大学物理：第三章 刚体的转动

第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010五五 能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题单系统的力学问题.四四 掌握掌握刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律一一 理解理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系与线量的关系.二二 掌握掌握力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理动的转动定理三三 掌握掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题下的角动量守恒问题.第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010刚体刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体体.（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）刚体的运动形式：平动、转动（定轴转动、复杂）刚体的运动形式：平动、转动（定轴转动、复杂）.刚体平动刚体平动 质点运动质点运动平动：若刚体中所有点的运平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位线总是平行于它们的初始位置间的连线置间的连线.3-1 3-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.转动又分定轴转动和非定轴转动转动又分定轴转动和非定轴转动.刚体的平面运动刚体的平面运动.第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010刚体的一般运动刚体的一般运动质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010 x一一 刚体转动的角速度和角加速度刚体转动的角速度和角加速度z参考平面参考平面)(t)()(ttt角位移角位移)(t 角坐标角坐标约定约定r沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动 r沿顺时针方向转动沿顺时针方向转动 tttddlim0角速度矢量角速度矢量 方向方向:右手螺旋方向右手螺旋方向参考轴参考轴第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010角加速度角加速度t dd1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；2）任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同；不同；3）运动描述仅需一个坐标运动描述仅需一个坐标.,a,v定轴转动的特点定轴转动的特点:刚体定轴转动（一维转刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用动）的转动方向可以用角速度的正负来表示角速度的正负来表示.00zz第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010二二 匀变速转动公式匀变速转动公式 刚体绕定轴作匀变速转动刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动质点匀变速直线运动at0vv22100attxxv)(20202xxa vvt0)(2020222100tt当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动匀变速转动.刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010三三 角量与线量的关系角量与线量的关系tervrtev2ntraratanan2tererat ddtt22dddda第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010一一 定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理2n1i2ii22in1iikrm21rm21E)(刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量与角量与角速度平方乘积的一半。速度平方乘积的一半。3-2 3-2 转动动能转动动能 转动惯量转动惯量2kI21E：称为转动惯量IOzjmjrjFejFi第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010mrIrmIjjjd,22二二 转动惯量转动惯量物理意义：转动惯性的量度物理意义：转动惯性的量度 .质量离散分布刚体的转动惯量质量离散分布刚体的转动惯量2222112rmrmrmIjjj转动惯性的计算方法转动惯性的计算方法:质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量mrrmIjjjd22：质量元：质量元md第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010dldm 质量为线分布质量为线分布dsdm 质量为面分布质量为面分布dVdm 质量为体分布质量为体分布、分别为质量的线密度、面密度和体密度。分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布线分布体分布体分布面分布面分布只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体体才能用积分计算出刚体的转动惯量。才能用积分计算出刚体的转动惯量。第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010转动惯量单位：转动惯量单位：kg.m2*关于转动惯量的讨论：关于转动惯量的讨论：转动惯量和转轴有关。转动惯量和转轴有关。同一个物体对不同转轴的转同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的。动惯量是不同的。转动惯量和总质量以及质量分布有关。转动惯量和总质量以及质量分布有关。转动惯量具有可加性，一个复杂形状刚体的转动惯转动惯量具有可加性，一个复杂形状刚体的转动惯量等于刚体各个组成部分对同一轴转动惯量之和。量等于刚体各个组成部分对同一轴转动惯量之和。第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010oomr122 I=ooml1122 I=oomr142 I=ooml13 I=2回转半径的概念回转半径的概念(不讲不讲)第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-20102mdIICO平行轴定理平行轴定理:质量为质量为 的刚体，如果对的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为其质心轴的转动惯量为 ，则则对任一与该轴平行，相距为对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量的转轴的转动惯量CImddC CO Om2221mRmRIP圆盘对圆盘对P P 轴的转动惯量轴的转动惯量:P PRmO O第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010yxzIII垂直轴定理垂直轴定理:224141mrmrIIIyxz圆盘对圆盘对Z 轴的转动惯量：轴的转动惯量：一平面刚体绕垂直于其平面的转轴的转动惯量，等于一平面刚体绕垂直于其平面的转轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两个正交轴的转动惯量绕平面内与垂直轴相交的任意两个正交轴的转动惯量之和。之和。oomr122 I=o omr142 I=第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010lO O 解解 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处的质量元处的质量元 rrmddlrrI02drd32/02121d2lrrIl231mlrrrmrIddd22 例例1 一一质量为质量为 、长为长为 的的均匀细长棒，求均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.mlrd2l2lO O2121ml如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010OROR4032d2RrrIRr dr 例例2 一质量为一质量为 、半径为、半径为 的均匀圆盘，求通的均匀圆盘，求通过盘中心过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量并与盘面垂直的轴的转动惯量.mR 解解 设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为在盘上取半径为 ，宽为，宽为 的圆环的圆环rrd2 Rm而而rrmd2d圆环质量圆环质量221mRI 所以所以rrmrId2dd32圆环对轴的转动惯量圆环对轴的转动惯量第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010例例3）求一质量为）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径为轴的转动惯量。的均匀实心球对其一条直径为轴的转动惯量。解：一球绕解：一球绕Z轴旋转，离球心轴旋转，离球心Z高处切一厚为高处切一厚为dz的薄圆盘。其的薄圆盘。其半径为半径为22ZRrdZZRdZrdV)(222dZZRdVdm)(22dZZRdmrdI2222)(2121其体积：其体积：其质量：其质量：其转动惯量：其转动惯量：YXZORrd ZZ第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010dmrdI2212552158mRR334RmdIIRRdZZR222)(21YXZORrd ZdZZR222)(21第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010 飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？3 33 3 力矩力矩 转动定律转动定律第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-20101 1、力对转轴的力矩、力对转轴的力矩ZfrPdOzM转动平面转动平面 sinrFMz sinrFrFMzFrMz FsinF如果有几个外力矩同时作用在刚体上如果有几个外力矩同时作用在刚体上求和得求和得力矩的大小等于力在作用点的切向分量与力的作用点到转轴力矩的大小等于力在作用点的切向分量与力的作用点到转轴Z 的距离的乘积。的距离的乘积。iiFrMiiMM第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010若作用在刚体上的力连续分布（积分）若作用在刚体上的力连续分布（积分）RmO OdMMrdrdsdmss2rdrggdmdFs2drrgrdFdMs22mgRdMM32如：摩察力矩如：摩察力矩第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010对对 m mi i用牛顿第二定律：用牛顿第二定律：切向分量式为：切向分量式为：Fisin i+fisin i=miait外力矩外力矩内力矩内力矩iiiiamfF ZOrifiFi mi i i2sinsiniiiiiiiirmrfrF2 2、刚体定轴转动的转动定律（由牛二定律导出）、刚体定轴转动的转动定律（由牛二定律导出）两边乘以两边乘以r ri iiitra 第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010对所有质元的同样的式子求和：对所有质元的同样的式子求和：一对内力的力矩之和为零，所以有一对内力的力矩之和为零，所以有irirFi sin i+fi sin i=(mi ri2)Fi sin i =（mi ri2）irIM 上式为刚体定轴转动的转动定律上式为刚体定轴转动的转动定律.IM 第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010dtPdF牛顿第二定律牛顿第二定律的原始定义的原始定义:dtLdM转转 动动 定定 律律亦可相应定义亦可相应定义:iiiiiiiiiiiiImrrmrvmrPrL2IIILLiiiiiiMIdtdIdtIddtLd)(dtLdM第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010m 反映质点的平动惯性，反映质点的平动惯性，I I反映刚体的转动惯性反映刚体的转动惯性力矩是使刚体转动状态改变而产生角加速度的原因。力矩是使刚体转动状态改变而产生角加速度的原因。*关于转动定律的讨论：关于转动定律的讨论：MI 与与地位相当地位相当maF 定律是瞬时对应关系定律是瞬时对应关系 。M,I,M,I,是对同一转轴而言是对同一转轴而言 。转动定律说明了转动定律说明了I I是物体转动惯性大小的量度。因为：是物体转动惯性大小的量度。因为：IM一定时I第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010纸风车纸风车不敢！不敢！电风扇电风扇没事！没事！第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010刚体定轴转动的转动定律与牛顿定律的对比刚体定轴转动的转动定律与牛顿定律的对比牛顿定律牛顿定律转动定律转动定律FrMdmrI2FamFmIM IL vmPdtLdMdtPdF第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010例例1 1 一静止刚体受到一等于一静止刚体受到一等于M M0 0（N.m)N.m)的不变力矩的作用的不变力矩的作用,同时又引起一阻力矩同时又引起一阻力矩M M1 1，M M1 1与刚体转动的角速度成正比与刚体转动的角速度成正比,即即|M|M1 1|=|=a a(Nm),(a(Nm),(a为常数为常数)。又已知刚体对转轴的转。又已知刚体对转轴的转动惯量为动惯量为I,I,试求刚体角速度变化的规律。试求刚体角速度变化的规律。M M+M M0 0M M1 1已知：已知：M M0 0M M1 1=a=a I I|t=0t=0=0=0求：求：（t t）=？解：解：1 1）以刚体为研究对象；）以刚体为研究对象；2 2）分析受力矩）分析受力矩3 3）建立轴的正方向；）建立轴的正方向；4 4）列方程：）列方程：IMM10J J第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010M M+M M0 0M M1 1=a=a 解：解：列方程列方程IMM10IMM10IaM0IaMdtd0IdtaMd0tIdtaMd000ItMaMa)(ln100IateMaM00)1(10IateMa分离变量：分离变量：第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010 例例 2 质量为质量为 的物体的物体 A 静止在光滑水平面上，静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质质量为量为 的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为并系在另一质量为 的物的物体体 B 上上.滑轮与绳索间没有滑动，滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计擦力可略去不计.问：（问：（1）两物体的线加速度为多少？两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体物体 B 从从BmCm 再求线加速度及再求线加速度及绳的张力绳的张力.静止落下距离静止落下距离 时，时，其速率是多少？（其速率是多少？（3）若滑轮与轴承间的摩若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为它们间的摩擦力矩为fMyAmABCAmBmCm第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010ABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmamFAT1amFgmBT2BIRFRFT1T2Ra 解解 （1）隔离物体分）隔离物体分别对物体别对物体A、B 及滑轮作及滑轮作受力分析，取坐标如图，受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律运用牛顿第二定律 、转、转动定律列方程动定律列方程.T2FT1FCPCF第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-20102CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF如令如令 ，可得，可得0CmBABAT2T1mmgmmFF2）B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率2/22CBABmmmgymayvABCAmBmCmT1FT2F第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010（3）考虑滑轮与轴承间的摩考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩擦力矩 ，转动定律，转动定律fM结合（结合（1）中其它方程）中其它方程IMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa IMRFRFfT1T2T2FBPBmAPT1FNFAmT2FT1FfM第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-20102/)/(CBAfBAT1mmmRMgmmF2)2(CBAfCABT2mmmRMgmmmF2/CBAfBmmmRMgmaABCAmBmCmT1FT2FIMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa 第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010用一细绳跨过定滑用一细绳跨过定滑轮，而在绳的两端轮，而在绳的两端各悬质量为各悬质量为m1m1和和m2m2的物体，其中的物体，其中m1m1m2m2，求它们的加速，求它们的加速度及绳两端的张力度及绳两端的张力 T1T1和和 T2.T2.设绳不可设绳不可伸长，质量可忽略，伸长，质量可忽略，它与滑轮之间无相它与滑轮之间无相对滑动；滑轮的半对滑动；滑轮的半径为径为R R，质量为，质量为m m，且分布均匀。且分布均匀。(不讲不讲)第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010待测的物体装在转动架上，待测的物体装在转动架上，细线的一端绕在半径为细线的一端绕在半径为 R R 的轮轴上，另一端通过定的轮轴上，另一端通过定滑轮悬挂质量为滑轮悬挂质量为 m m的物体，的物体，细线与转轴垂直。从实验细线与转轴垂直。从实验测得测得m m 自静止下落高度自静止下落高度h h的的时间为时间为t t，求待测刚体对转，求待测刚体对转轴的转动惯量。忽略各轴轴的转动惯量。忽略各轴承的摩擦，忽略滑轮和细承的摩擦，忽略滑轮和细线的质量，细线不可伸长，线的质量，细线不可伸长，预先测定转动架对转轴的预先测定转动架对转轴的转动惯量为转动惯量为I I0 0.(课堂练习课堂练习)第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010mg-T=maTR=（I+I0）a=R ，22/1ath 第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010以水平力以水平力f f打击打击悬挂在悬挂在P P点的刚点的刚体，打击点为体，打击点为O.O.若打击点选择若打击点选择合适，则打击合适，则打击过程中轴对刚过程中轴对刚体的切向力体的切向力FtFt为为O O，该点称为，该点称为打击中心。求打击中心。求打击中心到轴打击中心到轴的距离的距离r0.r0.(不讲不讲)第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010fr0=I 刚体质心的切向加速度为刚体质心的切向加速度为a=a=r rc cFt+f=ma=mrcfIrmrFct)1(0ccrRmrIr20回转半径回转半径第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010 例例4 一长为一长为 质量为质量为 匀质细杆竖直放置，其匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动.由于此由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转转动动.试计算细杆转动到与竖直线成试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度角时的角加速度和角速度和角速度.(不讲不讲)lm 解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得作用，由转动定律得NFImglsin21第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010式中式中231mlI ddddddddtt得得sin23lg由由角加速度的定义角加速度的定义dsin23dlg代入代入初始条件积分初始条件积分 得得)cos1(3lgImglsin21第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010 例例5 5 一根长为一根长为l、质量为质量为m 的均匀细直棒，其一端有的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆最初棒静止在水平位置，求它由此下摆 角时的角加角时的角加速度和角速度。速度和角速度。dlcosglgdmcosldM 解：棒下摆为加速过程，外解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对力矩为重力对O O的力矩。棒上的力矩。棒上取质元取质元dm,当棒处在下摆当棒处在下摆 角角时时，该质量元的重力对轴的该质量元的重力对轴的元力矩为：元力矩为：Ogdmdmldl 第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010重力对整个棒的合力矩为：重力对整个棒的合力矩为：Ogdmdmldl dMM L0dlcosglcosmgL21cosgL22 代入转动定律，可得：代入转动定律，可得：2L31cos3cos212gmLmgLIM第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010 ddI dtd ddIdtdIIMdIdcosmgL21 00dIdcosmgL212I21sinmgL21 Lsing3IsinmgL dIMd 2mL31I cosmgl21M代入代入第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010问：当杆过铅直位置问：当杆过铅直位置时，轴作用于杆上的力。时，轴作用于杆上的力。求求N=N=？轴对杆的力，不影响到杆的转动，但影响质心的轴对杆的力，不影响到杆的转动，但影响质心的运动，故考虑用质心运动定理来解。运动，故考虑用质心运动定理来解。Ol第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010ZNXNyNNmgCXamgNNYNX3）求）求N=？CamgmN写成分量式：写成分量式：CXXmaNCYYmamgNCYXONCYaCCa求求N，就得求就得求，即，即C点的点的加速度，现在加速度，现在C点作圆周运动，点作圆周运动，可分为切向加速度和法向加速可分为切向加速度和法向加速度但对一点来说，只有一个加度但对一点来说，只有一个加速度。故这时：速度。故这时：CXaCYa.实际上正是质心的转动的切向加速度实际上正是质心的转动的切向加速度.实际上正是质心的转动的法向加速度实际上正是质心的转动的法向加速度第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010RaCX2RaCYLg3090cos232LgL232LgL23gZNmgCXaYXONCYaC由角量和线量的关系由角量和线量的关系:CXXmaNCYYmamgNcos23Lg第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010)1(CXXmaN)2(CYYmamgN0CXa23gaCY代入代入(1)(1)、（、（2 2）式中：）式中：0CXXmaNCYYmamgNjmgN25ZNmgCXaYXONCYaCmggmmg2523第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-20101 1 力矩的功力矩的功dMdrFdsFdAiiiiii 式中式中iiirFM MddMdAi )(dMA21 力矩的功率为：力矩的功率为：MdtdMdtdAN上式上式 A 为力矩的功。为力矩的功。O转动平面转动平面Zdmr ddFndFdF Mz3 34 4 力矩的功力矩的功 转动动能定理转动动能定理当输出功率一定时当输出功率一定时,力矩与角速度成反比。力矩与角速度成反比。动力矩与阻力距动力矩与阻力距第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010转动动能与角动量的关系转动动能与角动量的关系:2ILE 2k 2mpE 2k 2kmv21E 2 2 转动动能转动动能22n1i2ii22in1iikI21rm21rm21E )(2kI21E 刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量与刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量与角角速度平方乘积的一半。速度平方乘积的一半。第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-20103 3 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理ddIdtdddIdtdIMI2121dIdM初始条件：初始条件：=1 1 时，时，=1 12122I21I21dM21 上式为刚体定轴转动的动能定理，即：合上式为刚体定轴转动的动能定理，即：合外力矩外力矩对对定定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010刚体定轴转动的转动定律与牛顿定律的对比刚体定轴转动的转动定律与牛顿定律的对比牛顿定律牛顿定律转动定律转动定律FrMdmrI2FamFmIM IL vmPdtLdMdtPdFMddAFdrdAdtMHdtFI第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-20104 4、刚体的平面平行运动、刚体的平面平行运动(不讲不讲)若刚体内所有的运动点都平行于某一平面，这种若刚体内所有的运动点都平行于某一平面，这种运动叫做刚体的平面平行运动运动叫做刚体的平面平行运动绕质心的转动 IMdtdI 质心运动 madtdvmF 在任何瞬时，作平面平行运动的刚体（或它的延伸在任何瞬时，作平面平行运动的刚体（或它的延伸体）上总有一点体）上总有一点O O其速度为其速度为0,0,称为称为瞬时转动中心或瞬时转动中心或瞬心瞬心第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-20105 5、刚体转动时的机械能守恒定律、刚体转动时的机械能守恒定律若只有保守力矩和保守力作功，则机械能守恒若只有保守力矩和保守力作功，则机械能守恒222121cCCImvmghE机械机械能：机械能：第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010例）设一细杆的质量为例）设一细杆的质量为m m，长为长为L L，一端支以枢轴而能一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：当杆过铅直当杆过铅直位置位置时的角速度时的角速度已知已知：m，L求：求：，1）以杆为研究对象）以杆为研究对象 受力：受力：mg，N（不产生不产生对轴的力矩）对轴的力矩）建立建立OXYZ坐标系坐标系 ZNmgYX OL解解:(:(一一)第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010M建立建立OXYZOXYZ坐标系（并以坐标系（并以Z Z轴为转动量的正方向）轴为转动量的正方向）sin2LmgM sin2331sin2LgmLmgIM231mLI ZmgYX ON)1(rLg 2/32/00则则 L故取正值。故取正值。Fr沿沿Z轴正向，轴正向，第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-20102）=？dtddddtd)2sin(23LgdLgdcos23两边积分：两边积分：dLgdcos232/00 sin23LgZmgYX ONr dd第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-20102）=？ZmgYXONr dLgcos232/00dLgLg23sin23212/02Lg3第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010解解(二二)：考虑杆从水平静止转到铅直：考虑杆从水平静止转到铅直方向的过程，角速度从方向的过程，角速度从 0-0-依动能定理依动能定理2022121IIA力矩 cossin ZmgYXONr dLmgsin22/02Lmg2/0MdA力矩第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010当杆过铅直位置当杆过铅直位置时的角速度：时的角速度：2LmgA力矩2022121IIA力矩02122ILmgImgLZmgYXONr LgmLmgL3312第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010一质量为一质量为m m半径半径为为R R的均匀圆柱的均匀圆柱体，沿倾角为体，沿倾角为的粗糙斜面自静的粗糙斜面自静止无滑下滚，求止无滑下滚，求静摩擦力、质心静摩擦力、质心加速度，以及保加速度，以及保证圆柱体作无滑证圆柱体作无滑滚动所需最小摩滚动所需最小摩擦系数。擦系数。(不讲不讲)第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010mgsin -f=m a，Rf=I v=R 对时间求导对时间求导a=R f=1/3mgsina=2/3gsin静摩擦力静摩擦力 f f 不能大于最大静摩擦力不能大于最大静摩擦力f=1/3mgsin mg cos第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010如图所示，将如图所示，将一根质量为一根质量为m m的的长杆用细绳从长杆用细绳从两端水平地挂两端水平地挂起来，其中一起来，其中一根绳子突然断根绳子突然断了，另一根绳了，另一根绳内的张力是多内的张力是多少少第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010设杆长为设杆长为2l2l，质心运动定理和角动量定理给出绳断，质心运动定理和角动量定理给出绳断的一刹那的运动方程的一刹那的运动方程mg-T=maTl=Ia=lT=1/4mg第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010一质量为一质量为m m，长为长为l l的匀质的匀质细杆，铅直地细杆，铅直地放置在光滑的放置在光滑的水平地面上。水平地面上。当杆自静止倒当杆自静止倒下时，求地面下时，求地面对杆端的支撑对杆端的支撑力力(不讲不讲)第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010由机械能守恒知，当杆与铅直线成由机械能守恒知，当杆与铅直线成 角时，角时，222121)cos1(2ccImvlmg一方面随质心以一方面随质心以v vC C速度速度 下降，另一方面又以线下降，另一方面又以线速度速度 绕质心转动绕质心转动后者在铅直方向上的分量为后者在铅直方向上的分量为L/2 L/2 sinsin，方向向上，方向向上A A点限制在水平面上点限制在水平面上v C=L/2 sin第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010可得可得VcVc与与的关系的关系通过通过VcVc对时间对时间t t求导求导,可得加速度可得加速度a ac c与与关系关系A A端受地面的支撑力用质心牛二定律端受地面的支撑力用质心牛二定律m g-N=mm g-N=ma ac c第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010半径为半径为R R的圆木以角的圆木以角速度速度0 0在水平地面上在水平地面上作纯滚动，在前进作纯滚动，在前进的路上撞在一高度为的路上撞在一高度为h h的台阶上。设碰撞的台阶上。设碰撞是完全非弹性的，即是完全非弹性的，即碰撞后圆木不弹回。碰撞后圆木不弹回。要圆木能够翻上台阶要圆木能够翻上台阶而又始终不跳离台阶，而又始终不跳离台阶，对台阶的高度有什么对台阶的高度有什么要求？要求？第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010一一 角动量角动量3 35 5 角动量守恒定律角动量守恒定律PrL质点：IL刚体：t dMH角冲量（冲量矩）：012LLttIILLdLMdt 021 二二 角动量定理角动量定理ImrrmrvmrPrL2定轴转动的刚体对轴的角动量的增量等于对同一定轴转动的刚体对轴的角动量的增量等于对同一转轴合力矩的角冲量（冲量矩）转轴合力矩的角冲量（冲量矩）第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010012LLttIILLdLMdt 021 定轴转动的刚体对轴的角动量的增量等于对同一定轴转动的刚体对轴的角动量的增量等于对同一转轴合力矩的角冲量（冲量矩）转轴合力矩的角冲量（冲量矩）注意：该定理也适应于刚体的一般运动中转轴通过注意：该定理也适应于刚体的一般运动中转轴通过质心的运动。质心的运动。Cv2C1Cm、ICm、IC1221CCttCIIdtM第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。增量。三、角动量守恒定律三、角动量守恒定律对轴的角动量守恒定律：外力对某轴的力矩之和为对轴的角动量守恒定律：外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对同一轴的角动量守恒。零，则该物体对同一轴的角动量守恒。012LLttIILLdLMdt 021 0M 12LL 0II 第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010对轴的角动量守恒定律：外力对某轴的力矩之和为零，对轴的角动量守恒定律：外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对同一轴的角动量守恒。则该物体对同一轴的角动量守恒。注意：对一般的刚体运动，该定理对通过注意：对一般的刚体运动，该定理对通过质心的转轴的转动质心的转轴的转动 也是成立的。即合外力也是成立的。即合外力对通过质心的轴的力矩恒为零时，则对该对通过质心的轴的力矩恒为零时，则对该轴的角动量守恒。轴的角动量守恒。21CCII)0(CMCCFFF常平架陀螺仪常平架陀螺仪mgC第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010一般有三种情况：一般有三种情况：转动惯量保持不变的刚体转动惯量保持不变的刚体转动惯量可变的物体转动惯量可变的物体例：旋转的舞蹈演员例：旋转的舞蹈演员例：回转仪例：回转仪0，则：，则：0II 0M 当当时，时，当当I 增大时，增大时，就减小；当就减小；当I 减小时，减小时，就增就增大，大，I从而从而 保持不变。保持不变。角动量守恒定理不仅对刚体成立而且对非刚体也成立。角动量守恒定理不仅对刚体成立而且对非刚体也成立。开始不旋转的物体，当其一部分旋转时，必引起另开始不旋转的物体，当其一部分旋转时，必引起另 一部分朝另一反方向旋转。一部分朝另一反方向旋转。如直升机为何有两个螺旋如直升机为何有两个螺旋桨桨第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010如当滑冰、跳水、体操运动员在空中为了迅速翻转如当滑冰、跳水、体操运动员在空中为了迅速翻转总是曲体、减小转动惯量、增加角速度。当落地时总是曲体、减小转动惯量、增加角速度。当落地时则总是伸直身体、增大转动惯量、使身体平稳落地。则总是伸直身体、增大转动惯量、使身体平稳落地。第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010vovoompTR圆圆锥锥摆摆子子弹弹击击入入杆杆ov以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统机械能不守恒机械能不守恒.角动量守恒；角动量守恒；动量不守恒；动量不守恒；以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统动量守恒；动量守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能不守恒机械能不守恒.圆锥摆系统圆锥摆系统动量不守恒；动量不守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能守恒机械能守恒.讨讨 论论:子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-20103 36 6 刚体的平衡刚体的平衡刚体既无平动，也无转动刚体既无平动，也无转动刚体的平衡方程刚体的平衡方程合外力为合外力为0 0，对任意一个参考点的合外力矩为，对任意一个参考点的合外力矩为0 00iif外0iiiiifrM外外必须对任意方向的转轴都成立必须对任意方向的转轴都成立第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010一架均匀的梯子，一架均匀的梯子，重为重为W W，长为，长为2L2L，上端靠于光滑的墙上端靠于光滑的墙上，下端置于粗糙上，下端置于粗糙的地面上，梯与地的地面上，梯与地面的摩擦系数为面的摩擦系数为.有一体重有一体重 W W1 1的人攀的人攀登到距梯下端登到距梯下端L L1 1的的地方。求梯子不滑地方。求梯子不滑动的条件动的条件第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010N2-f=0无平动无平动:N1-W-W1=0对于任意的力矩参考点无转动对于任意的力矩参考点无转动,参考点可任意选择参考点可任意选择2fLsin -WL cos W1 L cos =0.N1=W+W1cot2112LLWWLfN第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010梯子不滑动的条件梯子不滑动的条件:1Nf)(cot21111WWNLLWWLf对于一定的倾角对于一定的倾角,高度要求高度要求:111/tan2)(WWLLWWL第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-20103 37 7 回转运动回转运动(不讲不讲)一一 不受外力矩的回转运动不受外力矩的回转运动CFFF常平架陀螺仪常平架陀螺仪mgC三轴两两垂直，而且都通过陀三轴两两垂直，而且都通过陀螺仪的重心螺仪的重心改变框架的方向改变框架的方向陀螺仪的转轴陀螺仪的转轴OOOO在空间的取向始终保在空间的取向始终保持不变持不变第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010 二二 回转效应回转效应陀螺仪受到外力矩作用时会产生的回转效应陀螺仪受到外力矩作用时会产生的回转效应第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-20101 1 当陀螺仪不转动时当陀螺仪不转动时,移动移动A A偏离平衡位置杆就会倾斜偏离平衡位置杆就会倾斜2 2 先调至平衡，并让陀螺仪绕自身的转轴高速旋转先调至平衡，并让陀螺仪绕自身的转轴高速旋转,再再移动移动A A位置位置此时杆并不倾斜，而是在水平面内绕铅直轴此时杆并不倾斜，而是在水平面内绕铅直轴OOOO缓缓慢地旋转起来慢地旋转起来陀螺仪自转轴的这种转动，叫做陀螺仪自转轴的这种转动，叫做进动进动陀螺仪在外力矩作用下产生进动的效应，叫做陀螺仪在外力矩作用下产生进动的效应，叫做回转回转效应效应第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010利用角动量和力矩的矢量性来说明利用角动量和力矩的矢量性来说明tML陀螺仪是一个绕自转轴转动惯量陀螺仪是一个绕自转轴转动惯量I I很大的轴对称刚体很大的轴对称刚体近似地认为其角动量与角速度都沿自转轴方向近似地认为其角动量与角速度都沿自转轴方向IL 绕自转轴高速旋转的角动量绕自转轴高速旋转的角动量00IL 杠杆失去平衡后受到重力矩作用在杠杆失去平衡后受到重力矩作用在 内产生冲量矩内产生冲量矩 方向方向OC OC tMLt在这段时间后角动量变为在这段时间后角动量变为LLL0第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010角动量方向绕铅直轴角动量方向绕铅直轴OOOO转过一个角度转过一个角度陀螺仪自转轴产生了沿此方向的进动陀螺仪自转轴产生了沿此方向的进动LL=IIMt进动角速度进动角速度第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010第三章第三章 刚体的转动刚体的转动hpwu-2010hpwu-2010三三 章动章动