《变化率与导数、导数的计算》

基础自测1. (教材习题改编f (x)是函数f(x)_|x3 + 2x+1的导函数，则f (1)的值为()7C. 4D.32. 曲线y_2xx3在x_ 1处的切线方程为()A. x+ y+ 2_ 0B. x+ y 2_ 0C. x y+ 2_ 0D. x y 2_ 03. y_x2cos x 的导数是(A.A.0B.3B. x+ y 2_ 0)y_2xcosx+x2sinxB. y_2xcosxx2sinxC. y_2xcosxD. y_sin x(教材习题改编)曲线y_在点M(n, 0)处的切线方程是.x(教材习题改编)如图，函数y_fx)的图象在点P处的切线方程是y_x+8, 则f(5)+f (5)_.4.5.培英堂教育个性化课外辅导I知识改变命运 学习成就未来 让陋习远离自己 让优秀成为习惯变化率与导数、导数的计算基础知识梳理1导数的概念函数y=fx)在x=x0处的导数：称函数y =fx)在x=x0处的瞬时变化率lim几+黑 心)=lim等为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作f (x0)或yz I _ ，即卩Ax一0AXAx一0 AX00x_x0f (_liAy 1.f(x0Ax)-f(x0) f(xo)_S Ax_Ax-(2)导数的几何意义：函数fx)在点x0处的导数f (x0)的几何意义是在曲线y_fx)上点P(x0, y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移 函数s(t)对时间t的导数).相应地，切线方程为yy0_f (x0)(xx0).函数fx)的导函数：Ax称函数f (x)_ lim用+黑-fx)为fx)的导函数.Ax_O Ax探究1f (x)与f (x0)有何区别与联系？2.曲线ypfx)在点P0(x0，y0)处的切线与过点Po(x0，y0)的切线，两种说法有区别吗?3.过圆上一点P的切线与圆只有公共点P,过函数y_fx)图象上一点P的切线与图象也只有公共点P吗?2. 几种常见函数的导数原函数导函数.fx)c(c为常数)f (x)0fx)xn(nUQ*)f (x)nxn1fx) sin xf (x) cos xfx)cos xf (x) sin xfx)axf (x) axln afx)exf (x)exfx)_logaxf (x)xln afx)_ln xf (x)i3. 导数的运算法则 (l)fx)g(x)_f (x)土g(x)； (2)|fx).g(x)/_f (x)g(x)+fx)g(x)；(g(x)HO)._f (x)g(x)fx)g，(x) _g(x)2培英堂教育个性化课外辅导题型分类深度剖析题型一 导数的计算例 1 求下列函数的导数(1)y=(1 -五)(】+士)；(2)y=呼；互动探究若将本例中“tan兀”改为“sin 2(12COS24)”如何求解?探究提高：求函数的导数的方法(1) 求导之前，应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速 度，减少差错；(2) 有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其化简为整式形式， 然后进行求导，这样可以避免使用商的求导法则，减少运算量变式训练 1求下列函数的导数(4)y= sin x+ Cos x.题型二 导数的几何意义例2(2012辽宁高考)已知P, Q为抛物线x2=2y上两点，点P, Q的横坐标分别为4,一2,过P, Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A,则点A的纵坐标为.已知曲线y=3x3+3求曲线在点P(2,4)处的切线方程；求斜率为4的曲线的切线方程.互动探究若将本例(2)中“在点P(2,4) ”改为“过点P(2,4) ”如何求解?探究提高：1求曲线切线方程的步骤(1) 求出函数丁=几%)在点x=x0处的导数，即曲线丁=几%)在点P(x0, fx0)处切线的斜率；(2) 由点斜式方程求得切线方程为yy0=f (x0)(xx0). 2求曲线的切线方程需注意两点(1) 当曲线y=fx)在点P(x0, f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为x=x；(2) 当切点坐标不知道时,应首先设出切点坐标,再求解.培英堂教育变式训练2.已知函数fx)=x3+x16.求曲线y=f(x)在点(2,6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标； 如果曲线y=fx)的某一切线与直线y=4x+3垂直，求切点坐标与切线的方程.题型三 导数几何意义的应用例3已知a为常数，若曲线y=ax2+3xln x存在与直线x+y1=0垂直的切线，则实数a的取值范围 是()a2，+8)B(一8，2C.1，+8)D(一8，1探究提高：导数几何意义应用的三个方面 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点A(x0, fx)求斜率k即求该点处的导数值：k=f (x)；(2) 已知斜率k,求切点Ag, f),即解方程f (x1)=k；已知过某点Mg, fx不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x, f(x)，利用k=fX1)fX)求解.1100x1 x0变式训练3.若对任意皿ER，直线x+y+m=0都不是曲线fxpjx3ax的切线，则实数a的取值范围是思想方法感悟提高1个区别一一过某点”与“在某点”的区别曲线y=f(x) “在点P(x, y)处的切线”与“过点P(x, y)的切线”的区别：前者P(x, y)为切点，而后者 P(x, y)不一定为切点.4个防范数运算及切线的理解应注意的问题(1) 利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.(2) 利用导数公式求导数时，只要根据几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数 公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错.(3) 直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样， 直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点.(4) 曲线未必在其切线的同侧，如曲线y=x3在其过(0,0)点的切线y=0的两侧.培英堂教育易误警示导数几何意义应用的易误点典例(2013杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+_4x9都相切，则a等于()A.1 或一64B.1 或或4C.4 或一64D-4 或 7解析设过(1,0)的直线与y =x3相切于点(x0，x0),所以切线方程为y - x0 =3x0(x -x0)，即 y =3x2x- 2x3,又3 0 0 0 0 0 0 0(1,0)在切线上，则x0 = 0或x0 = 2，当x0 = 0时,由 y = 0 与 y = ax2+ 4x-9相切可得2564；3272715当x0 = 2时，由y =才x-才与y = ax2 + &x - 9相切可得a =- 1,所以选A.答案A 易误辨析1. 如果审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点，贝惕误选B.2. 解决与导数的几何意义有关的问题时， 应重点注意以下几点：(1) 首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；(2) 基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证(3) 熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提.变式训练曲线y= . S+x*在点sin x+cos x 21 1 2 2B.2 C. 21.A.4, 0丿处的切线的斜率为()D.号2.已知函数fx) =x3 +fx,则函数fx)的图象在点(3处的切线方程是练出高分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1. (2013永康模拟)函数y=fx)的图象如图所示，则y=f (x)的图象可能是()A.B.D.不确定n)fC (-3)普)3. 已知 t 为实数，fx) = (x24)(xt)且f (1) = 0,则 t 等于()A. 0 B.1C.2 D. 24. 曲线 y=xex+2x1 在点(0，1)处的切线方程为()A. y= 3x 1 B. y= 3x 1C. y= 3x+ 1D. y= 2x 15. (2013大连模拟)若点P是曲线y=x2lnx上任意一点，则点P到直线y=x2的最小距离为(A. 1B.V2CD,3 6.设曲线丁二10汙在点(2, 1)处的切线与直线xay+1=0平行，则实数a等于()xA.1B.2C.2D. 2二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7.已知fx)=x2+2xf (1)，则f (0)=.培英堂教育8. (2013郑州模拟)已知三次函数y=x3x2ax+b在(0,1)处的切线方程为y=2x+l,则a+b=.9. 若曲线f(x)=ax5+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是.三、解答题(本大题共3小题,每小题12分,共36分)ax 610已知函数fx)=2齐的图象在点(T，f(1)处的切线方程为x+2y+5 = 0,求y=fx)的解析式.11.如右图所示，已知A(1,2)为抛物线C： y=2x2上的点，直线11过点A,且与抛物 线C相切，直线I?： xa(a 1)父抛物线C于点B，父直线片于点D.(1)求直线*的方程；(2)求AABD的面积S1.12.如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线yex于点Q1(0,1)，曲线在Q点处的切线与x轴交于点P2再从 P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：匚，Q1； P2，Q2； P，Q”,记Pk点 的坐标为(xk0)(k1,2，n).(1)试求 xk与 xk的关系(k2,n)； 求IP1Q1I + IP2Q2I + IP3Q3I + + IPfi.