34基本不等式 (2)

2abab3.43.4基本不等式基本不等式:ICM2002会标会标如图，这是在北如图，这是在北京召开的第京召开的第22届届国际数学家大会国际数学家大会会标会标根据会标会标根据中国古代数学家中国古代数学家赵爽的弦图设计赵爽的弦图设计的，颜色的明暗的，颜色的明暗使它看上去象一使它看上去象一个风车，代表中个风车，代表中国人民热情好客。国人民热情好客。ADBCEFGHba22ab基本不等式基本不等式1：一般地，对于一般地，对于任意实数任意实数a、b，我们有我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。222ababABCDE(FGH)ab如何证明如何证明?abab用用和和代代替替、会得到什么？会得到什么？基本不等式基本不等式2：(0,0)2ababab当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。注意：注意：1、两个不等式的两个不等式的适用范围适用范围不同不同,而等号成立的条件相而等号成立的条件相同同.aba b+2算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数剖析公式应用剖析公式应用2()22+侈abababab两个正数的两个正数的算术平均数算术平均数它们的它们的几何平均几何平均数数.a、b是两个正数是两个正数.当且仅当当且仅当a=ba=b时时“”号成立号成立 3.3.正用、逆用，注意成立的条件正用、逆用，注意成立的条件4.4.变形用变形用2.基本不等式可以叙述为基本不等式可以叙述为:深深 入入 探探 究究 揭揭 示示 本本 质质基本不等式的几何解释基本不等式的几何解释：半弦半弦CD不大于半径不大于半径ABEDCab例例1.(1)已知已知 并指出等号并指出等号成立的条件成立的条件.10,2,xxx求证(2)已知已知 与与2的大小关系的大小关系,并说明理由并说明理由.abbaab寻找,0(3)已知已知 能得到什么结论能得到什么结论?请说明理由请说明理由.abbaab,0应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系练习练习2：若若 ，则（，则（）（1）（）（2）（）（3）B练习练习1：设设a0，b0，给出下列不等式，给出下列不等式其中成立的是其中成立的是 等号能成立的是等号能成立的是 。21)1(aa4)1)(1)(2(bbaa4)11)()(3(baba2212)4(22aa,lglg,1baPba)2lg(),lg(lg21baRbaQQPRA、RQPB、QPRC、RQPD、（1）（）（2）（）（3）(4)3.4 3.4 基本不等式基本不等式:2abab应用二：解决最大（小）值问题应用二：解决最大（小）值问题 例例2、已知、已知 都是正数，求证都是正数，求证（1）如果积）如果积 是定值是定值P，那么当，那么当 时，时，和和 有最小值有最小值（2）如果和）如果和 是定值是定值S，那么当，那么当 时，时，积积 有最大值有最大值yx,yxyxyx P2yx 241Sxy（1）一正：各项均为正数）一正：各项均为正数（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。）二定：两个正数积为定值，和有最小值。两个正数和为定值，积有最大值。两个正数和为定值，积有最大值。（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“”，否则会出现错误否则会出现错误小结：利用小结：利用 求最值时要注意下面三条：求最值时要注意下面三条：)0,0(2baabbaxy2、(04重庆）已知重庆）已知则则x y 的最大值是的最大值是 。1、当、当x0时，时，的最小值为的最小值为 ，此时，此时x=。21xx1)0,0(232 yxyx61 3、若实数、若实数 ，且，且 ，则，则 的最小的最小值是（值是（）A、10 B、C、D、yx,5 yxyx33 3664318D4、在下列函数中，最小值为、在下列函数中，最小值为2的是（的是（）A、B、C、D、)0,(55 xRxxxy)101(lg1lg xxxy)(33Rxyxx )20(sin1sin xxxyC_212(4);8,2,8,8,)3();,2loglog)(1(2)8),(sin16sin)1(.62min22222其其中中正正确确命命题题的的有有的的最最小小值值是是时时当当中中则则设设的的值值域域是是，则则设设；最最小小值值是是 xxyyxxxxxyRxaxxfxZkkyxa (4)例例3、（1）用篱笆围一个面积为）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最最短篱笆是多少？短篱笆是多少？（2）一段长为）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积最大面积是多少？是多少？例例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为其容积为4800立方米，深为立方米，深为3米，如果池底米，如果池底每平方米的造价为每平方米的造价为150元，池壁每平方米的元，池壁每平方米的造价为造价为120元，元，怎样设计水池能使总造价最怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？低？最低总造价是多少？例例1、甲、乙两电脑批发商每次在同一电脑耗材厂以、甲、乙两电脑批发商每次在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片。甲、乙两公司共购芯片两次，相同价格购进电脑芯片。甲、乙两公司共购芯片两次，每次的芯片价格不同，甲公司每次购每次的芯片价格不同，甲公司每次购10000片芯片，片芯片，乙公司每次购乙公司每次购10000元芯片，两次购芯片，哪家公司元芯片，两次购芯片，哪家公司平均成本低？请给出证明过程。平均成本低？请给出证明过程。解：解：设第一、第二次购芯片的价格分别为每片设第一、第二次购芯片的价格分别为每片a元和元和b元元 ,22000010000baba 的的平平均均价价格格为为那那么么甲甲公公司司两两次次购购芯芯片片baba112100001000020000 均均价价格格为为乙乙公公司司两两次次购购芯芯片片的的平平例4、求函数求函数 的最小值的最小值4522xxy构造积为定值，利用基本不等式求最值构造积为定值，利用基本不等式求最值思考：求函数求函数 的最小值的最小值)3(31xxxy例例5、已知：已知：0 0 x x31，求函数，求函数y=xy=x（1-3x1-3x）的最大值）的最大值利用二次函数求某一区间的最值利用二次函数求某一区间的最值分析一、分析一、原函数式可化为：原函数式可化为：y=-3x2+x，分析二、分析二、挖掘隐含条件挖掘隐含条件即即x=x=61时时 y ymaxmax=1213x+1-3x=13x+1-3x=1为定值，且为定值，且0 0 x x31则则1-3x1-3x0 0；0 0 x x31，1-3x1-3x0 0y=xy=x（1-3x1-3x）=313x3x（1-3x1-3x）2)2313(31xx121当且仅当当且仅当 3x=1-3x3x=1-3x 可用均值不等式法可用均值不等式法构造和为定值，利用基本不等式求最值构造和为定值，利用基本不等式求最值 已知：已知：0 0 x x81 ，求函数，求函数y=xy=x（1-3x1-3x）的最大值）的最大值解：解：1210 0 xx811-3x1-3x0 0y=xy=x（1-3x1-3x）=313x3x（1-3x1-3x）2)2313(31xx121maxy如此解答行吗？如此解答行吗？上题中只将条件改为上题中只将条件改为0 x1/8,即即:例例6 6、已知正数、已知正数x x、y y满足满足2x+y=12x+y=1，求，求yx11的最小值的最小值错解错解:221221xyxy即xyyx2221242221211xyyx即即 的最小值为的最小值为yx1124过程中两次运用了过程中两次运用了均值不等式中取均值不等式中取“=”=”号过渡，而这两次取号过渡，而这两次取“=”=”号的条件是不同的，号的条件是不同的，故结果错。故结果错。错因：错因：已知正数已知正数x x、y y满足满足2x+y=12x+y=1，求，求yx11的最小值的最小值解解:223当且仅当当且仅当yxxy2即即:xy2时取时取“=”号号122yxxy而222221yx即此时即此时223minyyx11yyxxyx22yxxy23正确解答是正确解答是:本题小结：本题小结：用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的充要条件，特别地，如果多次运用均值不等式求充要条件，特别地，如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次最值，则要考虑多次“”（或者（或者“”）中取）中取“=”=”成立的诸条件是否相容。成立的诸条件是否相容。)(.34,0,0,0,0.2)(),(1.12222224442cbaabccacbbacbaacadbcbdbcaddcbabayxRyxybxaba 证明：证明：求证：求证：已知已知求证：求证：，是正数，且是正数，且、已知已知等式等式利用基本不等式证明不利用基本不等式证明不1 1、设、设 且且a+ba+b=3,=3,求求a ab b的最小值的最小值_。Rba,3、若，则函数的最小值是、若，则函数的最小值是_。1x11072xxxy2、求函数、求函数f(x)=x2(4-x2)(0 x2)的最大值是多少？的最大值是多少？4.a,dbc_.2b c da 互 不 相 等 的 四 个 正 数成 等 比 数 列，则与的 大 小 关 系 是5.:求以下问题中的最值_;94,_,0)1(有有最最小小值值时时则则当当若若aaaa _;lglg,20,)2(的的最最大大值值满满足足正正数数yxyxyx 你会了你会了吗？吗？1。本节课主要学习了基本不等式的证明本节课主要学习了基本不等式的证明与初步应用。与初步应用。巅巅 峰峰 回回 眸眸 豁豁 然然 开开 朗朗2 2。注意公式的正用、逆用、变形使用。注意公式的正用、逆用、变形使用。3 3。牢记公式特征。牢记公式特征“正正”、“定定”、“等等”，它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。4 4。我们积累了知识。我们积累了知识,于枯燥中见奇于枯燥中见奇,于于迷茫之中得豁朗。懂得灵活运用公式乐迷茫之中得豁朗。懂得灵活运用公式乐在成功之中，就能领略到公式平静的美。在成功之中，就能领略到公式平静的美。