + a z + a = 0(6.2-1)2 00012 023 023 024F (x , y , z )三 a x + a y + a z + a = 0V 300013 023 033 034推论 坐标原点是二次曲面的中心，其充要条件是曲面的方程不含有x,y,z的 一次项。F(x, y, z) = ax+ay+az + a= 01 11121314二次曲面的中心坐标，由方程组 F(x,y,z)三ax+ay+az + a= 0(6.2-2)2 12232324F(x, y, z) = ax+ay+az + a= 03 1323333410 r = R = 3，这时方程组的系数行列式I=3aaa111213aaa122223aaa1323330，方程组有惟、aaaaaaa11121311121314aaa，B =aaaa12222312222324.ax 1 Qaa .ax 1 Qaaa .决定，方程组（6.2-2）叫做二次曲面（1 ）的中心方程组。根据（6.2-2）的系数矩阵A与增光矩阵B的秩r与R，有:解，二次曲面（1）有惟一中心。这些解可用一个参数来线性表示。曲面有这些解可用两个参数来线性表示。曲面有20 r = R = 2，（6.2-2）有无数多解， 无数个中心，这些中心构成一条直线。30 r = R = 1，（6.2-2）有无数多解， 无数个中心，这些中心构成一个平面。40r。R，（6.2-2）无解，这时二次曲面（1）无中心。定义6.2.3:有唯一中心的二次曲面叫中心二次曲面,没有中心的二次曲面叫 无心二次曲面，有无数中心构成一条直线的二次曲面叫线心二次曲面，有无数中 心构成一平面的二次曲面叫面心二次曲面，二次曲面中的无心曲面、线心曲面与面心曲面统称为非中心二次曲面.推论 二次曲面（1）成为中心二次曲面的充要条件为13。0，成为非中心 二次曲面的充要条件为13 = 0例1室=1的I分别为 c 23椭球面挡+ 21 +室=1与双曲面挡+二 a 2b 2 c 2a 2b 210000a 2a 2010=1丰0与010_1b 2-1a 2b 2c 2b 21a 2b 2c 20000c 2c 2丰0所以椭球面与双曲面都是中心曲面，他们的中心方程组分别为xF (x, y, z)三=01 a 2y F (x,y,z) = 02 b 2z -F (x,y,z)三一=03C 2xF (x, y, z)三=01 a2与 F (x, y, z)三普=02 b 2F (x, y, z)三三=03C 2因此，它们的中心都是坐标原点(0, 0, 0)例2抛物面挡土站=2 z.a 2b 21a 2其 13 = 00所以抛物面为非中心二次曲面，它的F3(x, y,z) = -1，中心方程组有矛盾，因此抛物面为无心二次曲面。例3对于曲面y 2 + z 2 - c 2 = 00 0 013 = 0 1 0 = 0，所以他是非中心二次曲面，但由于FJx,y,z)三03 0 0 1I y = 0F2(x, y, z)三y F (x, y, z)三z，所以曲面有一条中心直线= ，所给曲面为线心曲面。(曲面实际上是一个圆柱面，中心直线就是它的对称轴。)作业：%542,4,6,8 6.3 二次曲面的切线与切平面定义6.3.1:直线与二次曲面相交于互相重合的两个点，那么这条直线叫二次 曲面的切线.重合的交点称之为切点.特殊情形：直线全部在二次曲面上，亦称之为二次曲面的切线，直线上每一点均是 切点.（二次曲面的直母线线也是切线。）一.通过曲面上点队,*,z0）的切线方程F (x, y, z) = a x2 + a y 2 + a z 2 + 2a xy + 2a xz 1122331213+ 2 a yz + 2 a x + 2 a y + 2 a z + a = 0(1)x = %+ Xt通过曲面(1)的点(x ,y ,z )的直线b = y + Yt(2)0000z = z + Zt01.直线(2)曲面(1)相交于连个重合点的充要条件：(X, Y, Z)主 0 A = XF (x , y ,Z ) + YF (x , y ,Z ) + ZF (x , y ,Z )1 = 01 000200030002.直线(2)整个属于曲面(1)的充要条件：(X, Y, Z) = 0 A = Xf (x , y , Z ) + YF (x , y , Z ) + ZF (x , y , Z )1 = 0100020003000综合1、2、两种情况：通过曲面(1)上的点(x0,y0,z0)的直线(2)成为曲面在这 个点处的切线的充要条件是：A = XF(x ,y ,Z ) + YF (x ,y ,Z ) + ZF (x ,y ,Z )1 = 0(3)10002000300010， F (x , y ,z )，F (x , y , z )，F (x , y , z )不全为零。由(2)得 100020003000X： Y： Z = (x-x ):(y- y ):(z-z )，代入(3)得000kx- x )F (x , y ,Z ) + (y - y )F (x , y , z ) + (z - z )F (x , y ,Z )= 0(6.3-1)010000200003000定义6.3.2二次曲面在一点处的一切切线上的点构成的平面叫做二次曲面的 切平面，这一点叫切点。20 F (x , y , z )，F (x , y , z )，F (x , y , z )全为零。(3)恒成立，它被任何的方 100020003000向X : Y : Z所满足，因此通过点(君,*,zo)的任何一条直线都是二次曲面的切线。定义6.3.3二次曲面(1)上满足条件F (x , y , z ) = F (x , y , z ) = F (x , y , z ) = 0 的点(x , y , z )叫做二次曲面(1) 100020003000000的奇异点，简称奇点，二次曲面的非奇异点叫做二次曲面的正常点。定理6.3.1如果(x , y , z )是二次曲面(1)的正常点,那么曲面在点(x , y , z )处 000000存在惟一的切平面，它的方程是(6.3-1)推论 如果(x ,y ,z )是二次曲面(1)的正常点,那么在(x ,y ,z )处曲面的切000000平面方程是：a x x + a y y + a z z + a (x y + y x) + a (x z + xz )、11 022 033 012 0013 00(6.3-3)+ a (y z + yz ) + a (x + x ) + a (y + y ) + a (z + z ) + a - 0 230014024034044例求二次曲面 F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 一 4xy 一 4xz - 4yz + 2x + 2y + 2z +18 = 0 在点(1,2,3)的切平面方程。解法一因为 F(1,2,3) = 1 + 4 + 9 一8-12一 24 + 2 + 4 + 6 +18 = 0，所以点(1,2,3)F( x, y, z) = x 一 2 y 一 2 z +1在二次曲面上，又因为F (x,y,z) = -2x + y -2z +1， 2F( x, y, z) = -2 x 一 2 y + z +1所以 F (1,2,3) = -8，F (1,2,3) = -5，F (1,2,3) =-2，这说明(1,2,3)是已知曲面上 123的正常点，所以根据公式(6.3-1)得曲面在点(1,2,3)处的切平面方程为一 8(x -1) 一 5(y 一 2) 一 2(z 一 3) = 0，艮口 8x + 5y + 2z 一 24 = 0解法二由解法一知(1,2,3)是已知曲面上的正常点，所以根据公式(6.3-3)得所求切平面的方程是x + 2y + 3z 一 2(2x + y) 一 2(3x + z) 一 2(3y + 2z) + (x +1) + (y + 2) + (z + 3) +18 = 0艮口8 x + 5 y + 2 z 一 24 = 0作业：P58 3,5,6,8 6.4 二次曲面的径面与奇向本节讨论二次曲面F(尤,y,z) = ax2 + a y2 + a z2 + 2a xy + 2a xz11 22331213+ 2 a yz + 2 a x + 2 a y + 2 a z + a（1）的平行弦的中点轨迹。定理6.4.1二次曲面的一族平行弦的中点的轨迹是一个平面证明：设X : 丫 : Z为二次曲面的任意一个非渐进方向，而 队,yo,平为平行于x = % + X方向X : Y: Z的任意弦的中点，那么弦的方程可以写成b = y0 + Yt（2）z = z + Zt k 0面弦的两端点是由二次方程（X, Y,Z）t2 + 2xF （x , y , z ） + YF （x , y , z ） + ZF （x , y , z ）1 + F（x , y , z ） = 0 100020003000000的两根t和t所决定，因为（x ,y ,z ）为弦的中点的充要条件是t +1 = 0，即1200012XF (x , y , z ) + YF (x , y , z ) + ZF (x , y , z ) = 0，把上式中的(x , y , z )改写为100020003000000(x, y, z)便得平行弦中点的轨迹方程为 XF (x, y, z) + YF (x, y, z) + ZF3 (x, y, z) = 0（6.4-1）即X (a x + a y + a z + a ) + Y(a x + a y + a z + a ) + Z (a x + a y + a z + a ) = 011 1213141222232413233334/(a X + a Y + a Z)x + (a X + a Y + a Z)y或 111213122223+ (a X + a Y + a Z) z + (a X + a Y + a Z) = 0，132333142434即也(X, Y,Z)x + 2(X, Y,Z)y + Q3(X, Y,Z)z + X,Y,Z) = 0(6.4-2)因为X : Y : Z为非渐进方向，所以有(X,Y,Z)三 X%(X,Y,Z) + Y2(X,Y,Z) + Z3(X,Y,Z)丰 0因此卜X,Y,Z），咛X,Y,Z），/X,Y,Z）不全为零，所以（642）或（64-1）为 一个三元一次方程，它代表一个平面。定义6.4.1二次曲面的平行弦的中点轨迹，就是（6.4-1）或（6.4-2）所代表 的平面，叫做共轭于平行弦的径面。而平行弦叫做这个径面的共轭弦，平行弦的 方向叫做这个径面的共轭方向。定理6.4.2二次曲面的任何径面一定通过它的中心（假如曲面的中心存在的 话）推论1线心二次曲面的任何径面通过他的中心线。推论2面心二次曲面的径面与它的中心平面重合。如果方向X : Y: Z为二次曲面（1）的渐进方向，那么平行与它的弦不存在， 但如果仍有也（X, Y,Z），中X, Y, Z），气（X，Y,Z）不全为零，那么方程（6.4-2）任然 表示一个平面，我们把这个平面叫做共轭于渐进方向X : Y : Z的径面。如果中（x, y, z） = a X + a Y + a Z = 01 111213中（x,y,z） = a X + a Y + a Z = 0（3）2 122223中（x, y, z） = a X + a Y + a Z = 03 132333那么方程（6.4-2）不表示任何平面。定义6.4.2满足条件（3）的渐进方向X : Y: Z叫做二次曲面（1）的奇异方向，简称奇向。定理6.4.3二次曲面(1)有奇向的充要条件是13 = 0推论中心二次曲面而且只有中心二次曲面没有奇向。定理6.4.4二次曲面的奇向平行于它的任何径面。证 设二次曲面(1)的奇向为X0:Y :Z0，那么中(X , Y , Z )=中(X , Y , Z )=中(X , Y ,Z ) = 0 因此 100020003000X (X, Y, Z) + Y (X, Y, Z) + Z (X, Y, Z) 010203=X (a X + a Y + a Z) + Y (a X + a Y + a Z) + Z (a X + a Y + a Z)011121301222230132333=X (a X + a Y + a Z ) + Y (a X + a Y + a Z ) + Z (a X + a Y + a Z )11012 013012 022 023 013023 033 0=X (X , Y , Z ) +YO(X, Y , Z ) + ZO (X, Y , Z)100020003000=0所以二次曲面的奇向X 0:匕：,平行于它的任意径面(6.4-2)例1求单叶双曲面X2 + 2 -三=1的径向。 a 2 b 2 c 2解 因为单叶双曲面为中心曲面，即13。0。所以它没有奇向，任取方向XYZX : Y : Z , 那 么中 1(X,Y,Z)=-,O2(X,Y,Z) = ,O3(X,Y,Z)=-,XYZ气(X,Y,Z) = 0 ,所以单叶双曲面共轭于方向X : Y: Z的径面为云尤+ b2 J 云z = 0，显然它通过曲面的中心(0,0,0)。例2求椭圆抛物面抒+= 2z的径面。a 2 b 2解 因为椭圆抛物面为无心曲面，13 = 0，所以曲面有奇向X0:匕：Z0，因为 中(X, Y, Z)三X 中(X, Y, Z)三Y 中(X, Y, Z)三0，所以曲面的 奇向为 1a 22b 23X 0: Y: Z 0 = 0:0:1，任取非齐方向X : Y : Z，又有 3( X, Y, Z)三-Z，因此根据XY(604-2)椭圆抛物面共轭于非齐方向X : Y : Z的径面为一尤+ y Z = 0，显然它 a 2b 2平行于奇向0:0:1作业：七2 1(3)24 6.5二次曲面的主径面与主方向，特征方程与特征根定义6.5.1主径面：如果二次曲面的径面垂直于它所共轭的方向，那么这个径 面就叫做二次曲面的主径面。定义6.5.2主方向:二次曲面主径面的共轭方向（即垂直于主径面的方向）， 或者二次曲面的奇向，叫做二次曲面的主方向设二次曲面为F(x,y,z) = a x2 + a y2 + a z2 + 2a xy + 2a xz1122331213+ 2 a yz + 2 a x + 2 a y + 2 a z + a = 0方向X : Y : Z如果是（1）的渐进方向，那么它成为（1）的主方向的条件是a X + a Y + a Z = 011 1213（2） a X + a Y + a Z = 012 2223a X + a Y + a Z = 013 2333成立，即X : Y : Z必须是(1)的奇向。如果X : Y : Z是（1）的非渐进方向，那么它成为（1）的主方向的条件是与（3）一 (a X + a Y + a Z)x + (a X + a Y + a Z)y 它的共轭径面111213122223 + (a X + a Y + a Z) z + (a X + a Y + a Z) = 0132333123垂直，所以有(a X + a Y + a Z):(a X + a Y + a Z):(a X + a Y + a Z) = X : Y : Z111213122223132333a X + a Y + a Z 以X11 1213(6.5-1)a X + a Y + a Z = XY12 2223a X + a Y + a Z = XZ13 2333显然，如果在(6.5-1)中取X = 0，那么就得到(2)，因此方向X : Y: Z成为二次曲面(1)的主方向的充要条件是存在X使得(6.5-1)成立，把(6.5-1)改写(a -X) X + a Y + a Z = 0(6.5-2)成 a X + (a - X )Y + a Z = 0a X + a Y + (a - X) Z = 0V 132333这是一个关于X,Y,Z的其次线性方程组，因此X,Y,Z不能全为零，因此a -人a12a13a12a -人a23a13a23a -人(6.5-3)即一人3 +人2 -1 X +13 = 0（6.5-4）定义6.5.3方程（6.5-3）或（6.5-4）叫做二次曲面的特征方程，特征方程的根叫做 二次曲面的特征根。从特征方程（6.5-3）或（6.5-4）求得特征根人，代入（6.5-1）或（6.5-2），就 可以求出相应的主方向X,Y,Z，当人二0时，与它相应的主方向为二次曲面的奇向； 当日0时，与它相应的主方向为非奇主方向，将非奇主方向X : Y: Z代入（6.4-1） 或（6.4-2）就得共轭于这个非奇主方向的主径面。例 1 求二次曲面 3x2 + y2 + 3z2 一 2xy 一 2xz 一 2yz + 4x +14y + 4z 一 23 二 0 的主方 向与主径面。解这个二次曲面的矩阵是3 -1-1 1-1 -127-1-1322 :72-23 J，则 I = 3 +1 + 3 = 73 -13 -11 -1I =+=12，I3=-1-11-1-1 = 02 -1 1-1 3-1 33-1-13二次曲面的特征方程为-丸+ 7处-12X = 0，所以特征根为人=4,3,0-X-Y-Z =01。将人二 4代入（6.5-2） 得-X -3Y -Z = 0、-X - Y - Z = 0解该方程组得对应于特征根人=4的主方向为X : Y :Z = 1:0: （-1），将其代入（6.4-1）或者（6.4-2）并化简的共轭于这个主方向的主径面为：x z = 0-Y - Z = 02。将X = 3代入（6.5-2）得-X -2Y-Z = 0、-X - Y = 0解该方程组得对应于特征根人=3的主方向为X : Y : Z = 1: （-1） :1，将其代入（6.4-1）或者（6.4-2）并化简的共轭于这个主方向的主径面为：x - y + z -1 = 03X - Y - Z = 03 将 X = 0代入(6.5-2)得 -X + Y - Z = 0-X - Y + 3Z = 0解该方程组得对应于特征根x = 0的主方向为X : Y: Z = 1:2:1,这一主方向为二次 曲面的奇向。二次曲面特征根的性质：定理6.5.1二次曲面的特征根都是实数。定理6.5.2特征方程的三个根至少有一个不为零，因而二次曲面总有一个 非奇主方向。推论二次曲面至少有一个主径面作业：P61 (1) (4),2 6.6 二次曲面方程的化简与分类本节利用空间直角坐标变换，讨论二次曲面的化简与分类。一.空间直角坐标变换设在空间给出了两个由标架O； i，j，片与O； i； /,妃决定的右手直角坐标系， 为了叙述方便，我们把前面的一个叫做旧坐标系，后面的一个坐标系叫做新坐标 系。它们之间的位置关系完全可以由新坐标系的原点在旧坐标系的坐标，以及新 坐标系的坐标向量在旧坐标系内的坐标所决定。在这里我们先讨论两种特殊的坐 标变换，然后研究一般坐标变换（1）移轴设标架O；i,j,片与O；i：j，k的原点o与o不同，o在极坐标系下的坐标为 （君,*,平，但是i = i，j = j，k = k，这时新坐标系可以看成由O;i, j,片平移 到使O与O重合而得来，我们把这种情况下的坐标变换叫做移轴。设P为空间任意一点，它在O;i, j,k与Of;i , jf,kf下的坐标分别是（尤,y,z）与（尤,y ,z），那么 OP = xi + yj + zk，（1）OP p = x x i + y j + z k = x i + y j + z k（2）此外又有OOf = xi + y j + zk（3）000-OP = OO + OP（4）将（1）（2）（3）三式代入（4）得xi + yj + zk = （x + x ）i + （y + y ）j + （z + z ）k 000x = x + x一 .0所以得 y = y + y（6.6-1）z = z z + z0这就是空间直角坐标系的移轴公式。从（6.6-1）解出xy,z）就得到用旧坐标表示新坐标的坐标变换公式，即移轴的x = x - x0 逆变换公式 y = y - y z = z- z00（2）转轴设两个右手标架O；i,j,片与O；i, j,k的原点相同，但坐标向量不同，这时新 坐标系可以看成由旧坐标系绕原点旋转，使得i,j,k分别与i,j,k重合得到的，我们把 这种情况下的坐标变换叫做转轴。具有相同原点的两坐标系之间的位置关系完全由新、旧坐标轴之间的交角来 决定，列表如下：X 轴（i）Y 轴（j）Z 轴（k）x 轴（i）a1P1y1y轴 j）a2P2y2z轴（k ）a3P3y3i = i cos a +1j cos P1 + k cos y 1从表（5）我们知道 j = icos以 + jcosP + kcosy（6）k = i cos 以 + j cos P + k cos y、333设空间任意一点P，它的旧坐标为3,y,z），在新坐标系内的坐标为（/,y,z），那么有空间直角坐标变换的转轴公式：x = x cos 以 + y cos 以 + z cos 以 123 y = xcosP + ycosP + zcosP（6.6-3）x = x cos y + y cos y + z cos yV123转轴的逆变换公式为：x = x cos a+y cosP+ z cos yy = x cos a+y cosP+ z cos yz = x cos a+y cosP+ z cos y虹333（6.6-4）转轴的正交条件C0S2 以 + C0S2 以 + C0S2 以 =1 nnn C0S2 p + C0S2 p + C0S2 p = 1(6.6-5)(6.6-6)cos2 y + C0S2 y + C0S2 y = 1C0S以 C0S p + C0S以 C0S p + C0S以 C0S p = 0112233C0S以 C0Sy + C0Sy C0S p + C0Sy C0S p = 0 112233C0S以 C0Sy + C0S以 C0Sy + C0S以 C0Sy = 0C0S2 以 + C0S2 p + C0S2 y = 1C0S2 以 + C0S2 p + C0S2 y = 1C0S2 以 + C0S2 p + C0S2 y = 1C0S以 C0S以 + C0S p C0S p + C0Sy C0Sy = 0C0S以 C0S以 + C0S p C0S p + C0Sy C0Sy = 0232323C0S以 C0S以 + C0S p C0S p + C0Sy C0Sy = 0又因为（ijk） = （ijk，） = 1,可得（6.6-3）与（6.6-4）的系数行列式C0s aC0s aC0s aC0s aC0S pC0s y123111C0S pC0S pC0S p=C0S aC0S pC0sy = 1(6.6-7)123222C0S yC0s yC0s yC0s aC0S pC0s y123333（3）一般变换公式设在空间给出了由标架b i, j,片决定的旧坐标系与由标架O； i, j, k“决定的新 坐标系，且O在旧坐标系的坐标为（君,*,乎，两坐标系的坐标轴之间的交角由表 格（5）决定，那么在这种一般情况下，由旧坐标系变换到新坐标系可以分两步来 完成，可以先移轴，使原点O与坐标系的原点O重合，变成辅助坐标系Oxyz。 然后再由辅助坐标系转轴变到新坐标系。则空间直角坐标变换的一般公式为：x = x C0S 以 + y C0S 以 + z cos 以 + x12 y = x C0S p + y，C0S px = x c0s y + y c0s y1230 + z C0S p + y+ z C0s y + z30(6.6-8)上式的逆变换公式是：X = (x - x)C0S以 + (y - y )c0s p + (z - z )c0sy 010101 0,1,13 0,14 0, I1,13 0,14 0;3 点