数字图像的非线性混合异性扩散恢复算法

数字图像的非线性混合异性扩散恢复算法马少贤 江成顺（信息工程大学信息工程学院，郑州，450002，mashaoxian）摘 要: 文中提出了一个基于非线性混合异性扩散方程和全变分方法的图像恢复模型。该模型通过引进非线性混合异性扩散方程的扩散项，将非线性扩散方程与全变分方法有机结合起来。实验表明该模型不但能够提高去噪性能，而且可增强边缘并保持边缘的位置，保持图像中的纹理特征，使得处理后的图像清晰度和对比度大大增强，而且有意义的细节特征也被保留。关键词: 图像恢复；非线性异性扩散方程；全变分Digital Image Restoration Algorithm Based on Nonlinear Mixed Anisotropic DiffusionMA Shao-xian，JIANG Cheng-shun(Institute of Information Engineering, Information Engineering University, Zhengzhou 450002)Abstract: A image restoration algorithm based on nonlinear mixed anisotropic diffusion equation and total variation method is proposed, which combines the nonlinear anisotropic diffusion equation with the total variation method. The experimental results show that, the model can not only remove noise but also enhance edges and keep their locality, and it can also keep textures. Because of these favorable characteristics, not only do the processed images look much clearer and smoother, but also significant details are kept, resulting in appealing vision.Keywords: image restoration; nonlinear anisotropic diffusion equation; total variation3 马少贤等：数字图像的非线性混合异性扩散恢复算法1 引言图像恢复是数字图像处理中的一个重要分支，它的主要目的是改善退化图像的质量。由于实际中设备的不完善和物理的限制，所获得的图像通常达不到期望的质量。因此，原始图像的恢复是非常必要的。目前图像恢复的方法有很多种，采用偏微分方程方法处理是一种发展较快的新方法。基于偏微分方程的恢复方法大致可分为两类：基于非线性扩散方程的方法1-6和基于能量泛函的变分方法7-10。这些方法相互影响、相互作用，彼此之间存在着紧密的联系。针对这些联系，本文在这两种方法的基础上，将全变分和非线性混合异性扩散方程的扩散项有机结合，提出了一种新的图像恢复模型，较好的改善了图像的恢复质量，提高了去噪性能。2 预备知识2.1 全变分模型对于降质图像，其通用的模型为(1)其中为原始图像，为观测图像，通常为标准偏差为的高斯白噪声，为一个模糊算子。要通过来恢复显然是一个不适定问题，而求解不适定问题的一个经典方法就是正则化方法。1992年Rudin、Osher和Fatemi7提出了一种正则化方法，即全变分(TV: Total variation)正则化方法。它能够很好的保持图像边缘，是目前为止保持边缘图像恢复问题中比较成功的方法。其提出了如下的能量极小化问题：(2)其中是正参数，为观测图像。由变分原理，式对应的Euler-Lagrange方程为(3)相应的扩散方程为(4)在式中，方程右边第一项可以理解为非线性扩散算子，影响着算法的扩散性能，其扩散系数决定了光滑程度。从这个角度去看，TV方法是一种具有自适应性质的光滑问题。因此，全变分最小化也可以看成是基于非线性扩散方程的一种特殊形式。2.2 非线性扩散模型Perona和Malik1首先将各向异性扩散方程(anisotropic diffusion equation)引入图像处理，其提出了传导系数可变的异性扩散方程：(5)其中为散度算子，为梯度算子。当为常数1时，方程就变为各向同性的热传导方程。Alvarez等对P-M模型进行了改进，提出了退化扩散模型2：(6)其中为高斯平滑核，为梯度的局部估计，为非增实函数，且时，趋向于0。方程中的因子用于边缘的增强，它控制着扩散的速度。因为表示图像梯度的高斯平滑，如果图像梯度在点处的邻域内具有较小的加权平均值，则点邻域内的灰度变化比较平缓。为非增实函数，所以此处的扩散速度较强。反之，在图像的边缘点上，其梯度的邻域内具有较大的加权平均值，从而扩散速度较小。所以，退化扩散模型的解使得图像边缘得以保持，而灰度变化不大的地方更加平滑。结合退化扩散方程和热扩散方程，我们考虑下面的非线性扩散模型：(7)在方程的右端，第1项是平滑项，第2项是锐化项；为初始图像，为t时刻的扩散图像；是权重系数；是区间内的光滑非降函数，满足：存在，使得(8)在目标边界上的点，其邻域内的灰度变化通常较剧烈，由函数的定义可知，此时，模型转化为如下的退化扩散模型：(9)将其转化成局部坐标系，可以更清楚的看出其物理意义。选择局部正交坐标系，其中是与梯度正交的方向。则在局部坐标系下，下面的等式成立：(10)因此，模型可以转化为如下定向扩散模型： (11)它只在方向上对初始图像进行扩散。由于正交于梯度的方向，因此它在梯度方向上不进行任何扩散。该模型的优点是在光滑图像的同时保留了边缘，但在光滑区域有可能将平坦的部分转变为分段部分，产生阶梯效应。对于位于图像同质区域的点，其邻域内的灰度变化比较平缓。由函数的定义可知，此时，模型转化为热扩散模型：(12)它在各个方向进行相同的扩散，它在光滑图像的同时模糊了边缘。因此，只要选取合适的函数，该模型既能克服由TV模型引入的阶梯效应，又能克服由调和模型所引入的边缘模糊，达到一个较好的恢复效果。3 新模型根据上一节的理论分析可知，混合扩散模型的扩散性能要大大优于TV模型，本节将给出一种基于混合各向异性扩散方程的图像恢复模型。3.1 图像恢复模型构造新的图像恢复模型：(13)其中为权重系数，的作用是调整平滑和锐化的比例，其不同取值控制着该模型平滑或锐化的强度。本文取, 。3.2 新模型的数值格式这里主要采用迎风格式进行差分，首先，对时间方向导数采用如下方式,其中，为时间步长。对于式中的扩散项,利用中心差分可以得到,.其中分别为方向上的步长，为一个小的正参数。对于模型中存在的非线性项，为此记,.令这里采用的是前向和后向差分格式，由此可得，.其中.4 结果分析本文对TV模型和新模型进行了仿真比较，实验是在Pentium4 CPU 3.00GHz，512MB内存，Matlab7.0环境下运行。采用峰值信噪比(PSNR)作为客观的衡量标准，PSNR定义为其中，为原始图像，为恢复后的图像，为图像大小。我们选取边缘丰富的Lena灰度图像和Peppers灰度图像作为测试图像，所加噪声均为标准偏差不同的高斯白噪声。其中图1为Lena图像恢复效果，图2为Peppers图像恢复效果。实验结果表明，本文模型能更好的平滑平坦区域并保持有意义的纹理，提高了去噪性能，较好的改善了图像的恢复质量。实验结果对比见表1。Lena原始图像噪声图像本文模型恢复效果TV模型恢复效果图1 Lena图像恢复效果Fig.1 The restoration of Lena gray imagePeppers原始图像噪声图像TV模型恢复效果本文模型恢复效果图2 Peppers图像恢复效果Fig.2 The restoration of Peppers gray image表1 图像处理前后PSNR对比实验图像Lena图像Peppers图像实验参数噪声偏差图像加噪后PSNR21.801dB21.659dBTV模型恢复后PSNR28.744dB29.602dB本文模型恢复后PSNR29.635dB30.439dB5 结论在Rudin，Osher和Alvarez等人的工作基础上对全变分模型和各向异性扩散模型做了改进，提出了基于全变分和非线性异性扩散方程的图像恢复模型。实验结果表明该模型能够有效的去除噪声、保持边缘，较好的恢复了图像质量。本文选取了比较简单的函数，今后需对函数的选取做进一步研究。参 考 文 献1P. 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