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会计学1多元函数微分法多元函数微分法52325第三节第三节 多元函数微分多元函数微分法法一、复合函数微分法一、复合函数微分法二、隐函数微分法二、隐函数微分法第1页/共20页且其导数为且其导数为处可导处可导在点在点则复合函数则复合函数处可导处可导点对应点对应在在而而处可导处可导在点在点如果函数如果函数我们知道我们知道,)(,)(,)(:xxfyuxufyxxudxdududydxdy 这一法则称为一元复合函数的锁链式求导法这一法则称为一元复合函数的锁链式求导法.现在现在,我我们将这一法则推广到多元复合函数们将这一法则推广到多元复合函数.一、复合函数微分一、复合函数微分法法第2页/共20页1.中间变量是二元函数的情形中间变量是二元函数的情形,zzuzvxuxv x .zzuzvyuyv y (,),ux y(,)vx y(,)zf u v其其中中 定理定理4-44-4 设函数设函数 、在点在点 的偏导数都存在的偏导数都存在,函数在函数在 对应点对应点 可微，则复合函数可微，则复合函数 在点在点 处存在对处存在对 、的偏导数、的偏导数,且且 xy(,)ux y(,)vx y(,)x y(,)zf u v(,)uv(,),(,)zfx yx y(,)x y第3页/共20页锁链式法则如图示锁链式法则如图示uvxzy(1)单链是导数关系单链是导数关系,多链是偏导关系多链是偏导关系;(2)一条链之间一条链之间,依次求导相乘依次求导相乘;(3)各条链之间各条链之间,求导后逐渐相加求导后逐渐相加.注意注意 上述运算法则对中间变量或自变量多于或少上述运算法则对中间变量或自变量多于或少于两个的情形仍然适用于两个的情形仍然适用.第4页/共20页解解:zx uzxu vzxv 212 ln3uuvyv22223ln(32)(32)xxxyyyxyzy uzyu vzyv 例例4-204-20 设设 ,而而 ，求求 、.2lnzuv32vxyxuyzxzy222 ln()(2)xuuvyv 222222ln(32)(32)xxxyyyxy 第5页/共20页 例例4-214-21 设设 ,求求 、.(1)yzxyzxzyzx uzxu vzxv 解解:令令 则则 1,uxy vy vzuzy uzyu vzyv 121ln0(1)vvyvuyuuyxy1ln1vvvuxuu 1(1)(1)ln(1)yyxyxyxyxy(1)ln(1)1yxyxyxyxy第6页/共20页推论推论:其中其中(,),uu x y(,),vv x y(,)ww x y(,)zf u v wzzuzvzwxuxv xwx zzuzvzwyuyv ywy zwvuyx第7页/共20页 例例4-224-22 设设 ,其中其中 ,2221zuvw求求 、.22uxy22,vxy2,wxyzxzy解解:设设 ,则则222ruvw1zrzwvuyxr由锁链法则由锁链法则()zdzzuzvzwxdruxvxwx第8页/共20页21(222)uvwxxyrrrr 32()xuxvywr 2222()xxy()zdzzuzvzwydruyvywy同理同理2222()yxy 第9页/共20页即即(,),zf u x y x y,zfufxuxx.zfufyuyy两者的区两者的区别别2.中间变量既有一元函数又有二元函数的情形中间变量既有一元函数又有二元函数的情形(,)zf u x y其其中中(,)ux yzuyxxy第10页/共20页 例例4-234-23 设设 求求 、.zxzy23,2zuxy uxy解解223zfufuyxuxx 21 3zfufuxyuyy 4(2)387xyyxy2(2)372xyxxy第11页/共20页dzz duz dvdxu dxv dxzvux全导数全导数3.中间变量均为一元函数中间变量均为一元函数 为为 的一元函数的一元函数,(),()zf u xv x对对 求求导导,得得 设设 可微可微,且且 ,则复合函数则复合函数(),()u u x v v x(,)zf u vxx第12页/共20页 例例4-244-24 设设 ,而而 ，,求求 .2uvze3vxsinuxdzdx解解dzz duz dvdxu dxv dx222cos23uvuvexex3sin22(cos6)xxexxzvux第13页/共20页dzzz dydxxy dx解解:222211xyxex yx y 例例4-254-25 设设 而而 求求 .dzdx,xyearctan(),zxy22(1)1xxexx ezyx 注意注意上式中上式中 与与 的区别的区别!是全导数是全导数,是将是将z 作作为为x 的一元复合函数时的全部变化率的一元复合函数时的全部变化率;而而 是是z 对对x 的偏的偏导数导数,是将是将z 作为作为x、y的二元函数时的二元函数时 z 的变化率的变化率.dzdxzxdzdxzx第14页/共20页二、隐函数微分法二、隐函数微分法1.一元隐函数的求导方法一元隐函数的求导方法x根据链式法则，在方程两端同时对 导，得 ,()0F x f x0 FF dyxydxxzFdydxF (),yf x因则有设方程设方程 所确定的一元隐函数为所确定的一元隐函数为 .(,)0F x y()yf x若若 则有则有0Fy第15页/共20页解解:令令(,)0yF x yyxex则则所以所以1,yFex 1111yyyydyeedxxexe 10yFxey 例例4-264-26 求由方程求由方程 所确定的函数所确定的函数 0yyxex()yy x 的导数的导数 .dydx第16页/共20页xy根据链式法则，在方程两端对 和 求偏导，得 ,(,)0F x y z x y 0,0 FFzFFzxzxyzyxzFzxF yzFzyF，(,),zz x y因则有由方程由方程 确定的函数确定的函数 为为二元隐函二元隐函数数.(,)0F x y z(,)zf x y2.二元隐函数的求导方法二元隐函数的求导方法若若 则有则有0Fy第17页/共20页解解:令令(,)zF x y zexyz则则,0zxyzFyzFxzFexy 所以所以xzzFzyzxFexy yzzFzxzyFexy 例例4-274-27 求由方程求由方程 所确定的函数所确定的函数z z的偏的偏0zexyz导数导数.第18页/共20页主主 要要 内内 容容1.1.复合函数求导复合函数求导(锁链法则锁链法则)2.隐函数求导隐函数求导一元隐函数求导公式一元隐函数求导公式二元隐函数求导公式二元隐函数求导公式作业：作业：思考与练习思考与练习 1.2.3.4.第19页/共20页
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