抛物线的简单性质

抛物线的简单性质【学习目标】1 .知识与技能：掌握抛物线的范围、对称性、定点、焦点、准线、离心率、顶点、通径，理解2p和。的几何意义，初 步学习利用方程研究曲线性质的方法.2. 过程与方法：通过曲线的方程来研究曲线性质的方法，让学生体会数形结合的思想、方程思想及转化的思想在研究和 解决问题中的应用.3. 情感态度与价值观：通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，感受知识的发生发展过程，力求使学生获得符合 时代要求的“双基”【要点梳理】要点一：抛物线标准方程y2 = 2px(p 0)的几何性质1. 对称性观察图象，不难发现，抛物线y2=2px(p0)关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛 . .物线只有一条对称轴. . 2. 范围抛物线y2=2px (p0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标(x，y)的横坐 标满足不等式x0；当x的值增大时，lyl也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.抛物线是无界 曲线.3. 顶点抛物线和它轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是坐标原点(0，0). 4. 离心率抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率.用e表示，纣1. 5. 通径通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径.一 (p 因为通过抛物线y2=2px (p0)的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为p,p，k2 J(n 、一一 一、一p,-p，所以抛物线的通径长为2p.这就是抛物线标准方程中2p的一种几何意义.另一方面，由通径的 k2 J 定义我们还可以看出，p刻画了抛物线开口的大小，p值越大，开口越宽；p值越小，开口越窄.6.焦半径抛物线上任意一点M与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径.焦半径公式:抛物线 y2 = 2px(p 0),pF =x +投抛物线 y2 =-2px(p 0)|pf| =x ； 20抛物线 x2 = 2py(p 0),|pf| =p _p_+ y ； 20抛物线 x2 = 2py(p 0)|pf| =7.焦点弦定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦.设过抛物线y2 = 2px（p 0）焦点的直线交抛物线于A、B两点，焦点弦公式：焦点弦|ab| = p + （气+ x2）；同理:若抛物线为y2 =-2px(p 0)则aB = p (xi + x2)；若抛物线为x2 = 2py(p 0),则 AB = p + (yi + y2)；若抛物线为x2 =-2py(p 0)则 AB = P - (yi + y2) .有关性质:xx = p 和 y y = -p2.1 2412y = k (x )2 p土k 2 p 22 n y2y - p2 = 0 和 k2x2 - (k2p + 2p)x +y 2 = 2 px 若已知过焦点的直线倾斜角0，则AB = W ；当0 =900时，IABI的最小值等于2p ,sin2 0物线的通径.（过焦点且垂直于对称轴的相交弦）. 以AB为直径的圆必与准线Z相切. 焦点F对A、B在准线上射影的张角为90。.白112 +-aF bf要点诠释：抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但没有渐进线；抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；抛物线的离心率是确定的，为1.(1)(2)(3)(4)要点二：抛物线标准方程几何性质的对比p.4这时的弦叫抛图形Fk41牛土Ta标准方程y2=2px (p0)y2=2px(p0)x2=2py (p0)x2=2py (p0)顶点O (0， 0)范围x0，y g Rx0，x g Ry0恰恰说明定义中的焦点F不在准线 l上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值， 才易于确定焦点坐标和准线方程.要点三：直线和抛物线的位置关系1. 点和抛物线的位置关系将点P(x0，打)代入抛物线y2=2px(p0): 若y2 - 2pxQ 0，则点在抛物线外;若y2 - 2px0=0，点在抛物线上;若y2 - 2pxQ 0，则直线和抛物线相交(有两个交点);若=0，则直线和抛物线相切(有一个交点)；若=0，则直线和抛物线相离(无交点)；2.判断直线和抛物线位置关系的操作程序：把直线方程代入抛物线方程得到一元二次方程计算判别式A =0 A 0)，则焦点F(0, p)；2VM (M,-3)在抛物线上且IMFI=5,p = 4m = 2w：6m 2 = 6 p故I，解得寸 m 2 + (-3 + p )2 = 5m = 2t 6 ,抛物线方程为x2=-8j, 准线方程为j=2.解法二：如图所示:设抛物方程为x2=-2pj(p0),则焦点F(0,-p),准线l2作MN l，垂足为N,贝IMNI=IMFI=5,WI MN I= 3 + 匕,2. 3 + p = 5 ,. p=4,2由 M2= 8 (3),得m = 2、：6 ./. m - 2 气6 ,抛物线方程为x2=-8j,准线方程为y=2.【总结升华】抛物线的定义与方程的形式是解决抛物线几何性质问题时必须要考虑的两个重要因素举一反三：【变式1】设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点(k,-2)与F点的距离为4, 则k的值是()A. 4B. 4 或一4C.-2D. 2 或一2【答案】B【变式2】若抛物线y2 = 2ax的焦点与椭圆号+与=1的右焦点重合，则a的值为()A. -2B. 2C. -4D. 4类型二：直线和抛物线的位置关系例3.已知抛物线的方程为y 2=4 x ,直线l过定点P(-2,1)，斜率为k, k为何值时，直线l与抛物线y2=4x :(1) 只有一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点？【思路点拨】先定数，在定量：画出草图，确定与抛物线有一个、两个、没有公共点的直线条数；再设出直 线l的方程，与抛物线方程联立，消元，判断一元一次方程或一元二次方程解的个数，从而确定k的值.【解析】设直线l的方程为：y -1 = k(x + 2),、，、1 y 1 = k (x + 2),g ,八联立j,整理得ky2 4y + 8k + 4 = 0.当k=0时，方程有一个解，此时直线l方程为y=1,与抛物线有一个公共点；当k。0时，方程为一元二次方程，判别式= 16(2k2 + k 1),当0 ,即1 k 1时，方程有2个不同的解，所以此时直线l与抛物线有2个公共点；2当=0，即k = 1或k 1时，方程有1个解，所以此时直线l与抛物线有1个公共点；2当0，即k 1时，方程有没有解，所以此时直线l与抛物线有没有公共点；2综上所述，当k=0或k = 1或k 1时，直线l与抛物线只有1个公共点；2当1 k 1时，直线l与抛物线有2个公共点；2当k1时，直线l与抛物线有没有公共点.2如图:【总结升华】直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形：一种是直线平行于抛物线的对称轴；另一种是 直线与抛物线相切.【变式1】过点（0，2）与抛物线j2=8x只有一个公共点的直线有（）A. 1条B. 2条C. 3条D.无数多条【答案】C【变式2】已知抛物线方程y2=4x，当b为何值时，直线l： y=x+b与抛物线：（1）只有一个公共点；（2）两个公共点；（3）没有公共点.当直线与抛物线有公共点时，b的最大值是多少？ 【解析】联立y=x+b和y2=4x,消去x，可得一兀二次方程：y2 4y + 4b = 0当=16（1 b）=0，即b=1时，直线和抛物线只有一个公共点；当=16（1 b）0，即b1时，直线和抛物线有两公共点；当=16（1 b）1时，直线和抛物线没有公共点.当直线和抛物线有公共点时，b 1，所以b的最大值是1.类型三：焦点弦和焦半径例4.斜率为1的直线经过抛物线y2 = 4x的焦点，与抛物线相交于两点A. B，求焦点弦长AB的长.【解析】方法一：由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为尸（1，0），所以直线AB的方程为y - 0 = 1 - （x -1），即y = x -1，将方程代入抛物线方程y2 = 4x，化简得x2- 6x +1 = 0，解这个方程，得x = 3 + 22， x = 3 22，将x = 3 + 2顼2，x = 3-20)的焦点弦，若IABI=m，则AB中点的横坐标为 【解析】AexBe，p为RtwB斜边中点，.Ipg遗卜斜.设AB中点的横坐标为x0，则IPQI=x0+ p .由十号，得号所以AB中点的横坐标为竺二巴.2【变式2】抛物线y2=4x的过焦点的弦长136，则此弦所在直线的倾斜角为【解析】设弦所在直线斜率为奴由y2=4x得焦点F（1，0），则直线方程为y=k（x-1）.联立 y=k（x-1）和 y2=4x，消去 y 得 k2x2-（2k2+4）x+k2=0,由韦达定理得x1+x2= 2*人+ 4 ,由抛物线定义知弦长d=x1+x2+p=之；* +2=?，解得k=:3 ,.倾斜角为60或 120.【巩固练习】有一个顶点；有一个焦点；有一个对称中心；有一条对称轴；有一条准线A.B.C .D .2.顶点在原点，关于y轴对称，并且经过点M（4, 5）的抛物线方程为（)A16A. y2- x516B. y2= x5厂16C. X2= y516D. x2= y53.抛物线x2=4y的通径为AB，O为坐标原点，则（）,一、选择题1.下列有关抛物线的说法正确的是（A.B.C.D.通径AB的长为8 通径AB的长为8 通径AB的长为4 通径AB的长为4AOB的面积为4AOB的面积为2AOB的面积为4AOB的面积为24.过抛物线y2=4x的焦点F作直线l交抛物线于A, B两点，若IABI = 6,则线段AB的中点横坐标为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 一抛物线拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，则当水面下降1米后，水面宽是（ ）米A. 26C. 6t 4111 aD. 66. 设抛物线j2=8x的焦点为F准线为l, P为抛物线上一点，PALI, A为垂足.如果直线AF的斜 率是0)焦点的弦长为5 p.求弦所在直线的方程.215.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1), B(x2, y2) (x1）,将C4, 5）代入得叩8 ,所以，抛物线方程为X2= 16 y.53. 【答案】D1【解析】AB = 2p=4, SAOB= x1x4=2.4. 【答案】B【解析】抛物线y2=4x中p = 2,弦AB为焦点弦.设A（x1，为），B（x2, y2），则AB=x1+x2+p=x1+x2+2 = 6,即 X+x2=4,则土也 =2,即线段AB的中点横坐标为2.25. 【答案】A【解析】如图，以拱桥的最高点为原点，以垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系. 设抛物线方程为x2=oy （。0时，即(2k4)24k20，解得k1且k找，I与C有两个公共点，此时l与C相交;(2) 当A0时，即(2k4)24k20,解得k=1, l与C有一个公共点，此时l与C相切；当A0时，即(2k4)24k21, l与C没有公共点，此时l与C相离.综上所述，当k1或k=0时，l与C有一个公共点；当k1时，l与C没有公共点.12.【解析】抛物线j2ax(存0)的焦点F坐标为(-,0),则直线l的方程为j=2(x-)，它与j轴4 4的交点为A(0,-),2所以OAF的面积为i-I- I-I- I =4,解得- 8.2 4 2所以抛物线方程为J28x.13.【解析】抛物线的焦点为F(1, 0),准线方程为x= 1.由抛物线定义知IABI IAFI + IBFI =x + +x + P =x +x +p,即 x +x +2=7,得 x +x =5,1 222121212于是弦AB的中点M的横坐标为空冬=5，因此点M到抛物线准线的距离为5 +1 7 .2 222、.14.【解析】设焦点F(号，0), A、B为弦的两端点，坐标为A(x1， j1), B(x2，j2).A若AB_LOx,贝AB=2p p.直线AB斜率存在，设为k.y = k（x-由2 消去 x,整理得 ky2.-2py-kp2=0,y2 = 2 px, 2p 坊+为=，七方二-网I r ） i 5.IAg|=,l +若 f+七）2 4七七=2/?-（l + ） = -/?,解得心 2.pp弦所在直线方程为y=2（x-；y）,或y=-2（x-）.2p 5方法二：设弦A8所在直线的倾斜角为0,则AB= = -p. sin 2024 1.sin20= , cos20= , tan20=4./.A:. =tan0=2.5 5ABpp弦所在直线方程为y=2（x-；y）,或y=-2（x-）.15. 【解析】方法一:直线AB的方程是y22 (x )?与y2=2px联立, 2从而有 4x25px+p2=0,则2=手由抛物线定义得IABI=x1+x2+t9 = 9,由解得p=4,从而抛物线的方程是叫=板.方法二：设直线的倾斜角为。，由题意可知，tan。=2扼，所以sin0=.焦半径公式|A8| = * 可得： Wj=9,解得p=4,sin202还所以抛物线的方程是J2 = 8x.