高中数学基础知识与基本技能

高中数学基础知识与基本技能数学（3） 第二章 统计数理统计学的基本思想是用样本估计总体，它主要研究两个基本问题：一是如何从总体中抽取样本，二是如何通过对所抽取的样本进行计算和分析，从而对总体的相应情况作出推断。本章是在初中“统计和概率初步”的基础上学习的，其内容可看成是以上内容的深入和扩展，但总的来说，所介绍的仍属于统计中一些极其初步的知识。一、基础知识本章学习的内容有：随机抽样、用样本估计总体、变量间的相关关系。随机抽样：从总体中抽取样本的方法叫抽样方法，统计中涉及的抽样方法很多，如果按照抽取时总体中的每个个体被抽取的概率是否相等来进行分类，可分为等概率抽样和不等概率抽样，等概率抽样又可分为不放回抽样和放回抽样。在抽样中，如果每次抽出个体后不再将它放回总体，称这样的抽样为不放回抽样；如果每次抽出个体后再将它放回总体，称这样的抽样为放回抽样常见的抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种，它们的共同特点是在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等，这体现了这些抽样方法的客观性和公平性。本节教学内容涉及的基础知识有：1、简单随机抽样：若一个总体的个体数有限，如果通过逐个抽取的方法从中不放回地抽取一个样本，且每次抽取时，各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。（1）根据简单随机抽样的定义，可以看到它有以下特点：它要求被抽取样本的个体数有限，以便于对其中各个个体被抽取的概率进行分析。它是从总体中逐个地进行抽取，这样便于在抽样实践中进行操作。它是一种不放回抽样，因而具有较广泛的实用性，也便于相关的分析和计算。它是一种等概率抽样，不论是每次从总体中抽取一个个体，还是在整个抽样过程当中，每个个体被抽取的概率相等，从而保证了这种抽样方法的公平性。值得注意的是，进行简单随机抽样时，“每次抽到一个个体时任一个体被抽到的概率”与“在整个抽样过程中某个体被抽到的概率”是不同的，关于这一点，我们可结合实例，利用初中学过的概率初步知识加以体会。（2）实施简单随机抽样，主要有两种方法：抽签法(抓阄法)和随机数表法。抽签法(抓阄法)就是在总体中个体数不多时，将总体中的个个体编号，把号码写在号签上，再将号签放在一个容器中搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取次，就得到一个容量为的样本。随机数表中的十个数字是用计算机生成的随机数，它们在每个位置上等概率地出现。用随机数表进行抽样的步骤是：将总体中的个体编号；选定开始的数字；获取样本号码。2、系统抽样：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一定数目的个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样。其操作步骤为： 将个体编号；分段；确定起始的个体号；抽取样本。关于系统抽样，我们指出以下几点：系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，因为这时采用简单随机抽样就显得不很方便；将总体中的个体均分后的每一段进行抽样时，采用的是简单随机抽样；与简单随机抽样一样，系统抽样也属于等概率抽样。特别地，当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，使剩下的个体数能被样本容量整除，然后再按系统抽样进行，这时在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率仍然是相等的。3、分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的这种情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样方法叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层。分层抽样的步骤是：分层；按比例确定各层抽取对象；各层抽样；综合各层，组成样本。由此我们不难看出：分层抽样适用于总体由差异明显的几个部分组成的情况；在每一层进行抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样；分层抽样也是等概率抽样。4、上述三种抽样方法的联系与适用范围见下表：类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样都是不放回抽样，抽样过程中,每个个体被抽到的机会(概率)相等从总体中逐个抽取总体中的个体数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则，在各部分抽取在起始部分抽样时，采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成用样本估计总体总体取值的概率分布规律通常称为总体分布。为了考察一个总体的情况，在统计中通常是从总体中抽取一个样本，用样本的有关情况去估计总体的相应情况。这种估计大体分为两类：1、用样本的频率分布去估计总体分布：样本频率是指样本在某一范围内的个数（频数）与样本总体的比值，样本的频率分布常用频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图、总体密度曲线、茎叶图等来表示。（1）频率分布表、频率分布直方图：是指在用样本估计总体时，通过各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度来表示频率分布的规律，它可以使我们看到整个样本数据的频率分布。其具体操作步骤是： 求极差，即求出一组数据中最大值与最小值的差； 决定组距与组数，组数应力求合适，一般分成10组左右； 将数据分组； 列频率分布表，将上述分组、频数累计、频数、频率列成表格； 画频率分布直方图，图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，这个图形的面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小，且图中各小矩形的面积的和等于1需要指出的是：在反映样本的频率分布方面，频率分布表在数量表示上比较确切，而频率分布直方图及初中学过的频率分布条形图则比较直观，两者相互补充，使我们对数据的频率分布情况了解得更加清楚 当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本不同数值及其相应的频率来表示，其几何表示就是相应的条形图；当总体中的个体取不同数值较多甚至无限时，对其频率分布的研究要用到初中学过的整理样本数据的知识，将样本数据恰当地分组，用各组的频率来描绘总体的分布，其几何表示就是相应的直方图。频率分布条形图和直方图的不同之处在于：前者用其高度来表示取各个值的频率，而后者是用图形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率。（2）频率分布折线图：顺次连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图。（3）总体密度曲线：样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图和频率分布折线图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线（5）茎叶图：与前面提到的图、表类似，茎叶图也可以用来表示样本数据的分布情况，“茎”是指中间的一列数，“叶”就是从“茎”的旁边生长出来的数。用茎叶图表示有两个突出的优点，其一，从统计图上没有信息的损失，所有的信息都可以从茎叶图中得到；其二，茎叶图可以随时记录与表示。但茎叶图一般只能表示两位的整数。2、用样本的数字特征估计总体的数字特征：样本的数字特征有平均数、众数、中位数、标准差、方差等。平均数、中位数、众数都是描述数据集中趋势的重要特征数，它们既有联系又有区别，应用时可根据具体情况进行选择。（1）平均数：就是一组数据的平均值。（2）众数：就是一组数据中出现次数最多的那个数据。（3）中位数：就是一组数据按从小到大(或从大到小)的次序排列后，位于中间的那个数据(当数据个数为奇数个)，或者是位于中间的两个数的平均数(当数据个数为偶数个)。说明：平均数虽然常可帮助我们了解一组数据的平均水平，但有时因受到该组数据中特别大或特别小数据的影响，不容易把数据的集中趋势与特征表示出来，所以有时我们用中位数或众数来代替平均数比较合理。（4）总体方差与总体标准差是描述一个总体的波动大小的特征量，可以通过计算样本方差与标准差对总体方差与标准差进行估计。样本方差公式是；样本标准差公式是；其中,分别是样本中个体的取值，是样本的平均数。说明：由于方差和标准差的计算量一般较大，所以通常需要借助科学计算器；方差和标准差的大小反映了总体或者样本的波动程度，可以对诸如均衡性、稳定性、差异性等作出描述；在分别利用方差和标准差对不同总体和样本进行比较时，其效果是等价的。 变量间的相关关系变量之间存在着两类关系：一类是函数关系，这是一种确定的关系，另一类是相关关系，这是一种非确定关系，这两类关系在一定条件下可以相互转化。1、变量间的相关关系：当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为相关关系。（1）相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系，函数关系是两个非随机变量之间的关系，是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，所以相关关系与函数关系不同，其变量具有随机性，因此相关关系是一种非确定性关系，既有因果关系，也有伴随关系。（2）相关关系与函数关系的异同点是：相同点：均是指两个变量的关系；不同点：函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系2、两个变量的线性相关：（1）回归分析：两个变量的相关关系有正相关、负相关，对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性。（2）一元线性回归分析：如果因变量仅与一个自变量有关，且因变量与自变量的关系是线性的，这样的回归分析叫一元线性回归分析，它是回归分析中最基本的一种类型。（3）散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图，散点图形象地反映了各对数据的密切程度。（4）线性相关与回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。（5）回归直线方程：设与是具有相关关系的两个变量，且相应于组观测值的个点大致分布在一条直线附近，则由，,所得到的直线方程叫做回归直线方程，是回归方程的斜率，是截距，相应的直线叫做回归直线，而对这两个变量所进行的统计分析就是线性回归分析。利用计算器或计算机的软件，可以方便地求出回归直线方程。（6）最小二乘法：在求回归直线时，上述公式中选取的使得误差的平方和最小，也就是使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法称为最小二乘法。值得指出的是，讨论变量是否线性相关，应先进行相关性检验，在确认线性相关后，再求回归直线。相关性检验的有关概念、方法和步骤，本章不作学习要求。统计学是搜集、分析数据，并据此获得总体信息的科学。这是一个信息的时代，人们在日常工作、生活中，不断受到数据信息的“轰炸”，数据处理日益显示其重要性和实用性。小至一家一户，大到国家大型建设工程，只有建立在概率统计这一科学方法基础上，才能做到投资少、收益大，尽可能地减少决策上的失误。因此，学好数理统计，无论对于我们进一步学习，还是帮助我们认识国情、制订决策、建设资源节约型社会都有十分重要的现实意义和指导意义。二、基本技能现代社会是信息化的社会，人们常常需要收集数据，根据所获得的数据提取有价值的信息，作出合理的决策。统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据。随机现象在日常生活中随处可见，下一章即将学习的概率则是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。因此，统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识。随机抽样是运用统计方法解决问题的第一步，简单随机抽样是随机抽样中最简单的一种模型，它是分层抽样、系统抽样以及其它更复杂抽样方法的基础，“随机抽样”与“简单随机抽样”是两个不同的概念。这一内容的基本技能主要表现在对三种常用抽样方法的理解、选择并正确运用，体会统计的作用和基本思想，用统计的思想去分析、解决实际问题。1、能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。2、结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。3、会对三种抽样方法进行比较和判断。在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法（抽签法、随机数表法）从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。4、能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。用样本估计总体涉及两方面的问题。一是如何用样本的频率分布去估计总体分布，二是如何用样本的某种数字特征去估计总体的相应特征数。这一内容的基本技能主要表现在能结合具体问题对统计中的概念进行描述性说明，学会从数据中提取信息，深入体会统计结果的随机性，培养基本计算、抽象概括、综合分析问题的能力，而不是简单地把统计处理成数字运算和画图表。1、通过实例体会分布的意义和作用。在表示样本数据的过程中，能用多种方法绘制统计表和统计图，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图，体会它们各自的特点。2、通过实例理解样本数据标准差的意义和作用。会利用计算器计算平均数、标准差、方差，会判断众数、中位数。3、能根据实际问题的需求合理地选取样本。从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释。4、在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想。会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；体会样本频率分布和数字特征的随机性。5、会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题。能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用。6、体会统计思维与确定性思维的差异。通过解决实际问题，较为系统地经历数据收集与处理的全过程，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。两个变量间的关系，除了函数关系这种确定性关系以外，还大量存在因变量的取值带有一定随机性的相关关系，一元线性相关关系是其中最简单的一种。这一内容的基本技能主要表现在：探索用多种方法确定线性回归直线，体会最小二乘法的思想，根据给出的公式求线性回归方程，通过对一些典型案例的处理，感受数据处理过程，并运用所学知识、方法去解决实际问题。1、会举例说明现实生活中存在的两个变量的相关关系。 2、通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图。能根据散点图的特点判断正相关、负相关，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。3、经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程，知道最小二乘法的思想。4、能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，会利用计算器和计算机有关软件求回归直线方程。三、典型例题例、因为样本是总体的一部分，是由某些个体组成的，尽管对总体有一定的代表性，但毕竟不等于总体，为什么不把所有的个体考察一遍，使样本就是总体？解：如果样本就是总体，抽样调查就变成了普查。尽管更真实可靠地反映了实际情况，但其可操作性、可行性、人力物力方面，都会有制约因素存在。何况有些调查是破坏性的，如一批玻璃的抗破碎能力、一批电池的使用寿命，普查就全报废了。因此，我们只能在条件许可的情况下，适当增加样本容量，并在取样过程中尽可能提高样本的代表性，去获取能客观地反映实际状况的样本数据，再对这些数据进行整理、计算、分析，作出科学的估计，这正是统计的基本思想。评析：本例涉及总体，个体，样本，样本的容量等基本知识，有助于我们进一步体会统计的基本思想，掌握将统计知识应用于实际问题的基本技能。例2、某校组织高三年级800名学生参加高考模拟考，其中理科类考生560人，文科类考生240人，为了调研数学学科有关教学情况，打算抽取一个容量为40的样本，问此样本该如何获得，写出抽样过程。解：因为不同科类的学生参加考试的数学试卷不同，故应先采用分层抽样的方法，由于560:240=7:3，设两类学生各抽个体数分别为，由+=40，得=4，故理科类考生应抽28人，文科类考生应抽12人。 考虑到理科类考生人数较多，可采用系统抽样的方法获得样本：首先，将该校所有560名理科类考生用随机方式编号（如按学号顺序），000，001，002，559，第2步，按编号顺序分成28段，每段20人，在第一段000，001，002， ，019这20个编号中，随机定一起始号则编号,为所抽取的理科类考生的一个样本。又考虑到文科类考生人数较少，可采用简单随机抽样方法获得样本:首先，将该校所有240名文科类考生都编上号码:001，002，003，240，如用抽签法，则做240个形状、大小相同的号签，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌。抽签时，每次从中抽出一个号签，连续抽12次，就得到一个容量为12的样本。如用随机数表法，则可在数表上随机选定一个起始位置，如起始位置是表中第7行17列的数字0，从0开始向右连续取数字，以三个数为一组，碰到右边线时向下错一行向左继续取，所得数字如下：068，877，047，447，672，176，335，025，839，212，067，697，832，所取录的三位数字如果不大于240，则对应此号的学生就是被抽取的个体，如果所取录的三位数字大于240而不大于480，则减去240，剩余数即是被抽取的号码，如果大于480而不大于720，则减去480，依此类推，如果遇到相同的号码，则只留第一次录取的数字，其余的舍去，经过这样处理，被抽取的学生对应号码分别是068，157，047，207，192，176，95，025，119，212，067，217，这样就得到文科类考生的一个样本。综上，我们就得到一个容量为40的样本。评析：本例中基本知识有：简单随机抽样，系统抽样，分层抽样的意义及三种抽样方法的联系与适用范围。通过对三种抽样方法的具体操作，培养科学、求实的学习、工作态度，保证抽样的公平性、客观性、准确性和可信性，体会每个个体等可能入样的随机抽样基本思想。例3、某盐场有甲、乙两套设备包装食盐，在自动包装传送带上，每隔3分钟抽一包称其重量是否合格，分别记录数据如下：甲套设备：504，510，505，490，485，485，515，510，496，500；乙套设备：496，502，501，499，505，498，499，498，497，505.（） 试确定这是何种抽样方法？（） 比较甲、乙两套设备的平均值与方差，说明哪套包装设备误差较少？解：（1）根据系统抽样方法的定义，可知这种抽样方法是系统抽样。（2）甲套设备的平均值、方差分别为 ；乙套设备的平均值、方差分别为；可见，所以乙套设备较甲套设备更稳定，误差较少。评析：本例中基础知识包括抽样方法、数据的平均值与方差及其实际意义。要求掌握抽样方法的确定、数据的平均值与方差的计算、抽样方法在实际问题中的应用等基本技能，培养用样本估计总体的统计基本思想和数学建模的思想。例4、为了解某校初中毕业班男生的身体发育情况，用随机抽样的方法抽查了100名同一年龄组学生的身高资料如下(单位：cm)：165.5166.5165161.5164.5164.5166164.5176158.5170173.5156163172157.5165.5168171175166168.5162.5162159.5163.5164.5167.5173168155172166.5174163160168166.5164.5158164170.5165162.5157169171.5173162158171.5158166163.5162159.5164165170174.5168.5164155.5172.566.5168176165.5160171164169.5174164.5159161.5167155.5163.5176159165.5162.5169.5172169.5175.5168.5157156156.5158.5167.5170.5167163.5170170165159.5试根据上述数据画出样本的频率分布直方图,并对相应的总体分布作出估计。解:可按照下列步骤获得样本的频率分布。(1) 计算最大值与最小值的差(极差)：在样本数据中，最大值是176，最小值是155，它们的极差是176-155=21(cm).(2) 确定组距与组数：如果将组距定为2cm，那么由212=10.5，组数为11，这个组数是合适的,于是取定组距为2cm，组数为11。(3)决定分点：根据上述数据的特点，第1小组的起点可取为154.5，第1小组的终点可取为156.5，为了避免一个数据既是起点，又是终点从而造成重复计算，不妨规定分组的区间是“左闭右开”的。这样，所得到的分组是，(3) 列出频率分布表,如下表：分组频数频率20.0250.05100.10100.10140.14170.17130.13110.1180.0870.0730.03合计1001.00（5）画出频率分布直方图：身高频率/组距0 154.5 156.5 158.5 160.5 162.5 164.5 166.5 168.5 170.5 172.5 174.5 176.5 0025005000750100在得到了样本的频率分布后，就可以对相应的总体情况作出估计。例如可以估计，身高在164.5166.5cm的学生最多，约占学生总数的17%，身高低于158.5cm的学生约占7%，身高超过174.5 cm的学生较少，仅占3%等 。评析：本例中基础知识有：样本数据，总体分布的估计，频率分布表，频率分布直方图及其相互联系；基本技能：频率分布表、频率分布直方图的操作步骤，用频率分布表、频率分布直方图估计总体分布；其基本数学思想有：对不同元素进行重组、分类讨论的思想方法。例5、（）设一组数据,的平均数为，方差为求证：（）设，记求证：证明：（） （），同理 ， .评析：这个结论告诉我们，将一组数据中每一个数减去同一个数，方差不变。因此，当样本数据较大时，如果数据相互比较接近，我们不妨将每个数据减去一个与样本平均数接近的常数，再计算方差。这样处理，可在样本方差计算中有效地减少运算量，深入体会利用已知公式、结论进行转换的等价转化思想和整体处理的思想，灵活掌握样本平均数、样本方差等基础知识。 例6、下表是某医院用光电比色计检验尿汞时，得到的尿汞含量(毫克升)与消光系数的一组数据：尿汞含量246810消光系数64138205285360（1）依据这些数据画出散点图并作直线,计算；（2）如果与之间具有线性相关关系，求回归直线方程，计算并与（1）中残差平方和比较大小。解：（1）散点图与直线的图形如下120240尿汞含量（毫克/升）2468100消光系数36030018060 当2，4，6，8，10，有63，137，211，285，359，计算得.（2）利用科学计算器进行计算得， ， 故所求回归直线方程为，且有62.6，136.5，210.4，284.3，358.2，计算得，比较可知用最小二乘法求出的残差平方和较小。评析：本例包含数形结合、线性回归、最小二乘法等基本数学思想，涉及线性回归分析、散点图、回归直线等基础知识及作两个变量的一组数据的散点图、利用计算器或计算机求回归直线方程等基本技能。四、基础知识和基本技能训练题(一)、选择题1、为了解学生佩戴校徽的真实情况，值日小组在学校某一路段随机抽查，这种抽查是（ ）（A）简单随机抽样 （B）分层抽样 （C）不放回抽样 （D）有放回抽样2、若某项改革方案与不同职业的人员有关系，为了抽查对这一方案的支持率，你认为最合适的抽样方法是( )（A）分层抽样 （B）抽签法 （C）随机数表法 （D）有放回抽样3、一个学校有初中生800人，高中生1200人，则是初中生占全体学生的（ ） （A）频数 （B）频率 （C）概率 （D）频率分布4、以下哪一个数不是总体的特征数( ) （A）总体平均数 （B）总体方差 （C）总体标准差 （D）总体的样本美术武术30%摄影25%棋类40%5、光明中学高一年级360名学生选择摄影、棋类、武术、美术四门校本课程情况的扇形统计图如右，从图中可以看出选择美术的学生人数是（ ）（A）18 （B）24 （C）36 （D）546、一组数据按大小关系排列为1，2，4，6，9这组数据的中位数为5，那么这组数据的众数为（ ）（）4 （B）5 （）5.5 （D）67、用简单随机抽样的方法从含有个个体的总体中抽取一个样本，则在抽样过程中，每个个体被抽取的可能性（ ）（A）相等 （B）逐渐增大 （C）逐渐减少 （D）不能确定8、将一组数据改变为，其中，则下列结论正确的是（ ）（A）平均数与方差均不变 （B）平均数不变，方差改变（C）平均数改变，方差不变 （D）平均数、方差都改变9、设有一个回归方程，则变量增加一个单位时，下列结论正确的是（ ）(A) 平均增加1.5个单位 (B) 平均增加2个单位 (C) 平均减少1.5个单位 (D) 平均减少2个单位10、高二（1）班某次数学考试的平均分为70分，标准差为，后来发现成绩记录有误，某甲得80分却误记为60分，某乙得70分却误记为90分，更正后计算得标准差为，则和之间的大小关系是（ ）（） （）（） （）与人数有关，无法判断二、填空题11、在统计中，经常从总体中抽取一个样本，用样本的 去估计总体的分布，样本的 ，这种估计也越准确。 12、某校高三、高二、高一三个年级的学生数分别为600人、650人、700人，现采用按年级分层抽样方法了解学生的视力状况，如果在高一年级共抽查了28人，那么这次抽查的容量 人。13、在表示频率分布的直方图中，小长方形的面积等于 。14、一个容量为20的样本数据分组后，各组与频数如下： ，3；，5；，5；，4；，2；，1则样本在上的频率为。15、某市对家庭购买轿车进行调查，共抽查3258个家庭，有586户购买了轿车，则该市家庭购买轿车购买率估计是 。时间(小时)人数0 0.5 1.0 1.5 2.0201510516、为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用以下的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 小时 17、在抽查某产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，是其中一组，若该组上的直方图的高为，那么该组的频率等于 。 18、学校阶梯教室共20排，每排有18个座位，一次讲座时坐满了学生，会后为了了解有关情况留下了所有座位号是10号的20位学生测试，这里运用的抽样方法是 。19、某校高二年级有4个理科班，各班的人数分别是52、54、54、53，各班的数学平均分分别是81、80、82、83，则这四个班的平均分是 （精确到0.1）。20、有人用回归方程（磅/英寸）（磅）由身高预测体重，其中体重与身高分别以磅和英寸为单位，已知1英寸2.5cm，1磅0.45kg，那么当小王的身高达到1.75m时，体重约为 kg21、随机抽查某校2006年10月份某星期5天中每天的用电量，数据如下：294，305，285，306，310，已知2006年10月1日是星期天，国家规定国庆节放假3天，若遇星期六、星期天可以补休，假定双休、节假日学校不用电，请你估计该校10份的总电量约为 度0.0100.0280.0050.0180.03930 40 50 60 70 80 时速(km/h)频率/组距 22、右图是200辆汽车经过某一雷达测速区的时速频率分布直方图，则时速超过60km/h的汽车大约有 辆三、解答题23、一个城市有240家商店，其中大型商店有36家，中型有60家，小型有144家，为掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本，你认为应该按照哪种抽样方法抽取样本？各类商店要抽多少家？写出抽样过程 111015181719乙段161415161415甲段24、在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶其中的甲、乙段台阶路的示意图如右所示请你用所学过的有关统计的数字特征（平均数、众数、中位数、方差和极差）回答下列问题：（1）两段台阶路有哪些相同点和不同点？（2）哪段台阶路走起来更舒服？为什么？（3）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议25、为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后组的频数成等差数列，求各组的最大频率和视力在.6到5.0之间的学生数。频率/组距视力0.10.3 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.226、为检查甲、乙两厂的100瓦灯泡的生产质量，分别从生产机器的传送带上每隔30分钟取一只，各抽取了20只灯泡，结果如下：瓦949698100102104106甲厂个数0368201乙厂个数1274321 (1) 试估计甲、乙两厂灯泡瓦数的平均值； (2) 如果在95105瓦范围内的灯泡为合格品计算两厂合格品的比例分别是多少；(3) 哪个厂的生产情况比较稳定？27、中学生的心理健康问题已引起了社会的广泛关注，黎明中学对全校600名学生进行了一次“心理健康”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图分 组频数频率/组距成绩(分)50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 100.50.004频率50.560.520.0460.570.50.1670.580.51080.590.590.5100.50.28合 计1.00请填写频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图28、某中学高二年级共有600名学生，现抽查60名同学的数学测试成绩如下：92 88 76 91 68 94 35 58 81 72 69 75 96 81 85 80 62 77 73 64 87 68 64 49 52 97 76 58 78 9163 87 89 71 90 74 69 88 65 49 83 74 69 64 66 78 98 86 53 6079 80 63 65 47 95 43 84 72 61 (1) 列出频率分布表；(2) 画出频率分布直方图；(3) 估计不及格和优秀（80分及以上）的人数29、在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按照天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图），已知从左到右各长方形的高的比为234641，第三组的频数为12，请解答下列各题：(1) 本次活动共有多少件作品参加评比？(2) 哪组上交的作品数量最多？有多少件？日期频率/组距(4) 经过评比，第四组和第六组分别有10件，2件作品获奖，问这两组哪一组获奖率较高？30、奥林匹克运动体现了人类挑战自我的精神，以下数据给出了到2001年为止的现代奥林匹克运动会的男子最好赛跑成绩：距离(单位：m)1002004008001500500010000时间(单位：s)9.8419.3243.491032137861627（1） 用以上数据作出时间关于距离的散点图；（2） 如果时间与距离具有显著线性相关，试根据散点图判断它们是正相关还是负相关,并求时间关于距离的一元线性回归方程（未完）17