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习题二1.一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同步取3只,以X表达取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.【解】故所求分布律为X345P0.10.30.62.设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X表达取出的次品个数,求:(1) X的分布律;(2) X的分布函数并作图;(3).【解】故X的分布律为X012P(2) 当x0时,F(x)=P(Xx)=0当0x1时,F(x)=P(Xx)=P(X=0)= 当1x2时,F(x)=P(Xx)=P(X=0)+P(X=1)=当x2时,F(x)=P(Xx)=1故X的分布函数(3) 3.射手向目的独立地进行了3次射击,每次击中率为0.8,求3次射击中击中目的的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】设X表达击中目的的次数.则X=0,1,2,3.故X的分布律为X0123P0.0080.0960.3840.512分布函数4.(1) 设随机变量X的分布律为PX=k=,其中k=0,1,2,0为常数,试拟定常数a.(2) 设随机变量X的分布律为PX=k=a/N, k=1,2,N,试拟定常数a.【解】(1) 由分布律的性质知故 (2) 由分布律的性质知即 .5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次,求:(1) 两人投中次数相等的概率;(2) 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、Y表达甲、乙投中次数,则Xb(3,0.6),Yb(3,0.7)(1) + (2) =0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是互相独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才干保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率不不小于0.01(每条跑道只能容许一架飞机降落)?【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数,则Xb(200,0.02),设机场需配备N条跑道,则有即 运用泊松近似查表得N9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不不不小于2的概率是多少(运用泊松定理)?【解】设X表达出事故的次数,则Xb(1000,0.0001) 8.已知在五重贝努里实验中成功的次数X满足PX=1=PX=2,求概率PX=4.【解】设在每次实验中成功的概率为p,则故 因此 .9.设事件A在每一次实验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,批示灯发出信号,(1) 进行了5次独立实验,试求批示灯发出信号的概率;(2) 进行了7次独立实验,试求批示灯发出信号的概率.【解】(1) 设X表达5次独立实验中A发生的次数,则X6(5,0.3)(2) 令Y表达7次独立实验中A发生的次数,则Yb(7,0.3)10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2)t的泊松分布,而与时间间隔起点无关(时间以小时计).(1) 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率;(2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.【解】(1) (2) 11.设PX=k=, k=0,1,2PY=m=, m=0,1,2,3,4分别为随机变量X,Y的概率分布,如果已知PX1=,试求PY1.【解】由于,故.而 故得 即 从而 12.某教科书出版了册,因装订等因素导致错误的概率为0.001,试求在这册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为册书中错误的册数,则Xb(,0.001).运用泊松近似计算,得 13.进行某种实验,成功的概率为,失败的概率为.以X表达实验初次成功所需实验的次数,试写出X的分布律,并计算X取偶数的概率.【解】14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参与了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002,每个参与保险的人在1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险公司领取元补偿金.求:(1) 保险公司亏本的概率;(2) 保险公司获利分别不少于10000元、0元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.(1) 在1月1日,保险公司总收入为250012=30000元.设1年中死亡人数为X,则Xb(2500,0.002),则所求概率为由于n很大,p很小,=np=5,故用泊松近似,有(2) P(保险公司获利不少于10000) 即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P(保险公司获利不少于0) 即保险公司获利不少于0元的概率约为62%15.已知随机变量X的密度函数为f(x)=Ae-|x|, -x+,求:(1)A值;(2)P0X1; (3) F(x).【解】(1) 由得故 .(2) (3) 当x0时,当x0时, 故 16.设某种仪器内装有三只同样的电子管,电子管使用寿命X的密度函数为f(x)=求:(1) 在开始150小时内没有电子管损坏的概率;(2) 在这段时间内有一只电子管损坏的概率;(3) F(x).【解】(1) (2) (3) 当x100时F(x)=0当x100时 故 17.在区间0,a上任意投掷一种质点,以X表达这质点的坐标,设这质点落在0,a中任意社区间内的概率与这社区间长度成正比例,试求X的分布函数.【解】 由题意知X0,a,密度函数为故当xa时,F(x)=1即分布函数18.设随机变量X在2,5上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测,求至少有两次的观测值不小于3的概率.【解】XU2,5,即故所求概率为19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布.某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟她就离开.她一种月要到银行5次,以Y表达一种月内她未等到服务而离开窗口的次数,试写出Y的分布律,并求PY1.【解】依题意知,即其密度函数为该顾客未等到服务而离开的概率为,即其分布律为20.某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤,所需时间X服从N(40,102);第二条路程较长,但阻塞少,所需时间X服从N(50,42).(1) 若动身时离火车开车只有1小时,问应走哪条路能乘上火车的把握大些?(2) 又若离火车开车时间只有45分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些?【解】(1) 若走第一条路,XN(40,102),则若走第二条路,XN(50,42),则+故走第二条路乘上火车的把握大些.(2) 若XN(40,102),则若XN(50,42),则 故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设XN(3,22),(1) 求P2X5,P-4X10,PX2,PX3;(2) 拟定c使PXc=PXc.【解】(1) (2) c=322.由某机器生产的螺栓长度(cm)XN(10.05,0.062),规定长度在10.050.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】 23.一工厂生产的电子管寿命X(小时)服从正态分布N(160,2),若规定P120X2000.8,容许最大不超过多少?【解】 故 24.设随机变量X分布函数为F(x)=(1) 求常数A,B;(2) 求PX2,PX3;(3) 求分布密度f(x).【解】(1)由得(2) (3) 25.设随机变量X的概率密度为f(x)=求X的分布函数F(x),并画出f(x)及F(x).【解】当x0时F(x)=0当0x1时 当1x0;(2) f(x)=试拟定常数a,b,并求其分布函数F(x).【解】(1) 由知故 即密度函数为 当x0时当x0时 故其分布函数(2) 由得 b=1即X的密度函数为当x0时F(x)=0当0x1时 当1x0时, 故 (2)当y1时当y1时 故 (3) 当y0时当y0时 故31.设随机变量XU(0,1),试求:(1) Y=eX的分布函数及密度函数;(2) Z=-2lnX的分布函数及密度函数.【解】(1) 故 当时当1ye时当ye时即分布函数故Y的密度函数为(2) 由P(0X0时, 即分布函数故Z的密度函数为32.设随机变量X的密度函数为f(x)=试求Y=sinX的密度函数.【解】当y0时,当0y1时, 当y1时,故Y的密度函数为33.设随机变量X的分布函数如下:试填上(1),(2),(3)项.【解】由知填1。由右持续性知,故为0。从而亦为0。即34.同步掷两枚骰子,直到一枚骰子浮现6点为止,求抛掷次数X的分布律.【解】设Ai=第i枚骰子浮现6点。(i=1,2),P(Ai)=.且A1与A2互相独立。再设C=每次抛掷浮现6点。则 故抛掷次数X服从参数为的几何分布。35.随机数字序列要多长才干使数字0至少浮现一次的概率不不不小于0.9?【解】令X为0浮现的次数,设数字序列中要涉及n个数字,则Xb(n,0.1)即 得 n22即随机数字序列至少要有22个数字。36.已知F(x)=则F(x)是( )随机变量的分布函数.(A) 持续型; (B)离散型;(C) 非持续亦非离散型.【解】由于F(x)在(-,+)上单调不减右持续,且,因此F(x)是一种分布函数。但是F(x)在x=0处不持续,也不是阶梯状曲线,故F(x)是非持续亦非离散型随机变量的分布函数。选(C)37.设在区间a,b上,随机变量X的密度函数为f(x)=sinx,而在a,b外,f(x)=0,则区间 a,b等于( )(A) 0,/2; (B) 0,;(C) -/2,0; (D) 0,.【解】在上sinx0,且.故f(x)是密度函数。在上.故f(x)不是密度函数。在上,故f(x)不是密度函数。在上,当时,sinx0)=1,故01-e-2X1,即P(0Y1)=1当y0时,FY(y)=0当y1时,FY(y)=1当0y1时,即Y的密度函数为即YU(0,1)41.设随机变量X的密度函数为f(x)=若k使得PXk=2/3,求k的取值范畴. (研考)【解】由P(Xk)=知P(Xk)=若k0,P(Xk)=0若0k1,P(Xk)= 当k=1时P(Xk)=若1k3时P(Xk)=若3k6,则P(X6,则P(Xk)=1故只有当1k3时满足P(Xk)=.42.设随机变量X的分布函数为F(x)=求X的概率分布. (1991研考)【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系,可知X的概率分布为X-113P0.40.40.243.设三次独立实验中,事件A浮现的概率相等.若已知A至少浮现一次的概率为19/27,求A在一次实验中浮现的概率.【解】令X为三次独立实验中A浮现的次数,若设P(A)=p,则Xb(3,p)由P(X1)=知P(X=0)=(1-p)3=故p=44.若随机变量X在(1,6)上服从均匀分布,则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少? 【解】45.若随机变量XN(2,2),且P2X4=0.3,则PX0= . 【解】故 因此 46.假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.7可以直接出厂;以概率0.3需进一步调试,经调试后以概率0.8可以出厂,以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n2)台仪器(假设各台仪器的生产过程互相独立).求(1) 所有能出厂的概率;(2) 其中正好有两台不能出厂的概率;(3)其中至少有两台不能出厂的概率. 【解】设A=需进一步调试,B=仪器能出厂,则=能直接出厂,AB=经调试后能出厂由题意知B=AB,且令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数,则X6(n,0.94),故 47.某地抽样调查成果表白,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.【解】设X为考生的外语成绩,则XN(72,2)故 查表知 ,即=12从而XN(72,122)故 48.在电源电压不超过200V、200V240V和超过240V三种情形下,某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2(假设电源电压X服从正态分布N(220,252).试求:(1) 该电子元件损坏的概率;(2) 该电子元件损坏时,电源电压在200240V的概率【解】设A1=电压不超过200V,A2=电压在200240V,A3=电压超过240V,B=元件损坏。由XN(220,252)知 由全概率公式有由贝叶斯公式有49.设随机变量X在区间(1,2)上服从均匀分布,试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y).【解】由于P(1X2)=1,故P(e2Ye4)=1当ye2时FY(y)=P(Yy)=0. 当e2y1时, 即 故 51.设随机变量X的密度函数为fX(x)=,求Y=1-的密度函数fY(y). 【解】 故 52.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为t的泊松分布.(1) 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布;(2) 求在设备已经无端障工作8小时的情形下,再无端障运营8小时的概率Q.(1993研考)【解】(1) 当tt与N(t)=0等价,有即 即间隔时间T服从参数为的指数分布。(2) 53.设随机变量X的绝对值不不小于1,PX=-1=1/8,PX=1=1/4.在事件-1X1浮现的条件下,X在-1,1内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比,试求X的分布函数F(x)=PXx. (1997研考)【解】显然当x-1时F(x)=0;而x1时F(x)=1由题知当-1x1时,此时 当x=-1时,故X的分布函数54. 设随机变量X服从正态分N(1,12),Y服从正态分布N(2,22),且P|X-1|P|Y-2|1,试比较1与2的大小. (研考)解: 依题意 ,则,.由于,即,因此有 ,即.
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