数学第九章 概率与统计 第7讲 离散型随机变量的均值与方差配套 理

第7讲 离散型随机变量的均值与方差考纲要求考点分布考情风向标理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单问题2011年新课标考查分布列，数学期望及方差；2012年新课标考查分布列，数学期望及方差；2013年新课标考查概率分布列与数学期望等；2014年新课标考查正态分布及数学期望；2015年新课标考查互斥事件、独立重复试验及概率公式；2016年新课标考查统计、概率分布列与数学期望；2017年新课标考查二项分布列、数学期望与方差高考中常将相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、期望与方差等知识放在一起在解答题中考查，主要考查运用概率知识解决实际问题的能力Xx1x2xixnPp1p2pipn1.离散型随机变量的均值和方差一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为：则称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量 X 的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.2.均值和方差的性质设 a，b 是常数，随机变量 X，Y 满足 YaXb，则 E(Y)E(aXb)_，D(Y)D(aXb)a2D(X).aE(X)b3.两点分布及二项分布的均值和方差pnp(1)若 X 服从两点分布，则 E(X)_，D(X)p(1p).(2)若 XB(n，p)，则 E(X)_，D(X)np(1p).101P0.50.30.21.已知的分布列为)D则 E()(A.0C.1B.0.2D.0.3123P0.40.20.42.已知随机变量的分布列是：则 D()()BA.0.6B.0.8C.1D.1.2解析：E()10.4 20.230.4 2，则 D()(12)20.4(22)20.2(32)20.40.8.3.(2014 年浙江)随机变量 的取值为 0，1，2，若 P(0)15，E()1，则 D()_.254.(2017 年新课标)一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次，X 表示抽到的二等品件数，则 D(X)_.1.96解析：由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即XB(100，0.02)，由二项分布的期望方差公式，可得D(X)np(1p)1000.020.981.96.考点 1 离散型随机变量的期望与方差例 1：(2016 年天津)某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1，2，3 的人数分别为 3，3，4，现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会.(1)设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A 发生的概率；(2)设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和数学期望.Xx1x2xixnPp1p2pipn【规律方法】(1)一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为：则称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量 X 的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)求数学期望(均值)的关键是求出其分布列.若已知离散型分布列，可直接套用公式 E(X)x1p1x2p2xipixnpn求其均值.随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，只要找准随机变量及相应的概率即可计算.【互动探究】1.(2017 年浙江)已知随机变量i 满足 P(i1)pi，P(i0)A.E(1)E(2)，D(1)D(2)B.E(1)D(2)C.E(1)E(2)，D(1)E(2)，D(1)D(2)A解析：E(1)p1，E(2)p2，E(1)E(2).D(1)p1(1p1)，D(2)p2(1p2)，D(1)D(2)(p1p2)(1p1p2)0.即D(1)D(2).故选 A.等级不合格合格得分20，40)40，60)60，80)80，100频数6a24b考点 2 超几何分布的期望和方差例 2：(2017 年广东珠海二模)某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记 5 分，“不合格”记 0 分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图 9-7-1.图 9-7-1(1)求 a，b，c 的值；(2)用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取 10 人进行座谈.现再从这 10 人这任选 4人，记所选 4 人的量化总分为，求的分布列及数学期望 E()；来评估该校安全教育活动的成效.若 M0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在(2)的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？分组/岁频数25，30)x30，35)y35，40)3540，45)3045，5010合计100【互动探究】2.(2017 年湖北八校联考)某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取 100 名市民，按年龄(单位：岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如图 9-7-2.图 9-7-2(1)求频率分布表中 x，y 的值，并补全频率分布直方图；(2)在抽取的这 100 名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20 人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这 20 人中随机选取 2 人各赠送精美礼品一份，设这 2 名市民中年龄在35，40)内的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望.解：由图知，P(25x30)0.0150.05，故 x1000.055.P(30 xE(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大.方法二，设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为Y1，都选择方案乙所获得的累计得分为 Y2，则 Y1，Y2 的分布列为：因为 E(Y1)E(Y2)，所以两人都选择方案甲抽奖，累计得分的数学期望较大.【规律方法】(1)求随机变量的期望与方差时，可首先分析是否服从二项分布，如果B(n，p)，那么用公式 E()np；D()np(1p)求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用 E(ab)aE()b 以及 E()np 求出 E(ab)，同样还可求出 D(ab).【互动探究】3.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图 9-7-3.图 9-7-3将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率；(2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列、数学期望 E(X)及方差 D(X).解：(1)设 A1 表示事件“日销售量不低于 100 个”，A2 表示事件“日销售量低于 50 个”，B 表示事件“在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个”，因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.X0123P0.0640.2880.4320.216(2)X 可能取的值为 0，1，2，3，相应的概率为分布列为：因为 XB(3，0.6)，所以数学期望 E(X)30.61.8，方差 D(X)30.6(10.6)0.72.思想与方法 利用分类讨论思想求数学期望例题：(2014 年湖北)计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水的年入流量 X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在 40 以上，其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.年入流量X40X120发电机最多可运行台数123(1)求在未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800 万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？(2)记水电站年总利润为 Y 万元.安装 1 台发电机的情形.由于水库年入流量总大于 40，故 1 台发电机运行的概率为1，对应的年利润 Y5000，E(Y)500015000；安装 2 台发电机的情形.依题意，当 40X80 时，1 台发电机运行，此时 Y5000800 4200，因此 P(Y 4200)P(40X80)p1 0.2；当X80 时，2 台发电机运行，此时 Y5000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.Y420010 000P0.20.8由此得 Y 的分布列如下：所以 E(Y)42000.210 0000.88840；安装 3 台发电机的情形.依题意，当 40X80 时，1 台发电机运行，此时 Y50001600 3400，因此 P(Y 3400)P(40X120 时，3 台发电机运行，此时 Y5000315 000，因此 P(Y15 000)P(X120)p30.1.Y3400920015 000P0.20.70.1由此得 Y 的分布列如下：所以 E(Y)34000.292000.715 0000.18620.综上所述，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台.【规律方法】本题考查学生在不同背景下迁移知识的能力，关键在于如何迅速、准确将信息提取、加工，构建数学模型，化归为数学期望问题.【互动探究】4.某社区为丰富居民节日活动，组织了“迎新春”象棋大赛，已知由 1，2，3 号三位男性选手和 4，5 号两位女性选手组成混合组参赛.已知象棋大赛共有三轮，设三位男性选手在一至(1)若该组五名选手与另一组选手进行小组淘汰赛，每名选手只比赛一局，共五局比赛，求该组两名女性选手的比赛次序恰好不相邻的概率；(2)若一位男性选手因身体不适退出比赛，剩余四人参加个人比赛，比赛结果相互不影响，设 X 表示该组选手在四轮中胜出的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望.所以 X 的分布列为：