线性代数知识点总结第一章

线性代数知识点总结第一章 行列式第一节：二阶与三阶行列式、 &11 把表达式 a ii a?2*12玄21称为 a21ai2 所确定的二阶行列式，并记作a 22ai1a21ai2ai2aiia21ai2a22ana22 ai2a2 i结果为一个数。冋理，把表达式 21822833 812823031 ai3a2ia32aiia23a32ai221 a33a) 3*22*31,称为由数a11a12a13表a21aoo22a23所确定的三阶行列式，记作a31aoo32a“33a12a1113aaa212223aaa313233an12a2ia3i1322a2332a33aaa=a11 a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33ai3a22a31三阶行列式的计算：对角线法则 注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。利用行列式计算二元方程组和三元方程组：对二兀方程组a11x(a21 Xl12X2a?2X2b2a21a12D1bi a12D2a21 b2D1Dd12bla11b2a22、，D2a21b2入2Da11a12a11a12a21a22a21a22a22a22Ib2a1X对三兀方程组a21 xla X31 1o12 2 a?2X2 a X32 2aX13 3aX23 3aX33 3anaai2i3a21b.aaabiaaabiii2i3iiii3iii2ib2a22aDab2aDaa22b2223， 22i223，32i2b3比2aab3aaabs333i333i32D.i，X2a31D3D（课果本上没有）D.iaaa2223aa3233则x1Dn元线性方程组的求解上。注意：以上规律还能推广到第二节：全排列及其逆序数全排列：把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（或排列）。n个不同的元素的所有排列的总数，通常用 Pn （或An）表示。（课本P5）逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。 排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。（课本P5）计算排列逆序数的方法：方法一：分别计算出排在1,2,|,n 1,n前面比它大的数码之和即分别算出1,2,|,n 1,n这n个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。方法二：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。（课本上没有）第三节：n阶行列式的定义det aij ，其中 aij为行列式D（i，j 元）。aaa11i21n根据定义，有DaaaI21222n+PlPA|l|P nan1an2HIn2annaiiai2定义：n阶行列式Da21a22 11a1 Pia2 P2an1an2aina2n 等于所有取自不同行、不同列的ID annn个元素的乘川anp勺代数和，其中P1 P2 Pn 是 1-,n的一个排列，每一项的符号由其逆序数决定。Da0lnaa22a2nt12|lln 4022 | H a印忠卅a也可简记为说明:1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的；2、n阶行列式是n!项的代数和3、n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积；4、 aAazp,|anPn的符号为1 t, t的符号等于排列P15P2,.Pn的逆序数5、一阶行列式a a不要与绝对值记号相混淆。推论1:上，下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积a11耳20Ia122aI2n1 t 12|l|na11a22 IlianI111I11 22I1 IIIII00annann副对角行列式的值等于推论 2:主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积以其副对角线上各元的乘积。III第四节：行列式的性质anai2aana3n121n21n1定义 记 Daaaaa3n221I2212nDT1222n2行列式 DT 称为行列式1II144Illa n1a n2anna1n1na2nannD 的转置行列式。性质 1 行列式与它的转置行列式相等。说明 行列式中行与列具有同等地位，因此凡是对行成立的行列式的性质的对列也成立。性质2互换行列式的两行ri或列qCj，行列式变号。推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k （rjk），等于用数k乘此行列式；推论1 D的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D的外面；推论 2 D 中某一行（列）所有元素为零，则D=0。性质 4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零.性质 5 若行列式的某一列行）的元素都是两数之和，则3n13n13l2Gia )1i7a )2i7Mi3ni)1132na3nn1 % III%a21 a22lb3n1a12 1a2iIania2n II3nna21 a22HI HIan1an2a2iIbHa2nIIani II3nn行）对应的元素上性质 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列 去,行列式的值不变。计算行列式常用方法：利用定义；利用运算ri krj把行列式化为上三角形行列式，从而算得行 列式的值。说明 行列式中行与列具有同等的地位，行列式的6 个性质凡是对行成立的对列也同样成立。第五节 行列式按行（列）展开余子式在n阶行列式中，把元素a0所在的第i行和第j列划去后，留下来的n 1阶行列式叫做元 素a0的余子式，记作My。代数余子式记A 1 jM耳，叫做元素am的代数余子式。引理一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j） （i, j）元外a。都为零，那么这行列式等于ay与它的代数余子式的乘积，即SinnS2n定理 n 阶行列式 D的代数余子式的乘积之和，即 D SiiAiiI2n 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应annS.2A2 川3 . A，i2 i2in in(i 1,2, |,n)或 D a A 3刃阳 丨丨| SA，(j 1,2,|, n)o扩展 德蒙德(Vandermonde)行列式a11 a 展开定理推论 n 阶行列式 D2I1an1行(列)对应的代数余子式的乘积之和为零ai1As1 ai2As2 川 ainAsn0 (i S)或 a1j Ait a2jA2tX1X2Xn nDn nX21X22Xn2 n(XiXj)Xn21HiXn 1ni j 1ai2aina22IIIIa2n的任意一行(列)的各元素与另an2ann即卅 anjAnt 0(j t)