第六讲 线性变换部分

第六讲 线性变换线性变换空间分解问题1.设是数域上的二次多项式，在内有互异根，设是上的线性空间的一种线性变换，证明： 1）为的特性值，2）表达属于的特性子空间，则证明：由已知由于因此存在，使得，但所觉得的特性值，是的属于的特性向量. 同理为的特性值.2）由于互异，因此，即存在多项式使得，因此对任意，令则因此因此故，又设，由于，因此，因此，因此因此.2.设是上的线性空间的一种线性变换，证明： 证明：，显然任意，因此，因此，故，因此任意，由于，因此存在，使得，由因此，又因此，因此，故因此.措施二：令，任意，则反之任意，存在，使得，因此，因此由于因此，由于，因此存在多项式使得，因此对任意，令则因此因此，因此任意，因此，因此，故，因此.3.，设是上的线性空间的一种线性变换，是的核，是的核，是的核，证明：证明：由于，因此存在多项式使得，因此对任意，则.由于令则因此， 因此，因此任意，因此，因此，故，因此3. 是有理数域上的线性空间，设是的一种非零线性变换，且满足，证明：1）；2）必存在的一种3维子空间.证明：1）由于，因此令， 令，任意，因此反之任意，存在，使得，因此，因此由于，因此存在多项式使得，因此对任意，令则因此， 因此，因此任意，因此，因此，故，因此2)由于是的一种非零线性变换，因此存在因此.对任意二次多项式，设，则由于是有理数域上的不可约多项式，因此或，由于则存在多项式使得，因此，因此线性无关，设，则是的3维子空间，且因此即，故.因此是的一种3维子空间.若是有限维空间还可以进行如下证明：由知的最小多项式必为的因式，又因此的最小多项式必为含因子，又是有理数域上的不可约多项式，因此必有为在有理数域上的初等因子，因此在某组基下相应的矩阵为有理原则形，其中必至少有一块由拟定，不妨设为，因此，如果有关的矩阵为，则取 ，则是的一种3维的子空间.4. 设是上的线性空间的一种线性变换，,证明： 证明：对任意的，由于，因此，因此，因此对，则.由于，因此存在多项式使得，因此，因此.综上5.证明：是为线性空间，是的线性变换，证明：的充足必要条件为或的充足必要条件为证明：如果，则对任意的，均有,因此对，存在使得，设由于，因此存在则因此， 显然因此如果，取为的基， 将扩大为的基，设，则因此，由于线性无关，因此因此是的基. ，又，因此是的基，线性无关设则，因此，因此故线性无关.设，则由于线性无关，故因此，即.6. 设是上维线性空间的一种线性变换，是的子空间，证明：是可逆变换的充足必要条件是证明：设与分别为的基，则由知是的基，是维的线性空间.如果是可逆的线性变换，则仍是的基，因此如果，由于因此，又是维的线性空间因此线性无关，因此是的基，因此将的基化为基，因此可逆.特性值、特性向量、特性多项式1）有特性值，则矩阵多项式有特性值2）的特性多项式为，则3）哈密尔顿-凯莱定理：的特性多项式为，则4)最小多项式是觉得根的次数最低的首项系数为1的多项式性质：最小多项式整除任何觉得根的多项式5）的属于不同特性值的特性向量线性无关 1. 是阶复方阵，的特性多项式与最小多项式有完全相似的根（重数也许不同）证明：由哈密尔顿-凯莱定理：的特性多项式为，则，因此因此最小多项式的根都是特性多项式的根。如果是特性多项式的根，则存在非零向量，使得，因此而，因此，又，因此，因此特性多项式的根都是最小多项式的根。故的特性多项式与最小多项式有完全相似的根。2. 是数域上的阶方阵，是的特性多项式，证明：如果互素，可逆.证明：，因此因此存在多项式使得，因此，由于,因此，因此可逆是的多项式。3.若为的复系数多项式，复方阵的特性值都不是的根，求证：可逆，且其逆是的多项式证明：设是的特性多项式，由于的特性值都不是的根，因此（同上）4. 是数域上的阶方阵，可逆，则可以表达到的多项式证明：可逆，则的特性值都不为0，因此的特性多项式的常数项非零，令，又,因此5. 是数域上的阶方阵，为首项系数为1的不可约多项式，且证明：1）有关矩阵的加法和数乘法构成上的线性空间；2）若则3）的维数等于的次数证明：1）是的非空子集，且对任意,因此有关矩阵的加法和数乘法构成上的线性空间。2）设是的最小多项式，则首项系数为1，且对任意满足的均有，因此，又为首项系数为1的不可约多项式，因此，即就是的最小多项式，因此若则3）设，由于就是的最小多项式，因此相应任何次数不不小于的多项式均有，因此如果不全为零，必有，因此线性无关，又，对任意因此有，因此可由线性表达，因此是的基，因此的维数等于的次数.5.,求解：的特性多项式为，设则由有由解得，因此6.是阶复方阵，的特性值全为零，证明：7. 的特性多项式为，分别求的特性多项式解：措施一，令则因此的特性多项式为的特性多项式为的特性多项式为的特性多项式为的特性多项式为措施二 有相似的特性多项式，则有相似的特性多项式，由于的特性多项式为，取，的特性多项式为,它的特性多项式为对角化问题1. 是阶方阵, 可对角化当且仅当有个线性无关的特性向量2. 是阶方阵, 可对角化当且仅当的最小多项式可以分解成互不相似的一次因式之积1. 是阶复方阵，是的特性多项式，证明：与对角阵相似当且仅当证明：设则其中是互不相似的一次因式，且不再整除则如果与对角阵相似，则的最小多项式可以分解为互不相似的一次因式之积，且最小多项式与特性多项式有完全相似的根，因此就是最小多项式，因此.反之如果，设为的最小多项式，则，因此可以分解为互不相似的一次因式之积，因此与对角阵相似.2. 是阶方阵，与否与一种对角形矩阵相似，如是，写出该对角形矩阵.解：由于，则,因此的最小多项式是的因式，因此的最小多项式可以分解为互不相似的一次因式之积，与对角阵相似.由于最小多项式与特性多项式有完全相似的根，因此相似于，对角线上的个数为.3. 是阶是实对称方阵，证明存在正交矩阵，使得4.是阶复方阵，如果存在正整数，使得,则与对角阵相似.解：由于，则,因此的最小多项式是多项式的因式，由于，因此，因此无重根，因此无重根，即有的最小多项式可以分解为互不相似的一次因式之积，与对角阵相似.5.是阶方阵，,求证：1）；2）3）时，求的解证明：由于，则,因此的最小多项式是的因式，因此的最小多项式可以分解为互不相似的一次因式之积，与对角阵相似.设是的特性值，是的属于特性值的特性向量，因此，即有，又，因此，即，由于，因此，因此只能是0或.（或者由于最小多项式与特性多项式有完全相似的根，因此只能是0或）因此相似于，对角线上的个数为.即有存在可逆矩阵，使得.1）由于,因此2）由于，因此因此相似于，显然3），知的列向量是的解，又，因此的列向量组的极大无关组是的基本解系.6. 是阶方阵，时，称为幂等矩阵，证明：两个幂等矩阵相似当且仅当它们等价.证明：两个阶方阵等价当且仅当它们有相似的秩.由上题知，幂等矩阵都相似于形如的矩阵，因此两个幂等矩阵相似当且仅当它们有相似的相似原则形，当且仅当它们的秩相似，当且仅当它们等价.7. 是阶方阵，如果，则可对角化证明：如果或，结论显然如果，则的非零解是的属于特性值0的特性向量，因此有个线性无关的属于特性值0的特性向量.同理的非零解是的属于特性值1的特性向量，因此有个线性无关的属于特性值1的特性向量，由于，因此有个线性无关的特性向量，因此可对角化. 8.是复数域上维线性空间的一种线性变换，证明：存在的一组基，使得在该基下的矩阵为对角形.证明：证明：由于，则,因此的最小多项式是的因式，由于，因此，因此无重根，因此无重根，即有的最小多项式可以分解为互不相似的一次因式之积，与对角阵相似.9. 是阶方阵，证明：如果存在，使，则对任意正整数，证明：设是的特性值，是的属于特性值的特性向量，则，即有，由于，因此，因此只能是0.（或者由于最小多项式与特性多项式有完全相似的根，因此只能是0）因此对任意正整数，的特性值都是0.因此.10. 是阶方阵，证明：对任意正整数，则.证明：假设有非零的特性值，设是的互不相似的非零特性值，且重数非别是，由，因此有，由于因此，因此没有非零的特性值，因此的特性值都是零.因此的Jordan原则形因此由于，因此，即因此.11.是实矩阵，若，求证：证明：，因此的最小多项式为的因式，又与有相似的非零特性值，且，因此可逆，因此0不是的特性值，因此的特性值为，又是实对称矩阵，因此可对角化，即存在正交矩阵,使得.12.设均为非零向量，令求：1）;2) 的特性值与特性向量；3）与否可对角化解：由于均为非零向量，因此 一）如果，则的最小多项式为，因此不可对角化此时的特性值都为0，的非零解即为的特性向量，设，由于， ，因此，又，不妨设，的基本解系为，的特性向量为二）如果，则的最小多项式为，最小多项式为互不相似的一次因式之积,因此可对角化.此时,的特性值都为(为重特性根)，相应的特性值，的非零解即为相应的特性值的特性向量，与上面相似可得，相应的的特性值的特性向量为的特性值都为，由于 因此相应的的特性值的特性向量为.13.设是因此元素都是1的阶方阵， 1）求的特性值与特性向量；2）设为复数域上多项式，证明可对角化(,运用上题措施即可)14.正交相似，求实数及正交矩阵,使得.解：正交相似，因此是对称矩阵，因此又相似，因此，因此15.设为正数，求对角矩阵，使得与相似16.设是复数域上维线性空间上的某些非零线性变换构成的非空集合，已知中没有线性变换的公共的非平凡不变子空间，又线性变换满足对中任意的变换都成立，证明：必存在复数，使.证明：设是的特性值，是的属于特性值的特性向量，则，设，则对中的任意向量，由，有，因此，因此对中任意的变换，是的不变子空间，又中没有非平凡的公共不变子空间，因此或，显然，因此，因此.17.已知是3个3阶矩阵，且证明：1）的特性值只有1和0；2）的属于特性值1的特性向量是（）的属于特性值0的特性向量；3）若分别是属于的特性值1的特性向量，则线性无关证明：1）设是的特性值，是的属于特性值的特性向量，则，即有，因此由于，因此，因此只能是0或1.（或者由于最小多项式与特性多项式有完全相似的根，因此只能是0或1）2）设是的属于特性值1的特性向量，则，时，因此的属于特性值1的特性向量是的属于特性值0的特性向量.3）分别是属于的特性值1的特性向量设，则，由于的属于特性值1的特性向量是的属于特性值0的特性向量，即又，因此同理，因此线性无关.18. 是阶方阵，证明：存在正整数，使得，并存在阶方阵,使得证明：设的Jordan原则形其中是矩阵，因此存在可逆矩阵，使得,，因此，又因此取，则因此如果可逆，取即可，如果不可逆，则有特性值零，因此的Jordan原则形中有某些Jordan块相应特性值0，而相应的特性值非零，因此它们都是可逆矩阵. ，因此取,即有19. 、都是阶方阵，证明：如果，则存在多项式，使得证明：，因此如果，取为零多项式即可，如果，设的Jordan原则形其中是矩阵，由，可使都可逆.又的Jordan原则形为，因此存在可逆矩阵，使得又，因此,令由于,因此且因此，又的最小多项式分别为取，则只需要即可，又取即可.18.是有理数域上维线性空间、是上的线性变换，可对角化，证明：存在正整数，使得证明：由已知，存在的一组基，使得、在该基下的矩阵分别为,且，对进行与同样的分块，有，由于，有,因此存在，使得，即存在正整数，使得.