新题库--第九章第08节：球

1. 题型1球中的有关计算正三棱锥的底面边长是2cm,侧棱与底面成60角，求它的外接球的表面积.解：如图，PD是三棱锥的高，则D是ABC的中心，延长PD交球于E,则PE就是外接球的直径。AD=AB=2.一.一.O、得sin60W=2r,r=6a。又根据球的截面的性质，有OO上平面ABC，而PO上平面ABC,P、O,共线,球的半径R=Jr2+d2。又PO,=Jpa2r2=ja2一2=a,-OO=R一甘a=d=Jr2r2,(R-甘a)2=R2-ya)2,解得R=ja.S球=4兀俨=3兀a2。图9-8-73. 把地球当做半径为R的球，地球上的两点A、B的纬度都是北纬45,A、B两点间的球面距离为兰R,A在东经20处，求B点的位置.3解：如图9-8-7，因为A、B的球面距离是指过A、B的大圆的劣弧长，所以ZAOB=因此AB=R。过A、B分别向赤道平面作垂线，垂足为A,B，AB=AB,OA=OAcos45,故OA=OB=R.在AOB中，OA=OB=R,AB=R，/AOB=90,22A在东经20处，B点的位置在20功0处，即在北纬45、东经110或北纬45、西经70处.4. 设地球的半径为R,在北纬45圈上有两个点A、B,A在西经40,B在东经50,求A、B两点间纬线圈的弧长及A、B两点间的球面距离.解：如图9-8-8,设45纬度圈中心为O1,地球中心为O,则ZAO1B=40+50=90。又,:OO1X圆图9-8-8Oi所在平面，OOiOiA,OOiOiB.又A、B在北纬45圈上，2ZOBOi=/OAOi=45.OiA=OiB=OiO=OAcos45R.在直角AOiB中，AOi=BOi,-AB=J2AOi=R./.AAOB为等边三角形ZAOB=:在45纬线圈上，AB弧长为2AOi=：告R=亨兀R.（此时贵小圆上的弧长）（在球面上，A、B两点的球面距离为AB弧长=|a|-AO=R.（此时是大圆上一彩3，、一，一，一、，J?兀点间纬线圈的弧长为兀R,A、B两点间的球面距离为-R.6.求证：过球。内一定点P的诸弦，被点P分成的两线段之积是一个定值.证：设过点P的任意一弦为AB（AB不是直径），过点P的直径为MN，且MN=2R,OP=d.在MN、AB所在的大圆截面中，由相交弦定理，APPN=（R+d）（R-d）=R2-d2.当AB为直径时也成立，.二APPB=R2-d2为一定值.在桌面上有三个球两两相切，且半径都为1,在桌面与三球间放置一个小球，使它与三个球相切.求此小球半径.解：球O为放置在桌面上与已知三球相切的半径为r的小球，过O作O1O2O3平面的垂线，垂足为H,它一-定是AO1O2O3的中心，连接OiH,OiO。7. 在RtA010H中，OiH=二)3,OH=1-r,OO1=1+r,O01=OiH?+OH2,即(1+r)2=+(1-r)2,33A、B两点间球面距离所地球半径为R,在北纬45圈上有A、B两点，它们的经度差为解：本题关键是求出/AOB的大小，（如图1）。将这个球的截面问题转化为较为熟悉的长方体问题.如图2,以OiO,OiA,OiB为三条相互垂直的棱，可构造一个长方体，问题转化为长方体截面ABO内求ZBOA的问题./OiOA=；=ZOiOB,OA=OB=R,z.OOi=OA=OiB.AB2=OiA2+OiB2=RAOB为等边AOBA、B间的球面距离为|R.10cm和17cm，两球心间的距离为21cm,求8. 两面都是凸形镜中，它的面都是球冠形，球半径分别为此镜面的表面积和体积.解：轴截面如图，设O2C=x,贝UCOi=21-x,ABO1O2,2入c22222_/f-722-AO2-O2CAOi-CO1，即10-X17-（21-x），用啊寸X6,CO115o又设左边球缺的高为h1,右边的球缺高为h2,贝Uh1=17-15=2,h2=10-6=4。-S表=2兀(17-2+104)148%(cm)2,V=-兀22(310-2)+42(317-4):3=288兀(cm3).湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm的空穴，求该球的半径.解：设球的半径为R,依题意知截面圆的半径r=12,球心与截面的距离为d=R-8,由截面性质得：r2+d2=R2,即122+(R-8)2=R2.解得R=13。二该球半径为13cm.在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为过3米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示)./解：由题意知，光线与地面成60。角，设球的阴影部分面积为S,垂直于/光线的大圆面积为S,则Scos30=S并且S=9兀，所以S=6点兀洋2)10 -R.地球半径为R,A、B两地都在北纬45线上，且A、B的球面距离为3，求A、B两地经度的差.2-R解：设。1正北纬45圈的中心，-A、B都在此圈上，01A=O1B=R.A、B的球面距离为,二RZAOB=里=,AOB为等边三角形.AB=日，在八AOB中，.0/2+0担2=-R2+-R2RR322=R2=AB2,.AOB=90.A、B两地的经度差是90.题型2球中的线面关系.球O的截面BCD到球心的距离等于球的半径的一半，BC是截面圆的直径，D是圆周上的一点，CA是球O的直径。(1) 求证：平面ABD上平面ADC;(2) 如果BD:DC=J3:2,求二面角B-AC-D的大小。解：(1)如图，设截面圆BCD的圆心为。1,则。1上面BCD。因为AC为大圆直径，所以ABBC,又OOBC,AB/OO1。AB上面BCD,.二ABCD。又BC是。O1直径，.二CDBD。.二CD面ABD,.面ABD上面ADC。(2)由(1)知，AB上面BCD,所以面BCD上面ABC。作DEBC于E,则DE上面ABC。作EFAC于F,连DE。由三垂线定理知DFAC,所以/DFE是二面角B-AC-D的平面角。设球的半径为2,则。1=1,AB=2,ZACB=30,BC=2J3。在RtBCD中，由BD:CD=J3:2及勾股定理，得BD=旦，CD=处3，所以DE=12,CE=竺3,EF=1CE=生3,所以,777727DEtanZDEF=43，所以ZDFE=60。11 EF题型3与球有关的组合体.设棱锥MABCD的底面是正方形，且MA=MD,MAAB,如果AMD的面积为1,试求能够放28、3-V正方体=(lcos0tan)3.2入这个棱锥的最大球的半径.解：.ABAD,ABMA,.AB上平面MAD，由此，面MAD上面AC.记E是AD的中点，从而MEAD.二ME上平面AC,MEEF设球O是与平面MAD、AC、平面MBC都相切的球.不妨设O平面MEF,2S十于是O是MEF的内心.设球O的半径为r,贝Ur=。12 设AD=EF=a,Samd=1.ME=.MF=Ja2+()2,r=2,2、222,2a()vaaa2a=y/2-1。当且仅当a=2,即a=J2时，等号成立.当AD=ME=、2时，满足条件的球最大。a.已知圆锥的母线长为1,母线对圆锥底面的倾角为0,在这个圆锥内有一内切球,正方体，求这个内接正方体的体积.解：设球半径为R,以内接正方体对角面为轴截面，如图.连接OA,/e，e.一.0ZOAD=,R=OD=ADtan,VA=l,AD=lcos0；R=lcos0ta。又设正方体棱长为x,则3x2=EG2=4R2,x=-V3R.3.求棱长为a的正四面体的外接球和内切球的半径6r。O点与A、B、解：如图，作AHL底面BCD于H,则AH=216a,设内切球的球心为O,半径为C、D相连，得四个锥体，设底面为S,则每个侧面积为S,有4-Sr=1SAH,33-r=1AH=ao设外接球心为O,半径R,过A点作球的半径交底面CD于H,则H为圆BCD的圆心，求得BH=豆a,AH=兰6a,由相交弦定理得如aX（2R-通a）=（金a）2.解得R=a.13 333333题型4球中的综合问题.如图，过半径为R的球面上一点P作三条两两垂直的弦PA、PB、PC。（1）求证：PA2+PB2+PC2为定值；（2）求三棱锥PABC的体积的最大值.解：（1）设过PA、PB的平面截球得O1,-PAPB,AB是。O1的直径，/、连PO并延长交OO1于D，贝UPADB是矩形，PD2=PA2+PB2.勺。、设。为球心，贝UOOi上平面OOi,PCOOi平面，OOiIIPC,因此过PC、PD的平面经过球心O,截球得大圆，又PCPD.CD是球的直径.8枭兰y罗d4故PA2+PB2+PC2=PD2+PC2=CD2=4R2定值.设PA、PB、PC的长分别为x、V、z,则三棱锥PABC的体积V=1xyz,V2612221/Xyz3164R26.、/4,3口343336xyzV36()=R.WR.即V最大=R.18.同底的两个正三棱锥内接于半径为R的球，它们的侧面与底面所成的角分别为0(12.求:(1)侧面积的比;(2)体积的比；(3)角0(1+ot2的最大值.解：(1)设。为球心，O1为正三棱锥底面ABC所在圆的圆心，两个三棱锥的顶点分别为P,Q,取BC的中点D,则PD_LBC,AD_LBC,二2PDOi是侧面与底面所成二面角的平面角。-DO1DO1PDO1=口1，同理QDO1=ct2。PD=，QD=-,13DO113DO1二Sp亳bc侧=32BCPD=乏BC.Sqbc侧=32BCQDBCcos：1cos：2,Sp卷BC侧：Sqbc侧=coso2:cosct1.(2)PO1=DO1，tan%,QO1=DO1论门0(2,这两个三棱锥的底都是三角MBC,Vp庄。:Vqbc=PO1：QO1=tan：1:tan：2.(3)设MBC边长为a,OO1=h，则tan#=tan：2=QO1RhDO1而DO1=1AD=1芸a=乙,AQ=2AD=*a.3326332R.tan：1tan：2DO1tan：1：2=l2,2=1-tan1tan-2.R-h1-2-DODO12r2h2=AO12=a2,32R4.3R八:2：0.一1.；2Ha3a23DO1平面ABC通过球心O时，a最大为3R时，tan(a1+口2)取最大值,这时。1+。2也最大，最大3值为二-arctan.3