第一章矢量讲解

1矢量分析1.在球面坐标系中，当与无关时，拉普拉斯方程的通解为：（）2.我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的（），这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，除有限个点或面以外，它们都是空间坐标的连续函数。3.矢量场匚在闭合面-的通量定义为矢量场的一样廳一伽虫=彳巾=v4（）也是一个标量，定义为_-TJI戒Adl矢量场在闭合路径/的环流定义为.，它是一个标量；矢量场的旋limCnrlA-roLA血-_da_3u亠血0=+s+叫*dxydyF3s度是一个（），它定义为标量场u（r）中，（）的定义为其中n为；变化最快的方向上的单位矢量。矢量分析中重要的恒等式有任一标量的梯度的旋度恒为（）V0馅丸任一矢量的旋度的散度恒为（）-V荷耳算符是一个矢量算符，在直角坐标内，二，所以是个（），而*是个（），J是个（）。4. 亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从它的散度和旋度开始着手，（）方程和（）方程组成了矢量场的基本微分方程。10. 标量：（）。如电压U电荷量Q电流I、面积S等。矢量：（）。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量（）地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量（）地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。旋度为零的矢量场叫做（）标量函数的梯度是（），如静电场16无旋场的（）不能处处为零散度为零的矢量场叫做（）矢量的旋度是（），如恒定磁场19无散场的（）不能处处为零20.一般场：既有（），又有（）21任一标量的梯度的旋度恒为（）22.任一矢量的旋度的散度恒为（）23.给定三个矢量瓦石和1，科+弔2那珂4也（？二5気2求:；NJ;已;一在讥上的分量：(6)貞亍；打(8)口二亡和八。24. 三角形的三个顶点为二(0,1,2)、二(4,1,3)和.(6,2,5)。(1) 判断*是否为一直角三角形。(2) 求三角形的面积。25. A=$2+e4求二(3，1,4)点到P(2，2,3)点的距离矢量匕7及的方向。给定两矢量-和-，求八在C_&-e-&-、上的分量。26. 如果给定一未知矢量与已知矢量的矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设八为一矢量，而匸心，八和已知，试求。271、在圆柱坐标中，一点的位置由I3丿定出，求该点在(1)直角坐标中；(2)球坐标中的坐标。(1)求在直角坐标系中点(一3,4,5)处的求F与矢量-一构成的夹角it-a-球坐标中两个点(：匕)和(工)定出两个位置矢量耳和匚。证明和匕间夹角的余弦为cos丫二也Gsin色c心一单J+coscos2提示:30. OSX-占勺h一;，在直角坐标中计算杠魁泗B).廳一球面S的半径为5,球心在原点上，计算：】的值。31. 在由r=5,z=0和z=4围成的圆柱形区域，对矢量验证散度定理。求矢量门-的散度；(2)求匚4对中心在原点的一个单位立方体的积分；求/对此立方体表面的积分，验证散度定理计算矢量对一个球心在原点，半径为a的球表面的积分，并求尸对球体积的部分。32. JTJ求矢量门*亠1:f沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求二对此回路所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。36.求矢量-沿圆周宀；的线积分,对此圆面积的积分37.证明：（1）Nx上，（2）B&=3，（3）0x=0，其中莎（孔尺）=厦为38. 一常矢量径向矢量场用J，匚一表示，如果，那么函数J-会有什么特点呢？39. 给定矢量函数If，试：（1）沿抛物线；（2）沿连接该两点的直线分别计算从点厂到的线积分二的值，这个是保守场吗？求标量函数-的梯度及再一个指定方向的方向导数。此方向由单5定出；求（2,3，1）点的导数值。41.试米用与推导式（1,3,8）相似的方法计算圆柱坐标下的计算式。/Pti+_十42.方程，-给出一椭球族。求椭球表面上任意一点的单位法向矢量。43.现有一个矢量场卫少丄-匚、匕八1叮7LL.一,一；“一十丄JB=srzsin9+ecoscp-es2rzsincpC二轨一2兀)+忍兀2z问：（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以用一个矢量的旋度表示?（2）求出这些矢量的源分布44.利用直角坐标证明:(JA)=J7AA-7/46. 45证明.弋Qx=百Q炙A+A尺*H利用直角坐标证明：丁-利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明1及亠_|,试证明之。47. 求数量场=(x+y)2-z通过点M(1,0,1)的等值面方程。求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程2250.求数量场U51.设标量函数xyz在点M(1,1,2)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。52. 是动点M(x,y,z)的矢量r=xex+yey+zez的模，即证明：。丽求r在M(1,0,1)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数q已知位于原点处的点电荷q在点M(x,y,z)处产生的电位为4r，其中矢径r为r=xex+yey+zey，且已知电场强度与电位的关系是E=-,求电场强度E。54.已知矢量场r=xex+yey+zez，求由内向外穿过圆锥面x2+y2=z2与平面z=H所围封闭曲面的通量。55.在坐标原点处点电荷产生电场，在此电场中任一点处的电位移矢量为D-r(ryevzq,rr,r=)4r2vr求穿过原点为球心、R为半径的球面的电通量D56原点处点电荷q产生的电位移矢量试求电位移矢量58. 散度57.球面S上任意点的位置矢量为r=xex+yey+zez，求SdS求矢量A=-yex+xey+cez(c是常数)沿曲线(x-2)2+y2=R2,z=0的环量求矢量场A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1,0,1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。59. 在坐标原点处放置一点电荷q,在自由空间产生的电场强度为zez)求自由空间任意点(r工0)电场强度的旋度*E。60. 在一对相距为I的点电荷+q和-q的静电场中，当距离rl时，其空间电位,、ql(r,)=2cos的表达式为40r求其电场强度E(r,9,)已知一矢量场F=axxy-ayzx,试求：(1) 该矢量场的旋度；(2) 该矢量沿半径为3的四分之一圆盘的线积分,如图所示，验证斯托克斯定理如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量PAXPAXp和P已知，试求X64.D65.66.67.68.69.70.71.问：点电荷q在离其r处产生的电通量密度为纭r,rxxyy?z,r(x2y2x2)24r求任意点处电通量密度的散度D,并求穿出r为半径的球面的电通量证明（1pl(f(厂)-f(r)dfdA一A(f(C)f(r)dfdA(3)A(f(C)-f(r)df证明：标量场在任一点的梯度垂直于过该点的等值面求证：（1）A)(AAAA)A(A)(A)A2(A)（A)()-A(-)A证明：（？）SAdSAldlV-R=3(2)7xj?=0证明:汁*七其中：A为一常矢量A匚十玄,coscossinB=23sin+sin炉现有三个矢量场A,B,C2工)十弓F十毎生（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示;(2) 哪些矢量可以由一个矢量的旋度表示;(3) 求出这些矢量的源分布。72. 求矢量-1；的散度；(2) 求*对中心在原点的一个单位立方体的积分；(3) 求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。求矢量一I沿平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两个边分别与x轴和y轴相重合。再求-对此回路所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。73. r给定矢量函数，试计算沿抛物线x=2y2;(2)沿连接该两点的直线从点P1(2,1,1)到P2(8,2,-1)的线积分的值，这个E是保守场吗？74. 已知A、B和C为任意矢量，若ABAC，则是否意味着B总等于C呢？试讨论之；试证明：ABCBCACAB。75. 给定三个矢量A、B和C如下：Aax2ay3azB4aazC5ax2az求(1)矢量A的单位矢量aA;(2) 矢量A和B的夹角AB；(3) AB和AB(4) ABC和ABC；(5) ABC和ABC。76. 有一个二维矢量场Fraxyayx，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图形。直角坐标系中的点Pl3,1,4和p22,23，直角坐标系中写出点Pl、p2的位置矢量*和2；求点P1到P2的距离矢量的大小和方向，求矢量ri在2的投影。77. 写出空间任一点在直角坐标系的位置矢量表达式，并将此位置矢量分别变换成在圆柱坐标系中和球坐标系中的位置矢量。78. 222求数量场lnxyz通过点pi,2,3的等值面方程。79. 25Ea一2用球坐标表示的场r，求(1)在直角坐标系中的点3,4,5处的E和Ez；(2)E与矢量B2ax2ayaz之间的夹角。80. :rdS试计算S的值，式中的闭合曲面S是以原点为顶点的单位立方体，r为立方体表面上任一点的位置矢量。81. 求标量场x,y,z6x2y3ez在点P2,卩的梯度。22在圆柱体xy9和平面x0、y0、z0及z2所包围的区域，设此区域的表面为S，求(1)矢量场A沿闭合曲面S的通量，矢量场A的表达式为2Aax3xay3yzaz3zx(2)验证散度定理。Adl计算C从P0,0,0到Q1,1,0，其中矢量场A的表达式为2Aax4xay14y曲线C沿下列路径:(1).2xt，yt；(2)沿直线从沿x轴到WO，再沿x1到1,1,0；(3)此矢量场为保守场吗?86.(1)若矢量场A216r2az,在半径为2和02的半球面上计算AdSS的值；(2)若矢量场A210cosa,求穿过xy平面上半径为2的圆面AdS的通量S287.求矢量Aaxxayxy沿圆周x22a的线积分，再求A对此圆周所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。88.在球坐标系中，已知标量函数PeCOS-r40r，其中Pe和0均为常数，求矢量场E89.求下列标量场的梯度:2(1)uxyzx；2)u4xyyz4xz；?3)u5yzx390求下列矢量场在给定点的散度：1）3axx3ayyaz3zx在点P1,0,1；2）2ayyzaz3z在点P1,1,091求下列矢量场的旋度：1）22axxayyaz3z22）axyzayxzazxy92现有三个矢量场A、B和C，已知Aarsincosacoscosasin22Bazsinazcosaz2zsin22Cax3y22xay3x2az2z求（1）哪些矢量场为无旋场、哪些矢量场为无散场？（2）哪些矢量场可以用一个标量函数的梯度来表示？哪些矢量场可以用一个矢量函数的旋度来表示？3）求出它们的源分布的位置矢量r；从P点到Q点的距离矢量R；22.yz4和平面z0组成的闭合曲面上验证斯托克斯定理。99.在直角坐标中，证明:93.已知直角坐标系中的点Pxyz和点Qx,y,z求p点的位置矢量r和Q点94.证明矢量场22axy2xzay2xyzaz2x2zy2z为有势场。95.在直角坐标中，证明AAA96.在直角坐标中，证明AAA97.求函数3x2yy2在点p2,3处沿曲线yx21朝X增大方向的方向导数。98.Aax52zay3x若大量场2az4x1试在由半球面100. 2x1R一个矢量场的旋度的散度恒等于零，即一个标量场的梯度的旋度恒等于零，即试说明：满足拉普拉斯方程的电位函数没有极大值。101. 给定两矢量和，求它们之间的夹角和在上的分量。102. 证明：如果上m和-土-，则|_。