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第26讲解三角形夯实基础【p55】【学习目标】掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力【基础检测】1设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2，c2 ，cos A且bc，则b()A3 B2 C2 D.【解析】由a2b2c22bccos A，得4b2126b，解得b2或4.又bc，b2.【答案】C2在ABC中，内角A, B, C所对的边分别是a, b, c，若B30， c2，b2，则C()A. B.或C. D.或【解析】由正弦定理得sin C，C或.【答案】B3已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则B()A. B. C. D. 【解析】由sin A，sin B，sin C，代入整理得c2b2aca2，所以a2c2b2ac，即cos B，所以B.【答案】C4在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A，a2，该三角形的面积为，则b的值为( )A. B. C2 D2【解析】由锐角三角形中sin A得：cos A，面积bcsin A，所以bc3，根据余弦定理cos A，所以，整理得：b26，解得：b23，所以b.【答案】A5如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一高为15米的烟囱AB(不计B离河岸的距离)，设OB与圆弧的交点为E.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为30和60.若CE的长为10米，则BC_米【解析】在EAB中，因为AEB60，所以BE5，在OAB中，因为AOB30，所以BO15，所以在OCE中，OECEOC10， 从而BOC60，在OBC中，BC5.【答案】5【知识要点】1正弦定理、余弦定理定理正弦定理余弦定理变形形式a2Rsin A，b_2Rsin_B_，c_2Rsin_C_；sin A_，sin B_，sin C_；(其中R为ABC外接圆半径)abc_sin_Asin_Bsin_C_；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Aa2b2c22bccos A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C；cos A，cos B_，cos C_.解决解斜三角形的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.2.三角形的面积：SABC_absin_C_acsin_B_bcsin_A_(abc)r(R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径)3仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线_上方_时叫仰角，目标视线在水平视线_下方_时叫俯角(如图(a)图(a)图(b)4方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角如B点的方位角为(如图(b)5方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)度典 例 剖 析【p56】考点1利用正弦定理解三角形已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin Bbcos A0. (1)求角A的大小；(2)若a2，b2，求ABC的面积. 【解析】(1)在ABC中，由正弦定理得sin Asin Bsin Bcos A0，即sin B(sin Acos A)0，又角B为三角形内角，sin B0，所以sin Acos A0，即sin0，又因为A(0，)，所以A.(2)法一：在ABC中，由余弦定理得：a2b2c22bccos A，则204c24c.即c22c160，解得c2(舍)或c4，又Sbcsin A，所以S244.法二：a2，b2，由(1)知A，由得sin B，sin Bsin A，B为锐角cos B，sin Csin(cos Bsin B).SABCabsin C224.考点2利用余弦定理解三角形(1)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos Bacos Cccos A，则B_【解析】法一：由2bcos Bacos Cccos A及余弦定理，得2bac，整理得，a2c2b2ac，所以cos B，又0B，所以B.法二：由正弦定理得2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos Asin(AC)sin B，又0B0，cos A，B.【答案】(2)ABC中， cosABC，AB2，点D在线段AC上，且AD2DC，BD，则BC的长为_【解析】在ABC中，设BCa，AC3b，则由余弦定理可得9b2a24a，在ABD和DBC中，由余弦定理可得cosADB，cosBDC.因为cosADBcosBDC，所以有，所以3b2a26，由可得a3，b1，即BC3.【答案】3【点评】解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到考点3与三角形面积有关的问题ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Acos A0，a7，b5.(1)求c；(2)设D为CB延长线上一点，满足ADAC，求ABD的面积【解析】(1)由已知得tan AA，由余弦定理2bccos Ab2c2a2，c25c240c8(舍负)(2)法一：如图，ABC中，cos Ctan C4；RtACD中，tan C4AD20，SABDABADsinBAD82040.法二：SABCbcsin Aahh，cos CBD28，SABDBDh40.【点评】(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化考点4三角形中的测量问题(高度、距离、角度)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为_m.【解析】如图，设电视塔AB高为x m，则在RtABC中，由ACB45，得BCx.在RtADB中，ADB30，所以BDx.在BDC中，由余弦定理，得BD2BC2CD22BCCDcos 120，即(x)2x24022x40cos 120，解得x40，所以电视塔高为40 m.【答案】40【点评】求解高度问题应注意：(1)在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题如图，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PMPNMN2(单位：千米)如何设计能使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?【解析】设AMN，在AMN中，.因为MN2，所以AMsin(120)在APM中，cosAMPcos(60)AP2AM2MP22AMMPcosAMPsin2(120)422sin(120)cos(60)sin2(60)sin(60)cos(60)41cos(2120)sin(2120)4sin(2120)cos(2120)sin(2150)，(0，120)当且仅当2150270，即60时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2.所以当AMN60时，符合要求【点评】求解距离问题应注意：(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值【解析】如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC14x，BC10x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AC28，BC20.根据正弦定理得，解得sin .所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角的正弦值为.【点评】求解角度问题应注意：(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点方 法 总 结【p57】1利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)2由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即ABabsin Asin B.3已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能)而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”4利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角；(3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角；(4)由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定走 进 高 考【p57】1(2018全国卷)在ABC中，cos ，BC1，AC5，则AB()A4 B. C. D2【解析】因为cos C2cos2121.所以由余弦定理得AB2BC2AC22BCACcos C12521532，AB4.【答案】A2(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为，则C()A. B. C. D.【解析】由三角形面积公式知：SABCabsin C，由余弦定理得：a2b2c22abcos C，sin Ccos C，C.【答案】C3(2018全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC.【解析】(1)在ABD中，由正弦定理得.由题设知，所以sinADB.由题设知，ADB90，所以cosADB.(2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225.所以BC5.考 点 集 训【p206】A组题1在ABC中，a15，b10，A60，则cos B()A B.C D.【解析】根据正弦定理，可得，解得sin B，又因为ba，则BA，故B为锐角，所以cos B.【答案】D2在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b(2sin Bsin A)(2ab)sin A2csin C，则C()A. B. C. D.【解析】由正弦定理可得b(2sin Bsin A)(2ab)sin A2csin Cb(2ba)(2ab)a2c2，整理得a2b2c2abcos C，0C0)，b2，A60，若三角形有两解，则x的取值范围是()Ax B0x2C.x2 D.x2【解析】根据正弦定理2R，可得，所以sin B，A60，0B120，要使三角形有两解需满足60B120，且B90，即sin B1，解得xAB，得ABDADB，故ABCABDDBC，在ABC中，由正弦定理，即，故sinABC，由ABC，得cosABC，tanABC.8ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长【解析】(1)2cos Cc，由正弦定理得：2cos Csinsin C，ABC，sin(AB)sin C0，cos C，C(0，)，C.(2)由余弦定理得：c2a2b22abcos C，即3ab7，又Sabsin Cab，ab6，187，ab5，ABC周长为abc5.B组题1设ABC的面积为S1，它的外接圆面积为S2，若ABC的三个内角大小满足ABC345，则的值为()A. B. C. D.【解析】设三角形的三内角分别为3x，4x，5x，外接圆的半径为R，由三角形内角和定理可得三内角分别为A，B，C，则由正弦定理可得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，故S1absin C(2R)2R2，即.【答案】D2如图，无人机在离地面高200 m的A处，观测到山顶M处的仰角为15、山脚C处的俯角为45，已知MCN60，则山的高度MN为_ m.【解析】由条件，MAD15，所以NMA75，CMA45，MAC154560，所以ACM180604575，ACB45，这样在ACB中，AC200，在ACM中，解得MC200，MNC中，MNMCsin 60200300.【答案】3003如图，在ABC 中，BE平分ABC，sinABE，AB2，点D在线段AC上，且AD2DC，BD，则BE_【解析】由条件得cosABC，sinABC.在ABC中，设BCa，AC3b，则9b2a24a.因为ADB与CDB互补，所以cosADBcosCDB，所以3b2a26，联立解得a3，b1，所以AC3，BC3.SABCACABsin A322，SABEBEBAsinEBA2BEBE. SBCEBEBCsinEBC3BEBE.由SABCSABESBCE，得2BEBE，BE. 【答案】4如图所示，摄影爱好者S在某公园发现A处的正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为.设S的眼睛到地面的距离为米(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2)立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转摄影爱好者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由【解析】(1)过S作SC垂直OB于C，连结SB，SO，则CSB，ASB.又SA，故在RtSAB中，可求得BA3，即摄影爱好者到立柱的水平距离为3米由SC3，CSO，在RtSCO中，可求得OC.因为BCSA，故OB2，即立柱高为2米(2)连接SM，SN，设SNa，SMb.由(1)知SO2，在SOM和SON中，cosSOMcosSON，即，可得a2b226.在MSN中，cosMSN，当且仅当ab时等号成立又MSN(0，)，则0MSN.故摄影爱好者S可以将彩杆全部摄入画面17
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