数列通项公式的求法PPT学习教案

会计学1数列数列(shli)通项公式的求法通项公式的求法第一页，共55页。，然后直接套用及出为等差（比）数列，求方法：若na类型一：等差数列(dn ch sh li)与等比数列的通项：ma其中一项）（公比公差qd 公式(gngsh)为整数，则通项公式且公比，为等比数列，若：已知例nnaqaaaaa 512,12417483，然后套公式。与程组，解出的方与表示，得出与全部用，本题也可以把qaqaqaaaaa 1118743124512838374aaaaaaan，为等比数列，则分析：是整数，又与的两根是方程与故知qxxaa 4128 051212428313353883)2(232 128 4nnnqaaqqaaaa，12n，等比5128374aaaaan第1页/共55页第二页，共55页。的通项公式。，求数列且为等差数列，已知数列卷湖南 9,3)(1(log).(131*2nnaaaNna12)1(log)1(log1232ddaa略解：,)1(1)1(log2nnan.12 nna练习(linx)：1(1)21nandn 1112nnnqbb 是各项都为正数的等比是等差数列，设全国nnba).(2，求数列数列，且13,21,1355311bababa 的通项公式。与nnba第2页/共55页第三页，共55页。类型(lixng)二：类等差（比）数列,方法(fngf)：累加(乘)的通项公式。求数列的值；求的等比数列成公比不为且，是常数，中，例：数列nnnnacaaanccnaaaa)2()1(1 ,)3,2,1(232111)(1nfaann即)(1ngaann与3122321 1 ,aaaaaa的等比数列得成公比不为分析：由naacccnn2,2)32(2)2(12故有即）1(2,32,22,21342312naaaaaaaann),1()1(321 21nnnaan上面各式相加得),3,2,1(22nnnan故第3页/共55页第四页，共55页。一、若数列(shli)有形如an1anf(n)的解析式，而f(1)f(2)f(n)的和是可求的，则可用多式累(迭)加法求得an.(2011年厦门质检(zh jin)已知数列an中，a120，an1an2n1，nN*，则数列an的通项公式an_.解析：由条件(tiojin)an1an2n1，nN*，即an1an2n1，得a2a11，a3a23，a4a35，an1an22n5，anan12n3，以上n1个式子相加并化简，得ana1(n1)2n22n21.答案：n22n21第4页/共55页第五页，共55页。变式探究变式探究(tnji)1已知数列(shli)an中，a11，an1an2n，求an.解析：当n2时，a2a12，a3a222，a4a323，anan12n1.将这n1个式子累加起来(q li)可得ana12222n1，ana12222n112222n12n1.当n1时，a1适合上式，故an2n1.第5页/共55页第六页，共55页。二、若数列有形如anf(n)an1的解析(ji x)关系，而f(1)f(2)f(n)的积是可求的，则可用多式累(迭)乘法求得an.设an的首项为1的正项数列(shli)，且 n an1an0，求它的通项公式解析(ji x)：由题意a11,an0，(n1,2,3，)，第6页/共55页第七页，共55页。的通项公式为列，则数且满足中，已知数列：例nnnnannaaaa21 2 11nnnnnaannnaa11)2(2nnannann)1()2)(1(1方法(fngf)二:对应），小系数与（大系数与nnaa1是常数数列则可构造nann)1(11645342312:13423121nnaaaaaaaannaannnn得分析)1(21)1(2111nnaannaann)1(21221)1(11nnaaaannnn，故有)1(2nnan累乘第7页/共55页第八页，共55页。nnaS，求知类型三：求解方法：可直接应用公式)2()1(11nSSnSannn 的通项公式。的图象上，求数列均在函数，点和为的前，数列为函数的图象经过原点，其导例：已知二次函数nnnnaxfyNnSnSnaxxfxfy)()(,26)()(nnSxxxfn2323)(22，故有略解：依题意易得56)1(2)1(3232221nnnnnSSannnn时，故当合上式时，而当1 1 11San)(56Nnnan故第8页/共55页第九页，共55页。练习(linx)公式为的通项，则满足项和的前已知数列 1log .12nnnnanSSna不合上式，时，当由略解4222221log:111112SaSSanSnSnnnnnnnnn)()2(2)1(4Nnnnann故形式表示。不符合，则可用分段的若1 a第9页/共55页第十页，共55页。nnnanaS的关系式，求通项及与类型四：知），再求的关系式，先求出与得消（有时用nnnnnnnnaSSSanSSa11)2(解。两项的关系式再分析求式两式相减，得出相邻原关系，得另一式子，与代替或方法：可考虑用)2(11nnnn 的通项公式，求且满足项和的前各项均正数的数列重庆例：nnnnnnaNnaaSSSna*1),2)(1(6 1)(2362nnnaaS分析：由题意得2366112111aaSan时，当212111111aSaaa故又或解得由整理(zhngl)得2361211nnnaaS且有300)3)(1111nnnnnnnnaaaaaaaa又 13)1(3232nnaaannn的通项为故的等差数列，公差为是首项为故)()(1比或类等差比的关系？化为等差与找nnaa11nnnaSS的关系与可找出nnaa1第10页/共55页第十一页，共55页。的通项公式求数列，且项和的前例：数列nnnnnnaNnnSSaaSna ),2(,1,11 nnnnnnnnnnaSSaaSaaSS，进而求出出相邻两项的关系式，求得出否消去的一次幂的，则考虑能的一次幂的，而是方法；若不是考虑求相邻两项的关系式，再可找出去一次幂的关系式，则消若关系式可化的等差数列，公差为是首项为故知 1 111111aSSn)1(12111nnSSannSnSnnnnn时，当易得)(2()1(1)1(1 11Nnnnnnaan）不合上式，故处理可用)2()1(11nSSnSannn112nnnnnSSSSan时，分析：当1111nnSS 相邻两项的关系式呢？化为与能否与上例一样消去nnnaSS1 nnnnnnnaSSaSSan相邻两项关系式得消时1,2第11页/共55页第十二页，共55页。的通项公式求数列满足项和的前已知数列例nnnnnaanSSna,122:1)3(21122111nnnnanSaanS且有易知分析：由nnnnananaS)2()1(S111n，两式相减整理得因212111211naananananannnnn，故则是常数数列，故可化为121nnaann再用累乘法(chngf)也可以第12页/共55页第十三页，共55页。的通项公式求数列，项和的前数列福建nnnnnaNnaSaSna )(2 ,1,)(1.11练习(linx)两式相减整理得略解：,2 21nnaS，而3231212aaaann)2(32)1(12nnann故第13页/共55页第十四页，共55页。类型五：待定系数(xsh)法求数列的通项：dqaaaannnn11)(满足与若数列相邻两项一),(为常数dq则可考虑(kol)待定系数法设 xaqxann1为待定系数，其中x ()dqxx且构造新的辅助(fzh)数列 xan是首项为 xa 1公比为q的等比数列，求出 xan,再进一步求通项 na 的通项公式求数列，满足项和为的前例：数列nnnnnaNnnaSSna )(12)2(21212111nnnnaaaa两式相减得，且分析：由32,2312111naSanaSnnnn的等比数列，公比为是首项为故数列2121221aannnnnaa212212121故第14页/共55页第十五页，共55页。若数列有形如anpan1q(n2，p，q为常数，pq0，p1)的线性递推关系(gun x)，则可用待定系数法求得an.具体思路：设递推式可化为an1Ap(anA)，得an1pan(p1)A，与已知递推式比较(bjio)，解得A ，故可将递推式化为an p（an-1+），构造数列bn，其中bnan ，则bn1pbn，即 p，所以bn为等比数列故可求出bnf(n)，再将bnan 代入即可得an.第15页/共55页第十六页，共55页。已知数列(shli)an中，a11，an1 an1，求an.解析(ji x)：解法一：数列(shli)bn为等比数列(shli)，又a132，第16页/共55页第十七页，共55页。第17页/共55页第十八页，共55页。点评：(1)注意数列解题中的换元思想的运用(ynyng)，如bnan3.(2)对数列递推式an1panq，我们通常将其化为 p ，设bnanA，构造数列bn为等比数列第18页/共55页第十九页，共55页。的通项公式求数列，满足项和为的前数列全国例：nnnnnnaNnaSSna )(3223134)1(12322313411aaSnnn分析：由 3223134211nnnaS且1124nnnaa两式相减整理得122211nnnnaa可化为的等比数列，公比为是首项为故数列 2 2121212aannnnnnnnaa24222121直接应用。怎么办？不是常数，不能12n构造新数列，同除以12n1221211nnnnaa都是常数与相邻两项，是其、，新数列2 1 22211nnnnnnaaa第19页/共55页第二十页，共55页。112.(122)2212,1,2,3,nnnnaaaana全国 理已知数列中 ，且，求的通项公式。2(21)1nna12 3n ，练习(linx)111.()1,21()nnnnaaaanNa福建 已知数列满足则数列的通项公式为12 nna第20页/共55页第二十一页，共55页。四、递推式如anpan1rqn(n2，pqr0，p，q，r为常数(chngsh)型的通项的求法具体思路：1.等式(dngsh)两边同除以qn，第21页/共55页第二十二页，共55页。第22页/共55页第二十三页，共55页。已知数列(shli)an满足an4an12n(n2，nN*)，且a12.求an.解析(ji x)：解法一：an4an12n,第23页/共55页第二十四页，共55页。解法二：an4an12n，令an2n4(an12n1)，(n2)，得an4an12n，与已知递推式比较得1，an2n4 ，又a12214，an2n是首项为4，公比(n b)为4的等比数列an2n44n1，an4n2n22n2n.第24页/共55页第二十五页，共55页。1113.()5,5,25()nnnnnaanS aSSnnNa山东 数列的首项，前 项和为且，求数列的通项公式练习(linx)2.()22()nnnnnnanSSanNa四川 数列的前 项和为 满足，求数列的通项公式65521211nSanSanSSnnnnnn分析：)(12121211212Nnaaaaaannnn故有而易知相减的等比数列，是首项为，故2611)1(2111qaaaannn12626111nnnnaa两式相减得且有由111122222nnnnnnaSaaSnnnaa22111 2nnan212211nnnnaa21)1(12nannnnaS，再求思考：能不能先第25页/共55页第二十六页，共55页。变式探变式探究究(tnji)5(2011年盐城模拟(mn)在数列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN*)，其中0.求数列an的通项公式解析(ji x)：由an1ann1(2)2n(nN*)，0，得an1ann12n12n，所以数列an的通项公式为an(n1)n2n.第26页/共55页第二十七页，共55页。nnnnnnnaznxaznxazxnaqzxnaAAnqaa，构造得等比数列、然后展开对比系数确定设为常数）、若数列相邻两项满足二qBA ),()1(qB(B)(11 的通项公式。（修改）上，求数列直线在点中，在数列山东例nnnnaxyNnaanaa )(2,(,2)06.(111,1zx展开后对比系数可得)1(21)1(1则nanann,21naann分析：易得的等比数列，公比为是首项为故 2 41111anan1224111nanannnn)(2)1(1zxnazxnann可设第27页/共55页第二十八页，共55页。nnnnaa21222122321,21naann分析：易得方法(fngf)二：:2 1可得等式两边同除以n11112222nnnnnnaa111222nnnnnnaa各式相加可得，,2122,2222212211322332122nnnnnnaaaaaann212221S32令14321222221S21nnnn1132212121212121S21nnnnn12211Snnnannnnna2122121nann 11.()2,(,2)()nnnnaan aanNyxa例 山东 在数列中，点在直线上，求数列的通项公式。（修改）累加由得第28页/共55页第二十九页，共55页。的通项公式求，且满足例：已知数列nnnnannaaaa 121211)(2)1()1(221zynxnaznynxann分析：设zyxnyxxnaann)2(221展开整理可得对比系数可得：与1221nnaann1121zyxyxx311zyx)3(23)1()1(221nnannann故有的等比数列，公比为是首项为故知 2 6312annannnnnna2326312得由等比数列通项公式可3232nnann第29页/共55页第三十页，共55页。五、递推式如anpan1qnr(n2，pq0，p，q为常数)型数列的通项求法具体思路：等价转化为anxnyp(an1x(n1)y)，再化为anpan1(p1)xn(p1)y，比较对应(duyng)系数，解出x，y，进而转化为例3的数列 (2011年济宁模拟)已知数列an中，a1 ，点(n,2an1an)在直线(zhxin)yx上，其中n1,2,3，.求数列an的通项12解析(ji x)：点(n,2an1an)在直线yx上，2an1ann.第30页/共55页第三十一页，共55页。令an1x(n1)y (annxy)，可化为2an1anxn2xy0与比较(bjio)系数得x1，y2.可化为an1(n1)2 (ann2)，1212第31页/共55页第三十二页，共55页。变式探变式探究究(tnji)6(2010年丰台区模拟(mn)在数列an中，a12，an14an3n1，nN*.(1)设bnann，求数列 的通项；(2)求数列an的前n项和Sn.解析：(1)由题设an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN*.bnann，bn1an1(n1)，bn14bn.又b1a111，所以数列 是首项(shu xin)为1，且公比为4的等比数列bn4n1.第32页/共55页第三十三页，共55页。(2)由(1)可知ann4n1，于是数列(shli)an的通项公式为an4n1n.第33页/共55页第三十四页，共55页。七、倒数法求通项(1)对于递推式如an1panqan1an(p，q为常数，pq0)型的数列，求其通项公式(gngsh)具体思路：两端除以an1an得：p q，若p1，则构成以首项为 ，公差为q的等差数列 ；若p1,转化为例3求解第34页/共55页第三十五页，共55页。(2011年保定(bo dn)摸底)已知数列an满足a11，n2时，an1an2an1an，求通项公式an.解析(ji x)：an1an2an1an，第35页/共55页第三十六页，共55页。变式探变式探究究(tnji)答案(d n)：an第36页/共55页第三十七页，共55页。(2)若数列(shli)an有形如an1 的关系，求其通项的具体思路是：取倒数后得 ，即化为例3的数列(shli)，求出 ，再求得an.设数列(shli)an满足a12，an1 (nN*)，求an.解析(ji x)：由an1取倒数，第37页/共55页第三十八页，共55页。类型六：特征(tzhng)根法求数列通。na011DCaBaaAannnn)0(A0)(2DxCBAx（条件(tiojin)：若的相邻(xin ln)两项关系式可化为可用这种方法；(其中方程该数列的特征根）的根称为2x21xaxabnnn nbnbna（一）有两特根与，可令构造等比数列，则可进而求出等比数列通项公式求出,2,1,123,53)(:11naaaaannnn的首项已知数列陕西例 的通项公式求数列na根一元二次方程求出特征的得到都为与可视xxaann 1特征根为0与1略解：依题意可得该数列特征根为0与1nnnaab1可设nnnnnnnnnnbaaaaaaaab3113112311231111则nnnnaab132233nnna1x第38页/共55页第三十九页，共55页。的通项公式求且满足数列重庆nnnnnnanaaaaaa).1(0521681)(111练习(linx)nnnaaa8165245211，且条件可化为与分析：易得有两特征21452361512218165245816522145,2145111nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaabaab则可设 的等比数列，公比为是首项为，故即 2 21211bbbbnnn8210221452221121nnnnnnnnaaab故有(改编(gibin)45210521682xxxxx或第39页/共55页第四十页，共55页。构造(guzo)辅助数列 ,分析0 x01xabnn nbnbna（二）有一根(y n)时,可令 易得 是等差数列(dn ch sh li)，求进而求出 nb 的通项公式求na 的关系与nnbb1)(2121)(11Nnaaaannn且满足数列佛山一模例：唯一特征根1解：依题意可得该数列有惟一特征根为111nnab可设21b则nnnnnnnbaaaaab11111212111111且)1)(1(2121nbbbnn的差数列，公差为是首项为故1)1(11nnanabnnn即该题也可以先求出前几项，再猜想归纳出其通项，但要特别注意要用数学归纳法证明。第40页/共55页第四十一页，共55页。)(34,1.111Nnaaaaannnn且满足数列 的通项公式求na 练习(linx)2341xxxxxaann得都为与视121 ,2111ababnn则分析：可设21)2(2323412111nnnnnnnnaaaaaaab112111nnnnbbba 的等差数列，公差为是首项是111bbnnaannbnnn1221)1)(1(1故有第41页/共55页第四十二页，共55页。（三）没有特征(tzhng)根，则可由递推关系式得出若干项可判断 na是周期(zhuq)数列 的通项公式求且满足例：数列nnnnnaNnaaaaa).(12111231).(12211aaNnaaannn分析：由)()2(23)12(1 Nkknknan由递推性可得无实根得都为与视121xxxxaann112223aaa第42页/共55页第四十三页，共55页。（题型）若数列(shli)相邻三项的关系可化为 012DCaBaannn且方程(fngchng)02CBtt有解，则可用待定系数(xsh)法设 公比的辅助等比数列 构造新的以y为 1zxaann，转化相邻两项处理；若 zyx,有两组值，也可得到两个等比数列，分别求其通项,再由方程组求出 na)(112zxaayzxaannnn 的通项公式。求数列满足：已知数列例nnnnnaNnaaaaaa)(23,3,111221有解0232 tt)(112zxaayzxaannnn设zyzxyaayxannn12)(211223yxyxyxyx或解得对比系数可得nnnnnnnaaaaaaa222311212可得故由12221211aaaaaannnn是常数数列)1(211211nnnnaaaa122211nnnnaa），（即取12yx呢？，取21yx第43页/共55页第四十四页，共55页。的通项公式。求数列满足：已知数列例nnnnnaNnaaaaaa)(23,3,11122121yx，取)(22311212nnnnnnnaaaaaaa可得故由的等比数列，公比为是首项为则22121aaaannnnnaa21则122221)21(21222)()()(11212312nnnnnnnnaaaaaaaa12,212111nnnnnnnnaaaaaa，可得消去则有由上面过程知都取与,1221yxyx两种情况一起(yq)考虑，即累加方程(fngchng)思想第44页/共55页第四十五页，共55页。的通项公式求数列满足已知数列例nnnnnaaaaaaa265,2,1:21221zyzxyaayxannn12)()(112zxaayzxaannnn设对比系数可得与26512nnnaaa223132265zyxzyxzyzyxyx或解得为等比数列12)12(3121112nnnnnnaaaaaa分别(fnbi)得到：13231121111nnnnnnaaaa是等比数列又有23)23(2231112nnnnnnaaaaaa22321231111nnnnnnaaaa由得12311nnna有解0652 tt第45页/共55页第四十六页，共55页。),4,3(,0,)08(212212nqxpxxqpxpxxqpxxqpnnnn满足数列的两个实根，是方程为实数、设广东理 的通项公式求数列；证明：nxqp)2(,)1(nnSnxqp项和的前，求，若 411)3(练习(linx)【解析(ji x)】（1）由求根公式，不妨设 2244,22ppqppq224422ppqppqp224422ppqppqq11,(),()nnnnnxn111111()2()()3(3)()2222nnnnnn nS(2)(3)第46页/共55页第四十七页，共55页。递推式如递推式如的数列通项的求法的数列通项的求法型)0(1ppaarnn【具体思路具体思路】若p=1，则等式两边取常用对数或自然对数，化为：，得到首项为 ，公比为r的等比数列 ，所以 =，得 若p1，则等式两边取以p为底的对数得：转化为题型三求通项。1lglgnnara1lganalg11lgarnnalg11nrnaa1l gl g1pnpnoar oa第47页/共55页第四十八页，共55页。（11年石家庄市模拟年石家庄市模拟）若数列an中，且 ，则数列的通项公式为_ 31a)(21为正整数naann【解析】及 知 两边取常用对数得：21nnaa31a3nannaalg2lg1第48页/共55页第四十九页，共55页。是以首项为 ，公比为2的 等比数列。nalg3lglg1a 3lg2lg1nna123nna第49页/共55页第五十页，共55页。的通项公式。，求数列图象上，其中的在函数，点已知山东nnnanxxxfaaa,3,2,1 2)(,2).(6211,021212121Nnaaaaaaannnnnn又分析：依题意可得的等比数列公比为是首项为而21)1(log1log11log,1log21loglog1331332313aaaaaannnn1331211log11221-n3nnnnnaaa 的通项公式，求数列且满足中，已知数列练习nnnnaaaaa2114.5nnnaaa42414log2loglog124nna第50页/共55页第五十一页，共55页。其他方法：有构造常数数列，取对数（注意(zh y)真数大于零），取倒数，归纳法（注意(zh y)要用数学归纳法证明）的通项公式为则数列，的正项数列，且是首项为若nnnnnnaaanaana01 1 .112210121211nnnnnnaaaana的降幂处理分析：先按左边(zu bian)能否因式分式？0)(111nnnnaanaan01nnaa又nnnaan1)1(是常数数列nnanaanann1111故有，可用什么方法处理？若1)1(11nnaanaannnnn累乘法(chngf)第51页/共55页第五十二页，共55页。通项公式的，求且满足数列nnnnaaanana6)1()1()1(.3211 11an时，易得当时，原式可化为当2n)1()1()1(1nanannn对应在一起与与nnan，an)1()1(111111nnanann两边同除)1)(1(nn以n两边再除以观察分析可知nnnnannann)1(1)1()1(11)1(1)1()1(1nnnnannann)1(1)1(1)1(1nnnannnann是常数数列)2()1(1)1(nnnnan212)1(1)1(2annnan)2)(12(nnnan)(12(11Nnnnaan合上式，故第52页/共55页第五十三页，共55页。的通项公式为则数列，项和，前中，练习：已知数列nnnnaannSnaa21 61111)2)(1(2,)1(221nnnnnnannSannSannS且有nnnnnananaSS)1()3(,111两式相减得nnannann)2)(1()3)(2(1为常数数列)2)(1(nann)2)(1(1132)2)(1(1nnaaannnn 的表达式的等比数列，求，公比为为是首项满足已知数列nnnnaaaaaaaaa311,.412312111123121311233113111)()()(nnnnnaaaaaaaa第53页/共55页第五十四页，共55页。的通项公式，求数列，有一根为，且方程和为的前设数列全国nnnnnnanSaxaxSna,3,2,11 0)06.(820)1()1(2nnnnaSaS分析：依题意可得012211nnnnnnSSSSSan代入上式得时，当的关系与得消去1nnnSSa)2(211nSSnn时，有，则当可令211nSbnn11111111112121111nnnnnnnbSSSSSb)1(1112nSbbnnn的等差数列公差为是首项为1nnSn合上式，而时，当21)1(1211annSSannnnNnnnan)1(1故nnnnnaSSSa求，再转化为知，再用数学归纳法证明归纳法猜想算出前几项后观察分析的关系与得注意：本题先消去n1S,特征(tzhng)根法第54页/共55页第五十五页，共55页。