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课时提升作业(二十)几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知函数f(x)=ex(e是自然对数的底数),则函数f(x)的导函数f(x)的大致图象为()【解析】选A.因为f(x)=ex,所以f(x)=ex,底数e大于1的指数函数是R上的增函数,故选A.2.(2015泉州高二检测)函数f(x)=(2x)2的导数是()A.f(x)=4xB.f(x)=42xC.f(x)=82xD.f(x)=16x【解析】选C.因为f(x)=42x2,所以f(x)=82x.3.质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s=,则质点在t=4时的速度为()A.B.C.D.【解析】选B.s=.当t=4时,s=.4.曲线y=xn在x=2处的导数为12,则n=()A.1B.3C.2D.4【解析】选B.y=nxn-1,因为y|x=2=12,所以n2n-1=12.检验知n=3时成立,所以选B.5.(2015惠州高二检测)设f0(x)=sinx,f1(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),fn+1(x)=fn(x),nN,则f2015(x)=()A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx【解题指南】利用基本初等函数的导数公式求出前4个函数,寻找规律求f2015(x).【解析】选D.由题意,f1=cosx,f2=-sinx,f3=-cosx,f4=sinx,f2015(x)=-cosx.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015南京高二检测)曲线y=cosx在点A,处的切线方程为.【解析】因为y=(cosx)=-sinx,所以y=-sin=-,所以在点A处的切线方程为y-=-,即x+2y-=0.答案:x+2y-=07.曲线y=在其上一点P处的切线的斜率为-4,则点P的坐标为.【解析】y=-=-4,x=,点P的坐标为,.答案:或8.(2015汉中高二检测)设函数f(x)=logax,f(1)=-1,则a=.【解析】因为f(x)=,所以f(1)=-1.所以lna=-1.所以a=.答案:【补偿训练】函数f(x)=(aR),若其导数过点(2,4),则a的值为.【解析】因为f(x)=,所以f(x)=-,又导数过点(2,4),所以-=4,所以a=-16.答案:-16三、解答题(每小题10分,共20分)9.若曲线y=在点(a,)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,求实数a的值.【解题指南】表示出过点(a,)的直线,用a表示出三角形的面积,解方程求a.【解析】因为y=-,所以y|x=a=-,所以在点(a,)处的切线方程为y-=-(x-a).令x=0,得y=,令y=0,得x=3a,所以3a=18,解得a=64.10.(2015榆林高二检测)已知曲线C:y=x3,(1)求曲线C上点(1,1)处的切线方程.(2)在(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点?【解析】(1)因为y=3x2,所以切线斜率k=3,所以切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.(2)由所以(x-1)(x2+x-2)=0,所以x1=1,x2=-2,所以公共点为(1,1)及(-2,-8),即其他公共点为(-2,-8).【补偿训练】求过曲线y=sinx上的点P且与在这点处的切线垂直的直线方程.【解析】因为y=sinx,所以y=(sinx)=cosx.所以y=cos=,所以经过这点的切线的斜率为,从而可知适合题意的直线的斜率为-.所以由点斜式得适合题意的直线方程为y-=-(x-),即x+y-=0.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015青岛高二检测)若曲线y=x2在点(a,a2)(a0)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2,则a等于()A.2B.4C.D.【解析】选A.y=2x,则切线的斜率为2a,所以曲线y=x2在点(a,a2)(a0)处的切线方程为y-a2=2a(x-a),即y=2ax-a2.令x=0得y=-a2,令y=0得x=,所以切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为a2=2,解得a=2,故选A.2.给出下列函数:f(x)=;f(x)=2x;f(x)=log2x;f(x)=sinx.则满足关系式ff-ff的函数的序号是()A.B.C.D.【解题指南】分别求出相应的导数值,利用函数的单调性比较大小.【解析】选C.f(x)=,所以f=,f-f=,f=,所以ff-ff;f(x)=2xln20,导函数为单调增函数,所以ff-ff;f(x)=cosx,所以f=cos,f-f=sin-sin,f=cos,因为cosf-ff.【补偿训练】已知f(x)=lnx(x0),f(x)的导数是f(x),若a=f(7),b=f,c=f,则a,b,c的大小关系是()A.cbaB.abcC.bcaD.bac【解析】选B.f(x)=,a=f(7)=ln7,b=f=2,c=f=3,因为ln7ln e2=2,所以ab0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.【解题指南】利用y=ex在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率,进而求得切点坐标.【解析】由f(x)=ex,得f(0)=e0=1.又y=ex在(0,1)处的切线与y=(x0)上点P处的切线垂直,所以点P处的切线斜率为-1.又y=-,设点P(x0,y0),所以-=-1,x0=1,由x0,得x0=1,y0=1,所以点P的坐标为(1,1).答案:(1,1)三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2015西安高二检测)设曲线y=上有点P(x1,y1),与曲线切于点P的切线为m,若直线n过点P且与m垂直,则称n为曲线在点P处的法线.设n交x轴于点Q,又作PRx轴于R,求RQ的长.【解析】依题意,y=,因为n与m垂直,所以n的斜率为-2,所以直线n的方程为y-y1=-2(x-x1).令y=0,则-y1=-2(xQ-x1),所以xQ=+x1,容易知道xR=x1,于是,|RQ|=|xQ-xR|=.6.已知两条曲线y=sinx,y=cosx,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直?并说明理由.【解析】由于y=sinx,y=cosx,设两条曲线的一个公共点为P(x0,y0),所以两条曲线在P(x0,y0)处的斜率分别为k1=y=cosx0,k2=y=-sinx0,若使两条切线互相垂直,必须cosx0(-sinx0)=-1,即sinx0cosx0=1,也就是sin 2x0=2,这是不可能的,所以两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直.7
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